книги из ГПНТБ / Мараева, И. Б. Введение в анализ бесконечно малых учеб. пособие

веденная

параллельно

оси ординат,

пересекает график функции

не более,

чем в одной

точке (рис.

1 7 ) .

Рис.

17

Рис. 18

Графическое

изображение функциональной зависимости чрез­

вычайно

удобно для изучения характера

изменения

функции.

Графики

основных

элементарных функций

рассматриваются в кур­

также из курса средней вколы известно, что если

обозначать

через

i

аргумент,

а через

^

- значение

функции, то

гра­

фики

взаиынообратных

функций

симметричны

относительно

бис­

сектрисы

1-Ш координатных углов (рис. 19

и 2 0 ) .

Так как способы задания функций также изучается в курсе

средней школы, то мы на этом останавливаться

не

будем. Отме­

тим только

следувдее

обстоятельство.

Если функция задана аналитически и область

задания

не

указана,

то это еще не означает,

что ее

можно

рассматривать

при любых значениях аргумента. Часто по

виду

функциональной

зависимости

можно определить,

при каких

значениях аргумента

22

значения,

называется

о б л а с т ь ю

о п р е д е л е ­

н и я

функции

(областью существования). Например, для

функ­

ции

i j . = V x a -

f областью определения является

множество

тех

значении

х

,

при которых

подкоренное выражение

неотрица­

тельно, т . е .

все

значения

х , удовлетворяющие

неравенству

| х | з» \

. •

Рис.

19

Рис. 20

Ееяв заданная аналитически функция имеет конкретный фи­

зически! или геометрические смысл, то область ее определения

должна согласовываться

не

только с аналитическим

заданием,

но и с физическим смыслом этой функции. Например, вес

тела

является функцией его массы при постоянном ускорении

силы

тяжести:

Р

=

т - ^

.

Тогда область

определения

функции

Р

-

есть

множество

всех значении тп=- О ,

хотя отвлеченная

от

физического

с о ­

держания функция

y = x - i j

имеет

смысл и при

отрицательных

значениях аргумента

х .

В заключение

зтого

параграф* рассмотрим

частный

случай

функцийg который

будет

часто нсяольэоваться

з

дальнейшем:

зго - гак называемая числовая последовательность, или

вари­

анта,

Ч И С Л О В О Й

п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ю

называется функция натурального аргумента. Другими

словами,

областью задания

такой

функции является

множество

всех

нату-

t

23

рольных

чисел

тг = I , 2,

3, . . .

Обозначают

числовую последо­

вательность,

или

варианту,

обычно

так: х п

,

а п .

На-

о.^ й 5

аг

а ,

пример, a n =

^

.

Такая

1

'|

\

\

"~

запись

означает,

что

вари-

1в

8

Т

Т

анта

при

n

-

I

, 2,

3, . . .

р и с

> 2 i

принимает

следующие

значе­

ния:

1/2,

I A ,

1/8,

I / I 6 , . . .

Графически

представлять

варианту

в декартово!

системе

координат

неудобно,

потому что мы получили бы в этом

случае

набор

точек

на

плоскости,

не

связанных

непрерывно!

линией,

и не

представляющих

собой наглядного

изображения

характера

изменения

варианты.

Удобнее

изображать

значения

варианты

точками

на

числовом

оси. Например, на рис. 21 приведен

гра ­

фик известной

уже варианты

o i ^ - L .

Контрольные

вопросы

и примеры

1 . Найдите область определения

функций:

а )

Ц =

, S l n

Х

*

i

*

1 — cos

б)

^ =у s i n (cos

ж)

t

в )

I J S O W C " - ^ *»

•

aicsina:

i

г )

ъ * ± + г

- ь ^ ^ ;

д )

у = y i n ( c a s 2 * x )

е)

у = ^

I ^ - x a

J ;

ж)

у s ctg. зсх

+• awcos (2*) .

2 .

Сформулируйте понятия

четных и нечетных

фунхцмй и

укажите

особенности

юс графиков.

4

3 .

Выясните, какими

является указан яме функция -

четны­

ми или нечетными: ^

_^

^

(

а )

^ = j / ( * + < ) 1

+ У ( х - < ) * ' ;

24

в )

^ = У < + х - I 4

- х + х 4 ' ;

г )

у = х

+

х >

д )

у = t n ( x + У { + х ' ) ;

е)

ц = s i n х

+

CDS х .

4 .

Сформулируйте

определения

периодической

функции и ее

периода.

5. Определите периоды следующих функций:

а )

у. = sun 2 тех •,

б)

y s | c a s x | ;

в )

у. = s i n ^ x + cos^x .

6. Проверьте обратимость данных функций и найдите

об­

ратные

функции, если это возможно:

а )

^ = 15 х

-

2

;

б)

у = У 4

-

х

5

-

-

?

в )

i |

= atcsLn

jSx ;

г )

^ = < а х

+ <

•,

Д)

1£ = X* + 2, .

7 .

Следующие оложные

функции

(суперпозиции)

представьте

в виде цепочек, составленных из основных

элементарных

функ­

ций:

а )

ц =у\саь

( х

-

0 + '5]

;

8,

Дано: z г s i n х

,

^ = aictfjх

,

v ^ i j i ) ,

u = J M - v .

Требуется:

выразить

и

как функцию аргумента

х .

9.

Указанмые функции,

заданные

аналитически

уравнения­

ми,

неразрешенными

относительно функции

i | , выразите

в яв ­

ном

виде:

а )

^ . х + 8 j ( t j + \) ~ k ;

б)

г Х + Ч ( х г - 2 ) = х 5 + <? .

25

б) ц. = - i - + ) ;

д) у = t o j a x + X ;

в )

i j = S L n 2 x - ,

е )

i ^ = 2 x 4 - 3 .

Дополнительные

примеры

Г.Н.Берман. Сборник задач по курсу математического ана­

лиза.

"Наука",

1969.

Гл. I

, §

2,

I

10,

13,

20,

2 1 ,

22,

26,

32,

35,

36, 38;

§

3,

*

47,

48,

54,

56,

58,

59,

60,

63,

64;

§

5,

*

117}

§

о,

*

150.

Понятие предела является

одним из основных

в

математи­

ческом анализе. На его основе

строится определение

производ­

ной, а следовательно,

все дифференциальное

и интегральное ис­

числение. Поэтому основное внимание должно быть

направлено

на то, чтобы как следует

понять

определение

предела

функции

и суметь

использовать

это определение и вытекающие

из

него

свойства для практического вычисления пределов.

Прежде чем перейти к определению предела функции,

мы

рассмотрим некоторые понятия, которые используются

в

этом

определении.

О к р е с т н о с т ь ю

конечной

точки

х

на число­

вой оси называется

любой сим-

(

1

)

т х

матричный

промежуток с

цент­

а м К

X ,

х , * К

ром в этой

точке

(рис. 2 2 ) :

Рис.

22

[хо~ " > х

0 +

^ ) •

Число

п »

0

характеризует

величину

окрестности. Обо­

значается

окрестность

точки

х „

так: U h ( x 0 ) .

Если

вели­

чина окрестности не играет роли

в последующих

рассуждениях,

то пишут просто

U ( x 0

)

• Таким

образом,

выражение

x e i l ^ x D )

означает

x e ( x , - f t ; x s + f t ) , i . e .

х а - h - х * = х 0 + h

,

что

в

свою очередь, можно записать

так: | х - х 0

| -= h .

Итак,

х *Uh(х0)

&

Е

| х

-

х „ { «в fi, .

Понятие окрестности

распространяется

и на случай

беско­

жуток ( Н , + <*=>) будем

называть

о к р е с т н о с т ь ю

т о ч к и x Q = + °о

и обозначать

символом 11,Д+ =~ ) (рис.

2 3 ) .

ками множества

является

еще две точки, не являющиеся его эле­

ментами: О и I . Действительно, какую бы окрестность

точки

О,

например,

мы ни взяли,

в ней

лежат точки

множества

X

:

е с ­

ли взять окрестность (-

-jjj- »

+ -щ),

то

в

ней

находится

бес ­

численное

множество

точек множества

X

,

например,

J _

<

J

3 L . 1

_ и _

„ - ,

И

' Т Г

' "

" '

ШО

100

100

(ООО

,

д *

Таким

же

свойством

обладает

точка I . Таким образом,

пре­

дельными

точками

множества

—

I — - I

|

j

I

X =

)

являются

все

его

0

i

i

3

<

элементы

и точки О,

I .

Из

*

*

*

приведенного примера

ясно,

Рис.

25

что

предельные точки

мно­

множества. Понятие предельной точки означает лишь то,

что

в

сколь угодно малой окрестности этой точки имеются

элементы

множества, отличные от данной точки.

Пример 2 .

Пусть X -

1_~тг}

» г л - е

7

1

*

1 >

2 »

3 »

•••

натуральное число. Здесь

никакой

элемент

данного

множества

не являете* его предельной точкой. Действительно,

возьмем,

например

х „ « 1 / 2

(рис.

2 6 ) .

Если

окрестность

точки 1/2 такая,

что

расстояние

от

ее центра

х „

до

границы

окрестности

меньше

расстояния

от

х 0

до

ближайшей

точки

1

1 I

( i )

1 — м н о ж е с т в а

1/3,

то

в

такой

"

L ^

•£

'

окрестности

не

будет

нахо­

диться

ни

одного

элемента

^ и

с *

множества,

отличного

от

х 0 .

жества. Таким образом, все элементы множества

X = [—^

}

изолированные точки. Однако это множество имеет

одну

пре­

точза

a g

• 0 .

Действительно,

в

лобой

сколь угодно

малой о к - .

рестности

I

, з

О находится -бесчисленное множество

элементов

из X

(рас .

27)

0

4

4

5

I

Ряс.

27

29

Пример

3.

2

множестве

натуральных чисел

£ п }

кавдаа

ко ­

нечная точка является изолированной. Предельная же

точка

только

одна: х„= + <»

. Действительно,

какув

бы

окрестность

точки

х 0

мы ни

взяли

( Н ,

+

«=

) ,

в

ней

всегда

находатса

элементы

множества

{ п

}

(рис.

2 8 ) .

5—I—1—I—(-«—1

в—

4

г

3

5

6

?

*

№

Э

Рис.

28

§ Ч. Определение предела функции

Рассмотренные

в предыдущем

параграфе

понятия

окрестнос­

ти и предьльной точки множества помогут нам сформулировать

определение

предела

функции. Действительно,

если мы

говорим,

что

функция

f ( x )

стремится

к

А

при

х

,

стремящемся к

х 0

,

то

ясно,

что

речь

идет

о

приближении

значений

функции

к точке

А

, когда

значения

аргумента

близки

к

ж а

. Н о

ведь

понятие

близости

значений

х

к

х в

определяется

малостью

расстояния

от

х

до х 0

,

а

расстояние

-

модулем

их

разности

| х - х 0 | .

Следовательно,

близость

х

к

x f

l

означает,

что

рас­

стояние

) i

- x Q |

должно

стать

малым,

т . е .

х

должен

по­

пасть

в малую

окрестность

точки

х 0 : х

с 1 Ц х 0 ) .

Точно так

же

при

этих

значениях

х

значения

функции

f ( x )

должны

быть

близки

к

А

, т . е .

f ( i ) e

Щ А )

.

Причем значения

функции

должны сколь угодно мало отличаться

от

А

, т . е .

величина

окрестности

точки

А

должна

быть

сколь

угодно

малой. Вели­

чина же

окрестности

точки

х 0

определяется

заданной

ок­

рестностью

точки

А . Итак,

по

заданной сколь

угодно

мало!

окрестности

точки

А

нужно

суметь указать

такую

окрестность

точки

x Q

,

чтобы для

всех

х

из

этой

окрестности

соот ­

ветствующие значения

| ( х )

попали

в

заданную

окрестность

точки

А .

Но для

тоге,

чтобы

такая

операция

имела

смысл,

нужно, чтобы s добей окрестности точки

х „

существовали

зна­

чения

аргумента

х

,

при

которых функция

определена,

т . е .

х а

должна

быть

предельной

точкой

области

заданий

функции

X

. Кроме того,

когда

мы берем

значения

аргумента

из

ок­

рестности предельной точки, то это

должны быть только

те

значения,

при которых

функция

имеет

смысл,

т . е .

x c U ( x 0

) n X ,