Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Мараева, И. Б. Введение в анализ бесконечно малых учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

4.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

30
где	X - область задания функции.
	Остается отметить еще один момент,, Когда т			говорим о
пределе функции, то нас совершенно не интересует				ее	поведе
ние	в самой	точке х 0	. Действительно, понятие предела			х а
рактеризует		поведение	функции вблизи точкщ х 0	, н	предел

функции может не совпадать со значением функции в точке. По


этому,	когда	речь	идет	о значениях		аргумента,		для		которых
значения функции близки				к	А , то	из	всех этих		значений на
до исключить		сану	точку	х 0	. Итак,	по	заданной		сколь	угодно
малой	окрестности		точки	А	надо найти такую				окрестность
точки	х в - U	( х 0 ) ,	что	для	всех х е 1 Д х 0 ) п			X	» х - ^ х 0 ,

соответствующие значения функции попадают в заданную окрест

ность		точки	А	(здесь х Q -	предельная точка области	з а
дания		функции	X	) . Если такую окрестность U(x Q ) можно		най
ти	для	л ю б о й		сколь угодно малой окрестности точки. А ,
то	ясно, что		значения функции		сколь угодно близки к А	при

х> близких к х D „

Интересно, что если мы используем такой язык окрестнос

тей,

то

число

не

обязательно

должно

быть

конечным. Дей

ствительно,

если J ( x )

т р

е м

т с

б е с к о

н е ч н о с т и ,

то

это

означает,

что

| f ( x ) |

неограничен

но возрастает,

т . е .

становится

больше любого

наперед

задан

ного

числа

как

бы велико оно ни было. Значит,11 [л) |

попадает

в окрестность точки + »

т . е . | ( х ) е

И и (

Теперь

мохно дать,

наконец,

о п р е д е л е н и е

п р е д е л а

ф у н к ц и и :

Конечное

или бесконечное

число

на

зывается

пределом

функции

|( х )

при

—

стремящемся

х „ ,

где

х 0

пре

дельная точка области задания функции X ,

если для любой окрестности точки

А -

U ( A )

мохно указать

такую

окрестность

точки

x D - U ( x e

) ,

что

для

всех

x e u . ( x 0 ) n

ф x Q »

соответствущне

значения функции

f(х) попадают в заданную окрестность точ

ны А .

Обоаааченне предела функции: U £ > s f ( х ) =

^ •

Записанное

равенство

читается

так?:0

предел

функции f ( x )

ври

, стремящемся

х 0

равев

Это же

равенство г

мохно *апнсать

и следующие

образом:

f ( x ) j ^ j - A

(

f(x)

стре-

мнтся

при

х ,

стремящемся

х 0

) .

Для уяснения

данного определения

рассмотрим

некоторые

ч а с т н ы е

с л у ч а и

предела

функции.

I .

Пусть

х п

конечные

числа.

Окрестностью

конечной

точки,

как

отмечалось

в § I ,

я в

ляется симметричный промежуток с центром в этой точке.

Обо

значим

величину

окрестности

точки

А -

Z t

, а

величину ок

рестности точки

х 0 -

2. !Г

Так

как

окрестность

точки

- любая, то в качестве

можно брать

любое

положительное

число. По любой

окрестности

точки

( т . е .

оо любому е,

G )

мы должны указать

окрестность

точки

х 0

( т . е . ft

=• 0

) .

т а

ким образом,

В" =• 0

уже

не произвольно,

определяется

по

заданному £, » 0

. Найти

по

нужно

так,

чтобы

для

всех

из

найденной

окрестности,

кроме

может

быть

х 0

значения функции попадали в заданную

окрестность

точки

А .

Но принадлежность

окрестности

точки

x Q

можно

вы

разить

в виде

неравенства

| х

х 0

| *

а принадлежность соответствующих значений функции окрестнос

ти

точки

наравенством

| | ( х ) - А | - £ .

Тогда

из

|х - х 0 | -

должно

следовать

неравенство

| f t x ) - M -= ь .

Итак,

определение предела функции для случая

конечных 4

и х п

принимает

следующий вид: конечное число

назы

вается

пределом

f(x)

при

х — * ~ x D ,

где

х 0

конечная

предельная

точка

области

задания

функции

если для лю

бого

& =~ 0

можно указать

такое

В" =•» D

, чтобы

для

всех

из

области

задания

функции

X ,

х „

удов

летворяющих

неравенству

| х -

х0 |-=

IT ,

соответствущие

зна

чения

функции удовлетворяли

бы неравенству

| | ( х ) - А | -

Е .

Посмотрим,

как

это

определение изображается

графически

на

рис.

29.

Задавая

любое

с »

Q , мы тем самым задаем полосу нири-

ной

2 е

центром

в точке

(эта

полоса

на

чертеже

з а -

штрихована). По выбранному

на чертеже

указана

окрест

ность

точки"

х - 0

( Х „ - 1 Г , Х 0 +

&- ) С

центром

в точке

х .о

Если

взять

любое

из этой

окрестности

и найти

соответствую

щее значение

функции

f ( x ) ,

оно

обя

зательно

окажется

ле

жащим в

заштриховав-

ной

полосе

шириной

центром в точке А .

Если бы мы взяли

другое

мень-

Рис.

шее указанного

на

чертеже,

то

ему

соответствовала

бы другая окрестность

точки

х 0

удовлетворяющая

требованиям определения

предела.

Если для

л ю б о г о

г,

»-

можно указать

соответ

ствующее

В" *»

то

число

и есть

предел

f ( x )

при

»-

х 0 .

2 .

Пусть

—

° * >

конечное

число,

т . е .

рас

сматривается

Сьтп

J ( x )

= A .

Разберемся опять с окрестностями точек

и х „ .

ок

рестность

точки

по-прежнему

симметричный

промежуток

центром

точке

: (

с ,

) ,

принадлежность

Д х )

этой

окрестности также можно выразить

неравенством

Окрестностью

точки

х а

= -

° °

является

любой промежу

ток (-

0 0

, -

Л ) ,

котором

& »

а принадлежность

это!

окрестности выражается

неравенством

•«

Д .

Числа

-А» 0

взаимосвязана:

*• 0

любое

число,

Д »

находится

по

так,

чтобы для

всех

-с

соответствующие

значения

фунхцжа

удовлетворяли

неравенству /f(x)-A			l<£.
Итак, определение			предела функции для				этого
случая следующее:
Конечное		число А		называется		пределом
J ( i )		при	х — • - - < » , если		для		любого
Е. »	о	можно указать такое			Д	*-	0, что
для	всех	х	из	области задания			функ
ции, удовлетворяющих неравенству х « - Д ,
будет выполняться				неравенство

| f ( X ) - А | «= £ .

частного

На рис. 30 это определение выражено графически.

f t * )

А*«

						1>
		1	Г \ .			А-£
		1	Г \ .
		•	1	\	\
		1	1		\
		х	- д			X
			Рис.	30
3 . Пусть	X ,	конечное		число,		а А = + =~ , т . е . рас
сматривается	предел
	й т а	f ( x ) - + 0 0				•

х— х 0

Окрестностью				точки	А = *		« »	является любой промежуток
( Е ? +	о«а		) , где	Е »	0 ,	а	принадлежность j(x)			axel	ок
рестности		выражается неравенством						J ( x )	»• Е .
Окрестность же конечной						точки		х „	- «то	промежуток
( х - 5 4	,	х	+	) , к принадлежность					э т о !	окрестности
выражается			неравенством		\| х	-	х0 \|-= ?Г. В данном случае				про
дел функции имеет				следующее		определение:


•ю®		является		пределом				функции		f ( х )
при х — ^ x o			S	где	х 0		-	конечная		пре
дельная точка				области			задания			функции,
если		для любого			Е =- U			можно		указать
такое		& => 0	,	что для				всех	х	из об
ласти		задания функции, кроме может быть
х 0	,	удовлетворяющих					неравенству
\|х	-	х0 \|-= 6",		будет		выполнено			неравен
ство		J ( х ) >	С	(рис.		3 1 ) .

			Рис.		31
По любому		Е =» 0	указана	такая		окрестность точки			х 0
радиуса В*	,	что для	любого	х		из	этой	окрестности	зна
чение функции		становится больше			С	,	т . е .	попадает в	з а
штрихованную	область.
Рассмотреннне частные случаи					определения предела				функ

ции не исчерпывают всех возможных комбинаций кслечных и бес

конечных пределок и предельных точек. Очевидно,		всего таких
комбинаций - 9 (рис.	3 2 ) .
Мы рассмотрели	частные случаи, указанные в	заштрихован

ных	квадратах. Для уяснения общего определения предела функ
ции	читателю рекомендуется самому сформулировать и	проил

люстрировать графически остальные частные случаи определения предела функции.

КОН .

с о

кон.

ШР

+ оо

— с»о

111

Рис.

Полезно

также обратить

внимание

на

следующие

з а м е

ч а н и я :

I )

Из

определения предела

совсем

не следует,

что

U m ^ J ( x )

| ( х 0 ) .

Во-первых,

это

равенство

не

имеет

смыс

ла,

когда пределом функции является

± »о

. Но даже

для

ко

нечного предела это равенство далеко не

всегда

выполняется.

Например, для функции J(x)=S b 1 ^. х

как

будет

показано в

даль-

нейшем,

существует

{1тп

х-»-о

Но само

значение' функции

точке

не

имеет

смысла,

так

как

и числитель

и знаменатель

функции

обращается

при

x Q = 0

в ноль. Так что на графике

этой функции нет та

кой

точки,

которая

с о о т в е

т с

о в а л а

бы

зна

чению аргумента, равного нулю, что, однако, не мекает

фувк-'

ции

приближаться к I

при х

— [ ~

0 .

На рис. 33 показан график функции

f(x)

. Пункти

ром указаны

ограничивавшие

кривые tj г

так

как

~ 1Г *

sin

- j - .

Точки

пересечения

графика

с осью

" х

~ " g

не

существует,

хотя

t i n t

= \ .

В дальнейшем читатель познакомится с классом

ф^аивды»,

для

кохорнх

пределом

является

значение

функции в данной

точ

к е . Это

так

называемые непрерывные функции

А нова надо

seezs

в виду,

что

понятие предела

характеризует

изменение

36
вблизи предельной ТОЧЕН Й не связано со значением			функции в
неа. Поэтому					и	в
определении				предела
делается			оговорка
х	х „	, т . е .				рас
сматривавшее					значе
ние	f ( x )		для			всех
х	, близких				к	пре
дельной		точке,			хроме
значения		функции в
самой этой			точке.
	2)	Не			всякая
функция имеет					в	пре
дельной		точке				об
ласти своего				задания
предел.			Примером
функции,		не		имеющей
предела,		может				слу-

		• Рис. 33	кнть f ( х ) s s i n х
при х - — + « » .		Дейст	У
вительно,	значения

f ( x ) = sbn. х	не при
ближается ни к		како	0
му постоянному		числу

при неограниченном
возрастания	аргумен
та, хотя точка		х э -	Рис. 34

ш +	является			предельной точкой	области	задания функции
(рис. Эч).
Очевидно,			также не существует следующих пределов:
I	Гьтп	s i n	х	ИГЛ. CDS X	turn	COS X
I	— —	s i n	х		X—«—

§ 5 . Односторонние пределы. Пример» на доказательства предельных соотношений

Наряду с общин понятием предела функции, часто испои» аувтея так называемые односторонние пределы»

дели рассматривать предел фикции при х — * - х 0 , причем

приближается к

предельной

точке

х 0

оставаясь

все

время

справа, т . е . х

х 0

то

такой

предел

функции назы з а -

ется

п р а в о с т о р о н н и й

и обозначается

или

( х в

D) .

£слн

рассматривать

предел

f i x )

при

X — * - х 0 ,

причем

ас

приближается к

предельное

точке

'о

оставаясь

все

время

слева,

т . е . х «= х 0

то

такой

предел

функади

б&змва»

ется

л е в о с т о р о н н и м

обозначается

Elm

J ( x )

или

Д х „ -

0 ) .

х - х о - 0

д -

Правосторонние

и левосторонние

пределн

наавзаэтея

п о с т о р о н н и м и

пределами функции. Очевидно,

есдв

существует предел функции в точке

х „

, то в этой se

точке

существует н односторонние пределы, совпадающие

uesgj

собой

и со значением предела. Однако односторонние продел*

могут

существовать

и быть

не равными друг

другу,

тогда

общего

пре

дела

фунвдик

этой

точке

нет. Например,

функции

f ( х ) «

-|^у

существуют

односторонние

пределн слева

Е справа

при

х — « • [ ) ,

но

они не

равны

между

собой

(рис.

35)г

ilm

f ( х ) в

•«• 4 ;2im f(x)

= -f

.Очевидно

f(x)

не*сущестаует.

Х-л

0-0

х " * °

Ташш

образоМэ

джя

существования

предела

функцщи в

точке

необходима

и достаточ

но

сущее твоя SHE е

одно

сторонних

пределов

иг

равенство друг дру-

£ l m

1 ( х ) =

lim

f (х) -

йтп

|(х).

Рис,

В зааявченна эт@-

го. параграфа

р&сскотрии

несколько

примеров ва доказатея»»»

ства некоторых предэд&ннж соотношение,, когорнв часто

использоваться

г даваяеЭида.

Принер I . Довазеа,

что

t i m

( к х + S ) = кх„ +

5 -

посгоанЕые конечные

числа,

" к ^

ж„

•

38
„ До	определенна предела,		пап надо доказать, что для	до-
бега s »	0	существует такое	& » 0 , при котором для	всех

х, удовдетворявщвж неравенству | х - х „ | — Ь , соответст

вующие зв&чензд

функции удовлетворяли бы неравенству

I f ( х ) - и я 0

+ Б) | - ь

( * ) .

Существование такого

для

любого

=» О

можно до-

к а э а » ,

если

получить

формулу

зависимости

от

обес-

печввавщуз требование

определения предела,

т . е .

выполнение

вврааввства

(*) .

Вавеиотрны

это неравенство:

Ц к х +

6 ) - ( к х 0 + 6 ) Н 6

Ожо равносильно следующему:

|к||х -

х с

т . о .

| х в - х !

5огда,

если взять

качестве

то

выполнение

я«равенства | х

- ха !«=- &

мечет за

собоМ выполнение

неравен

ства

(*) .

Так хшс подученная формула зависимости

от

такова,

что по нес можно вычислить

для

л ю б о

г о

*• 0

то существование в

равенство

предела

доказа

но (рис. 36)с

—

Рве. 36

Пример 2 . Докажем, что

Urn Eoa-xsjl \ .

•

I )

Докажем

первую

половину, t l m

&щ„х г

•(•<» при а •» < .

По определению предела,

нам

нужно

показать,

что для лю

бого

Е =» 0

существует

такое

§ *» 0

при котором для

всех

s удовлетворяющих

неравенству

0 •« х •* $

соответствув-

цие

значения

функции удовяетвррявт

неравенству

Другими

словами,

опять

надо

получить

формулу эавнскыостн

от

, удовлетворяющую требованиям

определения

преде»

да .

Рассмотрим

последнее неравенство

я разреши*

его

относи

тельно

4а

(при

а -*

логарифмическая

_ Е

#нквдм

убивает)

сГ

Тогда,

есл»

качестве

взять

?Г ~ о.

, 7 0

нера

венство

о •* х -* 15"

гарантирует выполнение

неравенства

что

и требовалось

доказать (рис.

37).

1 f

	Рис.		37
2 )	Докажем теперь, что	t l m		?oq	ж = -	»	срна^-J.
		я—о+о		<•
По определению предела,		нуано		показать,		что дяа	звбог-о
Е *» D	существует такое В =» 0		,. при котором			для scex	х	,
удовлетвори щ а х неравенству		0	х «= ft ,		соответствующие			зна
чения функция удовлетворяют		неравенству

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ