книги из ГПНТБ / Мараева, И. Б. Введение в анализ бесконечно малых учеб. пособие

Рис.

80

Рис.

81

Свойство 5 . Теорема Кантора.

Для того, чтобы сформулировать это свойство функций, не ­

прерывных на

сегменте,

мы сначала

познакомимся

с

понятием

равномерной непрерывности функции на промежутке.

В §

I

настоящей

главы

было дано

определение

функции, не­

прерывной

в точке

ха

,

на

языке

" £ - < Г " :

функция /(х)

не­

прерывна в точке ха

,

если для

любого

£

> О

можно

указать

такое

S

>

О

,

при котором для

всех

х

,

удовлетворяющих не­

равенству

/х

-

х01

<<Р , соответствующие

значения

функции

f

(&)

удовлетворяют

неравенству lf(x)

— f(xa)j<e.

Таким

образом,

значение

S

зависит

не

только

от

£

,

по

кото­

рому

оно

находится,

но

и от точки

ха

,

в которой

мы

опре­

деляем непрерывную функцию. Если функция непрерывна на

то

для каждой

точки

ха

одному

и тону

же

£

>о

будут

с о ­

ответствовать

различные

8

>0

,

удовлетворяющие

требованию

непрерывности. На рис.

81 показаны две

точки

х с

,

которым

соответствуют

различные

<Г

,

обслуживающие

одно

и то

же

£

> о .

*-г

Естественно возникает

вопрос: нельзя

ли выбрать

из

всех

8

для

различных

точек промежутка

{ а ,

£

У

такое,

которое

обслуживало бы заданное

£

> О

для

в с е х

точек

про­

межутка? Другнни словами, нельзя ли из

всех

<Г

,

найденных

по

заданному <?

, выбрить

наименьнее?

Оказываетса, это можно сделать далеко не для всех

функ­

ция.» Например,

для

функции

у z=.tcj х

на

[Оу

невозможно

121

подобрать наименьшее $ , тах как из - за быстрого

неограни­

ния всех

S

неограниченно

убывают

и наименьшего $

> О

не

существует

(рис. 8 2 ) .

Функций, для которых на ( а ,

8>

можно подобрать

на-

«меньшее

f

>

О

,

обслуживающее

все

точки

промежутка,

называются

равномерно

непрерывными

на

этом

промежутке.

Итак, f (

ас)

называется

р а в ­

н о м е р н о

н е п р е р ы в ­

н о й

на < а, В >

,

есдя для лю­

бого е>0

можно указать

такое

б1

> О ,

при котором для

любых

эс',

х"с

< а , 8у

,

удовлетво­

ряющих неравенству

fx'

-

x"/<g,

соответствующие

значение

функции

Рис. 82

/ ( х )

удовлетворяют

неравенству

/f(x')

— f(x")j<.

е.

Это

определение

означает,

что для

близких

между

собой

значений аргумента соответствующие значения функции

также

близки

д^уг другу,

причем мера близости

значений

аргумента,

гарантирующая заданную меру близости значений функции,

одна и

та же для любой

пары

значений

аргумента

нэ данного

промежут­

ка .

Из самого определения равномерной непрерывности

ясно,

что

если

функция равномерно непрерывна на промежутке,

то

она

в нем и просто непрерывна. Обратное утверждение

неверно, что

следует

хотя

бы из рассмотренного

вняе

примера

с

функцией

y^tgsc

г на [О,

у = ^ х

непрерывная функция,

но

не

равномерно

непрерывная.

Оказывается,

что

функции,

непрерывные на

з

а ы-

к в у 2 о м

промежутке, являются

и равномерно

непрерывными.

В этом закяючавяее пятое свойство фуикцнй, непрерывных

на

замкнутой

п р о м е т к е .

ЕСЛИ / ( х > Х М в е п р в р а в п а

в [ а , В ]

, то она

там

и

рав -

а )

[sin х,

х>уО.

б ) у =

f x - / ,

х < / ,

\x+f,

X } / .

2 .

Пусть

При каком выборе числа

а

функция

f ( x )

будет

непрерывной?

3.

Функция f(x)

= X * sin

не

определена

при

X

-

О.

Каким должно быть значение f

(о)

,

чтобы

доопределенная

этим значением

функция

стала

непрерывной?

4 . Показать, что при любом

выборе числа £

( I )

функция

/СзО =

будет

разрывна

при

х

= 1 .

5.

Обязательно

ли

будет

разрывна

в данной

точке

ха

сум­

ма двух функций f(x)

+

д(х)

,

если

&)-f(x)

непрерывна,

а

^ С 1

)

разрывна при

x = x , 0 j

б) обе

функции

f ( x )

н

Cj (х)

разрывны

при сс= х 0

?

Привести

соответствувщие

примеры.

f(x:)g(x)

6.

Обязательно

ли произведение двух

функций

терпит

разрыв

в данной

точке

х 0

,

если

a) f(Jc)

непрерывна^

£(эс)

разрывна в э т о ! точке;

0)

обе

функции

fte)

и

д(х)

разрывны иря х=

оса ?

Привести

соответствующие

примеры.

7. исследовать

следующие функции на непрерывность,

выяс­

нить характер

точек

разрыва н построить графики:

а )

u^—i

d

(х +2)л

'

х-1)(х+2)

'

sinx

Д)

U=

У

——у

3

f +

2~*

,)

у =

8а-

х *

'

(х

+ 1)(х-3)

к)

у = а г с ^ ^ -

,

1

—

Р Т ^ Х

SLP.X

. .

[

i

,

Х=0

>

а )

&/п*|/ У -

2 х

,

б)

11т

С /

+

as4 ;

И

о-

/•«

£п(3*tcxi

в '

£ i / n

(S

+

е

)

eim

(х

+

X

г )

е х ) х .

а: —о

*

-» »•<>

10 .

Показать,

что

уравнение х 3 - Jac

+

/

»

о

имеет в

ин­

тервале

( 1 , 2 )

вещественный корень. Вычислить

его

приближенно

с двумя

знаками

после

запятой.

1 1 .

Доказать,

что

любой многочлен

Р(х)

нечетной

с т е - ~

пени имеет по крайней мере один вещественные корень.

12 .

Показать,

что функция f ( x ) -

-JL

непрерывна

в

интервале ( 0 , 1 ) ,

но не является

равномерно

непрерывной в нем.

13.

Исследовать на равномерную непрерывность

в

заданиях

областях

следующие функции:

* ) / ( * ) = . ^ i ,

б) Д а О = йъ х ,

0 < ж < /,

в )

Д

*

;

= ^ * . ,

0<*<Ж,

Г)

f(X)

=fx~,

/ < Ж < + с о ,

д ) f(cc)

= xsinx.,

* Ц а:

Дополнительные

примеры

БЖР1АН Г.Н. "Наука", 1969.

"Сборник

задач

по

курсу

мате­

матического аиалива". Гл. П, §

I ,

» 221,

223,

22ч,

226,

230,

235,

237,

240,

242.

ОТВЕТЫ К КОНТРОЛЬНЫМ ВОПРОСАМ И ПРИМЕРАМ

В в е д е н и е

7 . а )

0

< ж ^

б.)

,

А .

8 . а ) {7 , 2 / ; б) О* a ^ f i Z l f

; в ) Л .

10. a) a c > j - и x < j -

i <0

•

.

П . а )

/,

f ,

й)±Ж+гкХ

(K=D,±f,±Z,

. . . ) ,

в )

J C > 0 .

12 . а )

/т-nf

,

0)

за

f a !

при

а >

0 ,

a

/ 5 1

при

а < 0 ,

в) / х * + 7

при

л > 0 ,

- ^ ё * + 7 ~

при

J C < 0 ,

г )

^

при//>/> 2

; п р и / / ? / < £

при

годят­

ся

оба вырахевке.

1 3 . а ) г

> - / 4 ,

х<-Ю,.

б )

^

. и д и

,

,

х у с- d

х < c - c f .

в)

х

> - 2 ,

ж <

2/

г )

ж

> 7 ,

а? <

д )

а * ' < а с < а * '

при

а > / ,

а * < ж < а " *

п р н 0 < а < / .

126

"

,

"

15 .

a) I a I

; б)

гггВо^а1х1.

Г л а в а

I

I .

а ) ас *2SLK

(/r= 0,± lf

±sf .

u)-f-*2$LK

s < a c 4 < - f + 2

Як,

в )

х

-

любое

вещественное число;

г)

Л ,

Д) Х=К

(

К=

0,±/,±2,

. . . ) ,

е )

х * ± 2 ,

х )

х

-

любое

нецелое отрицательное число.

3 . а ) четная; б) четная; в ) нечетная; г ) нечетная;

д ) нечет­

ная;

е) функция не является

ни четноЯ, ни нечетно!.

5. а ) Т <= I ; б) Т = % ; в) Т= f .

ос =

У +

6 . а )

*

- с о < у < *о=>^

j ) — — —

в ) х = {

*i'n.u,-f4</4-f,

г ) с с = Ц и - / , у > О,

д )

х=

j/u-2,

x=-jju-2 , yet 2,

8.

u=p-(£f

arctgsuixf,

г/с5Г< x < (Я/с + ОЙГ(K=ot lf,±2,

Г л а в а

I

6. a ) ^ ; 6) 0; в) 2; д ) ^ ; e ) ^ - ; ж) - 2 ; з ) ^ ;

;

Г л а в а

1У

В последующ/х

ответах

запись

f^x)^Q'lifC^)]

обозначает,

что f(x)

и

f(oc)

при заданной

ос-*-ха имеют одинаковый

порядок.

Запись f(x)

~ o f y c r j j обозначает, что f(x )

имеет

более

высокий

порядок по сравнению с >f(x) .

I .

а ) Л х

-

оег =

0*CxJ ,

127

б)

— = o(fc7J

- f x ) ,

а )

ж

Z X - ~ = 0 ( x ) ,

6)

в) 2 х * - 3 х ' + /

-

о"(Xs).

a=

к.

i

<0

0;

в )

0;

r)--L

i

JO —

i e) cos

a .

a)

±

;

6)

I ;

в )

10;

г )

3;

д )

I ;

e) 2 .

O f * * ,

; д ) Х ; е ) ^ .

;

Г л а

в а

У

а )

у

строго

возрастает

в £0,*<*=>)

и строго

убывает

в

(-во,

О);

б)

^

строго

возрастает

ъ[-

jf+£Kfit~-i-2ji§A

строго

убы­

вает

в

[ §

+ 2к£!

|JT +£/cSlJ

(к

= о,±<,±г,

. . . ) .

в )

у

строго

возрастает

ъ[Я->ёкХгг^*гкЗ[]ш строго

убы­

вает

ъ[2к5Г,

S

+ ZKK]

(К=Ог

±4} ±г, . . . ) .

г )

v

строго

возрастает

в £ £ , * < « 0

и строго

убывает

в

а )

у

-

возраставдая

фушщня

Б ( - « О, +<*«0,

б)

ц

-

возрастащаз

функция

в

» о ) ,

S

в )

при а > О

функция убывает

в

- ~ J

и возрастает

в

frf-r

.При я < С

функция возрастает в ^-оо ,-

й убывает B[~J~

}

"~~а<3).

а ) е ; б ) | ; в ) - Z g l . e * }

r ) | -

; д ) а с £ 7 ( е а ;

I

е ) a m a . ; к ) — — .

Г л а в а

П

а )

да;

б)

нет;

в ) да;

г ) нет; д ) д а .

128

2 .

а

-

I .

3.

f(0)=o.

7.

a)

ж.

= -2

-

точка

разрыва

II

рода;

б)

ос

»

I

и

ж

-

-2 -

точки

разрнва

П рода;

в )

at

-

- I -

точка

устранимого

разрнва.

г )

х

«

О -

точка

устранимого

разрыва, х=/г5Г ( л = £ 1,±Zt..)~

точки разрыва П рода.

д )

х

-

О -

точка

разрыва

I

рода с

конечным

скачком;

е)

функция

непрерывна

при

ас > J

и

х

< -1

. Функция

не­

опредеяена

в [-1,

3]

;

х )

х

ж о -

точка

разрыва I рода с конечным скачком;

з )

х

= О -

точка

разрыва

П рода;

х

= I

-

точка

разрыва I рода с конечным скачком;

и) х

= О -

точка

разрыва I рода с конечным скачком;

к )

функция

непрерывна.

9 .

а )

ё*

;

б)

е

;

в ) е *

;

г )

<г*

;

д )

8 .

10 .

1,53 .

13.

а ) равномерно

непрерывна;

б)

не является равномерно

не-

• прерывной; в ) равномерно непрерывна; г ) равномерно не­

прерывна;

д)

не является

равномерно

непрерывной.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1 .

ФИХТЕНТОЛЬЦ Г.М. Курс

дифференциального и

интегрального

исчисления,

т .

I ,

"Наука",

1966.

2 . ПИСКУНОВ Н.С. Дифференциальное

и интегральное

исчисление

для

втузов,

т .

I ,

"Наука",

1970.

3.

КУДРЯВЦЕВ Л.Д. Математический анализ, т . I , "Высшая

шко­

ла",

1970.

4 .

ТОЛСТОВ Г.П. Элементы

математического анализа,

т .

I ,

"Нау­

ка",

1965.

5.

ШШКИС А.Д. Лекции

по высшей математике.

"Наука",

1969.

6.

БЕРМАН Г.Н. Сборник

задач по курсу математического

анали­

з а .

"Наука",

1969.

7.

Задачи и упражнения

по математическому анализу

для

втузов

под

редакцией

Б.П.Деыидовича. Физматгиз,

1962.