книги из ГПНТБ / Мараева, И. Б. Введение в анализ бесконечно малых учеб. пособие

10

Итак, для лвОого ограниченного ынокества

X

существует

такое положительное

число

К

,

что

для всех

х

е

X

|эс| S

К

( Р н с «

1 0 ) .

Если

иногество

не является

ограниченным

сверху

(снизу),

то

оно

1аэывается

н е о г р а н и ч е н н ы м

с

в е

р -

х у

(снизу).

Если

uiiosecTBO

неограничено

сверху,

то

какое

бы

число

М

ни

взять,

всегда

найдется

такой элемент множества

х (

,

который

больше

м

. например, множество всех положительных

чисел неограничено

сверху. Тогда какое бы число

М

мы ни

брали, всегда найдется такое положительное число

х (

,

кото­

рое

будет

больае

М

(рис. I I ) .

Аналогично, если множество неограничено снизу, то какое

бы

число

N

мы ни брали,

всегда

найдется

тако!

элемент

мно-

яеетва

х г

,

который

будет

меньше

N

(рис.

12) .

Рис. И

Рис. 12

Если множество неограничено сверху или снизу, то

оно

называется

н е о г р а н и ч е н н ы м .

Как уже отмечалось, для ограниченного

сверху множества

существует бесчисленное множество верхних границ, а для

ог ­

раниченного

снизу - бесчисленное множество

нижних.

Естественно задаться вопросом: имеется ли среди

всех

верхних границ ограниченного сверху множества

наименьшая, и

среди всех

нижних границ ограниченного снизу

множества

наи­

вами,

справедлива следующая теорема.

Если множество

X

ограничено

сверху

(сни­

з у ) ,

то среди его верхних (нижних)

границ

существует

наименьшая (наибольшая).

Доказательство

этой

теоремы приведено в

[ i ]

(введение,

§ 2,

п.

I I ) . Здесь

мм его

опускаем.

Наименьшая из всех верхних границ ограниченного

сверху

множества

называется

его

т о ч н о й

в е р х н е й

г р

н я ц

е

Э.

Аналогично,

наибольшая из всех

нижних

границ

ограниченного

снизу множества

называется

его

т о ч н о й

ш

в

е

!

г р а н и ц е й .

Точные

границы

обозначаются

12

Поэтому

обозначение

х е . [ н , 8 ]

равносильно выполнение

не­

равенства

s

a

l

*

б

. Слово

"равносильно"

часто

заменяется

обозначением

«3=**

.

Тогда

х е. [ а , S]

а « х «• 6 ;

2)

интервал или открытый

промежуток ( а , Ь ) :

3)

полусегмент

или полуинтервал

[ а , Б )

или

( а , Б ]

:

х е [ а , 6 )

й « Х ' 5 ;

i

е (а,6J«5™^»

а

х

« б .

Аналогично,

для

неограниченных

числовых

промежутков

применяются

обозначение:

( - оо ;

В] ;

х е ( — оо , В ]«»*»

-

сое «в X

« Б \

( а

+ о о ) ;

i e ( a , + »

)

«*»*>-

а

ч

s

•< + «>

;

(—

оо ( -

e o j ; х

с

( - « - = , + = « ) • * * •

-«•«».« х

<=•» .

5. Абсолютная величина числа

В дальнейшем курсе анализа

будет

часто

использоваться

понятие

а б с о л ю т н о й

в е л и ч и н ы

ч и с л а ,

которое

определяется

следующим

образом:

F

a

,

если

a

»- Q ,

J a

j

_ J -

a

,

если

a

0 ,

I

о

,

если

a

=

Q.

Из

определения

абсолютное

величины

следует

некоторые

с в о й с т в а ,

которые

будут использоваться

в

дальнейшем

курсег

I ) | a - 6 | = | a | - | 6 | ;

2 )

! - Ч

=

i *

L

•

« )

j a ± 6 J « B J a j + j g j ;

5 )

| a * 6 | » | a | - | B | .

13

Доказательства

последних

двух

свойств см. в

[ i ]

(введе ­

ние,

§

3,

п.

1 7 ) .

Первые

хе

три свойства

очевидны.

Рассмотрим

г е о м е т р и ч е с к и й

с м ы с л

абсолютной

величины

числа. Если задано

неравенство | х | «

а ,

то

по определению

абсолютной

величины оно

означает,

что

х

*

а

,

если

х

положительно,

и х » -

а

,

если

£

от ­

рицательно. Тогда заданное неравенство можно переписать

в

виде

т а

-

а

«

х

,

т . е .

х е [ - а ,

а ]

(рис.

1 5 ) .

Таким

образом,

неравенство | х | * а

означает, что

рас ­

стояние

любой точки

х

до

начала

координат

не

больме

а .

Следовательно,

геометрически

| х |

задает

р а с с т о я ­

н и е

от

точки

х

на числовой оси до начала координат.

Рассмотрим

теперь

неравенство

| х

-

а | —= ь

. Его можно

переписать

в

виде

-

е - " = х - а - «

+ £ ,

или

a - £

^ х « а

+ б ,

т . е .

х е

( а

-

с ,

а

+ с)

(рис.

1 6 ) .

—t

t-н

9

- х

(

К-1

3

— х

- а

а х

а

а - ь

а х

o + t

Рис.

15

Рис.

16

Таким

образом,

неравенство | х - а | -

ь

означает,

что

р а с ­

стояние от любой точки х до точки

а

меньше

Б .

Следова­

тельно, геометрически модуль разности задает расстояние

меж­

ду

соответствующими

точками

на числовой

оси.

з )

X

У

,

если

X

с У;

.и)

(X

и

У)

и

(X

v . У ) ;

к)

(X

и

У)

n

( X

«ч

У) .

2 .

Может ли конечное множество бить неограниченным?

3.

Есть ли среди элементов ограниченного конечного мно­

жества

его границы? Приведите

пример.

4 .

Есть ли среди элементов ограниченного

бесконечного

множества его

границы?

Приведите пример.

5.

Приведите примеры:

а ) бесконечного ограниченного множества

с указа­

нием его

точных

границ;

б)

бесконечного

неограниченного

множества.

6.

Укажите

точные

границы

множества [х]

,

если

х

G ( а ,

Б) .

7. Найдите

объединение

множеств

а ) х : - г « х « 4

и Ч : D « х = 7 ;

б)

|х | «НО

} х

»

<0 ; х «= -

Ю .

8.

в )

t a , 0 ,21, «Ю, 1005}

л

1 < Л , , 6 . 2 1 1 •

9 . Явлавтсж ли ограниченными множества

а )

правильных

дробей;

б)

натуральных

чисел;

в )

целях чж'-ел?

I D .

Укажите ва

числовой

оси множества точек, удовлетво-

рамдх

неравенствам

а ) | х - < | ~ - Г i

б) 111 » г ,

I I .

Ревите уравнения

а )

| х -

г |=|2х - 3| ;

tf)

s i n

| х | = )

;

l 4 +

ty+pa'

+ V * -Vp+p*

13. Ревите

неравенства

а )

11 + 12. | «* г •

б)

|х

-

c|s

d ;

в )

х 1

^

k ;

г )

( l - 3 ) Z » 16 ;

д )

| f o g a x |

ь .

I I .

Докажите тождество

15.

Чеку равны

следущие

выражения:

а ) I f a п

, где п

- натуральное число;

17

сел

B ( I , 2 ] ,

а

закон

соответствия:

ij = 2,x ,

то такая

функ­

ция ставит в соответствие каждому

х е ( Ч , 2 ]

единственный

элемент

у е

[ 2 ,

ч].

Здесь

областью

задания

функции является

промежуток

[ I , 2 ] , областью

значений

функции -

промежуток

[ 2 ,

ч].

Каждый

элемент

х

е

[ I ,

2 ] -

это

аргумент

того

эле ­

мента ij е

[ 2 ,

4 ] , который

вычисляется по

правилу

ц = 2 х .

Соответственно,

элемент

t j e

[ 2 ,

ч ] ,

который

вычисляется

для

заданного

х

е. [ I ,

2 ]

по

правилу

ц = 2 х ,

является

значением

функции

соответствующего

числа

х

. С геометрической

точки

зрения

задание

такой функции означает отображение точек

от ­

резка [ I ,

2 ]

на

точки

отрезка [ 2 ,

Ч]

числовой оси.

Элементами

множеств,

между

которыми

осуществляется

функ­

зависимость: если

в качестве

множества

X взять множество

студентов данной

группы, а в

качестве

элементов

множества

У

- множество оценок, полученных студентами этой

группы на

эк­

замене по математике, то между ними существует

функциональ­

Приведенные примеры показывают,

что каждому

элементу

х е

X

сопоставляется

единственный

элемент

ц е У

.

Одна­

ко

это

не означает, что

каждый элемент i j e У

соответствует

только

одному

элементу

х е X . Другими словами, из

опреде­

ления

функции

следует,

что каждому значению аргумента

соот­

дение

неверно. Например, в функциональной зависимости

у. «

= 2 х

каждому значению функции соответствует

единственное

значение аргумента, а в примере со стержнем это

не так:

раз ­

личные

точки стержня могут иметь одинаковую температуру.

То

же и в

примере со студентами и оценками: каждому

студенту

зывается

о б р а т и м о й ,

если каждому ее значению

с о ­

ответствует единственное значение аргумента. Но, если

су ­

ществует

хотя бы одно значение

функции, соответствующее

не

19

ется суперпозицией функций

ц= 2 i -

\

, i

= Sun

L} ,

u = x a ' 3 .

После определения суперпозиции

формулировку

взанмнооб-

ратных функций мохно д а »

иначе: функция

u = f ( x )

и

х = 0.(14)

называются

взаимнообратныии,

если

о [ ] :

( х ) ] г х ? или

н

н у .

Например,

функции y = t o a a x

и

х = а "

являются

взаимно-

обратными

при

х е ( 0 ; + о о )

,

так

как

&ш

( ц У ) ё ц

или

tog „ X _

_

1

9

В заключение этого параграфа

следует

о т м е т и » ,

что,

е с ­

ли две величины связаны функциональной зависимостью,

то

р а з ­

биение их

на функцию и аргумент

весьма

условно.

Например,

где

С -

постоянное

число.

Если из этой формулы мы будем определять давление

при

заданном объеме,

то

объем V

играет роль аргумента,

а

д а ­

вление

Р

- роль

функции. Если же нужно найти объем

при з а ­

данном

давлении,

то

он

играет

роль функции, а давление

Р

венных

чисел

(или

любое

его

подмножество),

А область

значе­

ний функции также представляет собой

множество

вещественных

чисел (или любое

его подмнохество),

то функцию

называют

в е щ е с т в е н н о й

ф у н к ц и е й

в е щ е с т ­

в е н н о г о

а р г у . м е н т а .

Другими словами,

у

в е ­

щественной функции вещественного аргумента

все значения

а р ­

гумента и функции являются вещественными числами.

Чаще всего приходится иметь дело с функциями, знакомыми

нам из

курса

средней иколы; это - так называемые

основные

элеыентарные

функции. К

о с н о в н ы м

э л е ы е н -

т а р н ы м

функциям относятся

следующие:

I .

Степенная функция

ц = х а

, где

в

качестве

показа­

теля степени

а

может быть

взято

любое постоянное

вещест­

венное

число.

В зависимости

от значения

а

областью

задания