Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Мараева, И. Б. Введение в анализ бесконечно малых учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

4.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

110

Они донечны,

но не равны друг

другу

Следовательно,

точ-

ка

х.

о 0 является

точкой

разрыва I

рода с

конечный

скачкой.

Скачок

функции

точке

хо

» 0

равен

w=f(x

+ o)-f(x-o)

= г .

2)f(X

0)-f(x-0)tJ(xa).

В этом

случае

точка

х0

называется

т о ч

к о й

у с т р а н и

м о г о

р а з р ы в а

функции. При этом

значе

ние f ( x o

)

может

быть

Рис.

конечным или функция

во

обще может

быть

не

опре

делена в

точке

х 0

Пример.

sinx

Рассмотрим функции

. В г л . Ш било

доказано,

у = ^

что существует

£Ст

= /

, т . е .

в точке

ха

од-

носторонние

пределы функции существует,

конечна и равна

ДРУГ

другу. Но сама функция в точке

х д

0 не определена.

По

этому точка

х9

• 0 для данной функции является точкой

устра

нимого раарава

(рис. 64).

Это название

объяс

няется тем, что в этом

случае

разрыв функции

можно легко

устрани».

Действительно,

если

составить иовув фувк-

вж»

(х)

так,

чтобы она совпадала

первоначальной

f(ac)

при всех ос. Ф

в точке

£ео

положить

	№	=		=
		-Urn	f(x)
	то	новая	функция	ft(x)
Рие. 64	в	точке	JC	будет

I I I

непрерывной о В рассмотренном примере

	/ ( Х >		эс		если	х ф О,
	/ ( Х >		эс		есян	аг=	о.
					есян	аг=	о.
/ Г а г ) непрерывна при			всех	х а	, в	частности я		з жочке		д»	ш
- 0.
Операция устранения разрнва функции называется										д	о -
о п р е д е я е н и е м			ф у н к ц и и				в точке		з?0 .	Оче-
видно, доопределить функции мохно только,							если	ж с	-	точка
устранимого	разрыва,	в	случае конечного скачка,					например, д о
определить	функцию в	точке		с с 0	так, чтобы новая				полученная

функция	била	непрерывное,	невозможно.
2 .	Точки	разрыва П рода.
Как уже		отмечалось,	если	х о - точка разрнва	второго
рода, то	хотя	бы один из	односторонних пределов не		существует

или бесконечен. Пример I .

Рассмотрим функцию у = 5 m х * Т а к к а к синус - непрерыв

ная

функция

области

своего определения, то единственно! точ

кой,

которой

данная

функция

неопредедена,

является

х 0

Ест

sin

не

существует,

поскольку

аргумент

функция

при

X — " О

стремится

к о о

, а

г л . У доказывалось,

что

Eim

stnz

не существует. Следовательно,

в точке

предел

не

существует,

т . е . точка

ссд

= 0 является точкой раз

рыва данной

функции П рода. На рис. 65 приведен график

функ

ции

= sin

-L

Пример 2 .		±
Рассмотрим функцию и = <2			. Единественной	точкой,	в	а о -
торо!	эта функция не	определена,	является точка	х „ -	0.	Вы
числим	односторонние	пределы

112
tint	£	= + 00

			dm	~т	-
Итак, один	из	односторонних		пределов		конечен,			а другой -
					бесконечен.				Точка
					ж о	= о является				точ
					кой	разрыва			функции
					П рода.
						Для			построения
					графика		этой		функции
					(рис. 6б)			полезно		вы-
	0 j			- — ч и с л и т ь			еще		&mjg	:
	Ряс.	66					£
Рассмотрим функцию			у = tgx	при	зс е £			0,%].
В промежутке [О,Л]			функция неопределена					в	единствен
ной точке х 0 = .	.

=+оо

точка 6 7 ) .

Оба односторонних предела функция бесконечны.							Поэтому
осо~—	является	точкой	разрыва функции			П рода		(рис.
	Z
Проанализированные		случаи	точек	разрыва	исчерпывают все
		возможные		комбинации, при			которых
		нарушаются условия				непрерывности.
		Знание классификации				точек	разры
		ва помогает построить график функ
		ции, т . е . наглядно проследить						за
		ходом ее		изменения.
			Пример.
			Построить		график		функции

	У = е	•	Эта функция является
	суперпозицией		показательной	функ
	ции, непрерывной при всех значени-
Рис . 67	ях аргумента,,		и дробно-рациональ
ной функции, непрерывной во всех точках,			кроме корней	знаме
нателя. Поэтому данная функция непрерывна при всех х				, кро
ме точки	- I .

	из -
Исследуем	точку разрыва эсе в - I , вычислив односторон
ние пределы	-S_
о-	-S_
urn	е <*х
ЗС ---1*0

Точка			а?о .		- I
является		точкоВ раз
рыва П рода.					Для
построения				графика
функции		полезно			вы
яснить	ход		ее	изме
нения	на		бесконеч
ности:					х
ест г			=	е*"~	=
эс-»*-оо
~е		=	е .

На рис. 68 по казан график этой функции.

23.

Непрерывность

функции

на сегменте.

Равномерная

непрерывность

функции

Функция £(х)

называется

н е п р е р ы в н о й

( а,

) ,

если

она непрерывна в каждой точке х £

(

а,

В) .

Если,

кроме

того,

существует

конечные

пределы Eim

f(x)

= f(S)

ziirriof(oc)

=j(a),

то функция

f(x)

^называется

н е п р е р ы в н о й

[а,

В]

. Таким

образом,

непре

рывность

функция на сегменте

означает,

что

функция

непрерывна

в каждой внутренней точке этого сегмента и, кроме того,

су

ществуют конечные односторонние пределы функции на его

кон

цах,

равные

значениям

функции в этих граничных точках.

Функция, непрерывная на сегменте, обладает рядом свойств,

которые

мы рассмотрим

в этом

параграфе. В данном курсе

дока

зательства этих свойств не приводится. С ними можно

познако

миться в [ i ] .

114

Свойство I . Теорема Кояи.

Непрерывная функция,

переходя

от

одного

своего

значения

к другому, принимает

и все

промежуточные

значения.

Пусть

( с е .

задана и непрерывна в

£ а ,

тогда каждому

числу

s лежащему между

f(&)

(В)

соответствует

хотя

бы

одна

такая точка

лежащая

между

, в

ко

торой

f(q.)=Q.

Теорема Коии означает, что, если

функция

принимает

ка

кие-нибудь два своих

значения,

то

она

принимает

и любое

зна

чение,

промежуточное

между

ними.

Рис.

На рис. 69 показано значение

лежащего

между

f ( a )

f(8)

, и соответствующая

ему такая

абсцисса

лежащая

между

что f ( ^ )

= 9'

Если функция

непрерывна

на [а,

£]

то,

как

утверждает

теорема

Кони,

такая абсцисса

д.

обязательно

найдется

для

любого

расположенного

между

f(f>)

. Абсцис

са

может быть и не одна. На рис.

показан

случай,

ког

да

заданному

значению

соответствуют

несколько

значений

Я-

Теорема Коии формулирует основное качество

непрерывной

функции: график этой

функции

представляет

собой

непрерывную

линию.

Конечно,

для

разрывной

функции

теорема неверна,

как

это

видно

из

приведенного

рис.

7 1 .

115

				Рис о 71
СдедеТРИе.
Бели		/*(ос)	задала	и непрерывна в		£a,8J	»	значения
/(х)	на	концах [а.,В]		имеют	разные	знаки,	то	внутри
•[а,	В]	существует хотя		бы один	корень	функции,		т . е . точка

с, в которой f ( c ) — О.

	Геометрически следствие		означает,	что для	непрерывной
функции, принимающей		ка концах промежутка значения разных зна
ков,	существует хотя	бы одна	точка пересечения		графика функ
ции с	осью абсцисс.		,	„

Рис. 72		'	Рис. 73
На приведенных рис. 72,		73 показаны случаи, когда корень
функции единственный и таких корней несколько.
Данное следствие является действительно следствием				тео
ремы Коши, так как роль	If	здесь играет	0.
Указанное следствие	теоремы Коаи яироко используется			для

116 нахождения корней функции. Рассмотрим это на примере.

Пусть f(a:)

= a : J - x

j . Будем придавать

аргументу целые

положительные

значения. Тогда

при

« I

f(x)=

I f

при

ос

- 2

f(x)

«= 7

и т . д . Нетрудно

догадаться,

что f ( x ) ? 0 ,

при

всех

ее > о

. Рассмотрим

теперь

отрицательные

значения

ос

ас = 0.

При

гс

= О

= I ,

при

д? = - I

» I , при

с -2

/(х)ч

- 5 ,

дальне

все

значения

функции

отрицательны. Так как

f(zc)

-> непрерывная

функция

прини

мает

на концах промежутка

- 1 ]

значения

разных

знаков,

то внутри этого промежутка лежит корень функции. Следователь-

no, с точностью до	целых, корень функции х а	равен		- I , . . .
Значение корня функции можно получить с больней			точность»,
если сужать полученный промежуток. Действительно,				f(-itS)<0,
поэтому корень х а	лежит в промежутке [-1,5,	- 1J	. Попробуем

еще больше сузить промежуток, в котором находится корень функ ции:

			О -		- / , 3 3 /	+ /,/	+	/	>	О,
	/ Н , г )			=	-f,728	+/,«	+	/	У О,
	f(~f,3)			=	-£,197	+/,3	+ /		>0,
Итак, корень функция ха						€.E-/,*/-t,3]			,	т . е . х о = - 1 , 3 . . .
Таким		способом
можно подучить				зна
чение корня с			любой
нужной вам		степенью
точности. На рис. 7ч
показан	график			рас
смотренной		функции.
Свойство 2 . Пер
вая теорема			Вейер-
•трасса.
£сли - Г ( х )				з а
дана и непрерывна на
la. Б] , то нножест-
so ее ввачеинн огра
ничено, т . е . сущест
вует такое			число
К > О	\| при кото
ром для всех			х £
£afB]	выполняется								Рис. 74

117

неравенство | / ( х ) | ^ Л

( р и с . 7 5 ) .

Рис.

ДЛЯ разрывных фуякди!

или функция,

не являющихся

непре

рывными на

з а м к н у т о м

промежутке, теорема

неверна.

Например, / f x )

bj х

для

x e £ 0 , j-]

не

является

непре

рывно! функцией,

хотя

оаа

непрерывна

на

[ 0 , ~ )

и m[Ot

£].

эта

функция

не

ограничена

(рис.

76).

Свойство 3. Вторая теорема Вейермтрасса.

Если / ( х ;

задана

и непрерывна

на £а,

то с р е

ди

ее значений

есть

наиОольяее

и наименьшее,

т . е .

в [о.,

В]

найдутся хотя бы две такие

точки

что

f ( c )

наибольшее, a f ( d )

- наименьшее из всех

значений

f ( x )

[a-,

(рис.

77).

Если

функция

разрывна

или

не

является

заданно!

непрерывной

яа

з а м к н у т о м

промежутке,

то

теорема

неверна

(придумайте

сами

соответствующие

при

меры).

Рис.

Свойство

4 .

Теорема

об обратной

функции.

Если f(x)

- строго

возрастающая

(убывавшая)

изорзрванбя

функция яа [а,ё]

, то обратная ей функция будет тав&э етро^

го

возрастающей

(убывающей) и непрерывной

ша.[с>с(]=[f(a.),>

118

Эта

теорема справедлива

и при более

мягких

требованиях:

если

/Ysc)

задана,

непрерывна

и строго возрастает

(а,В)

л,

кроме

того, существует

конечные млн бесконечнее

пределы

Jim

f(x)

—с

Вир.

f(x)=o

то

обратная

функция

х*=ср(у)

строго возрастет я

непрерывна в ( c } d ) .

Аналогичное

утверж

дение может быть сформулировано относительно строго

убываю

щей функции.

Сфорыулировавнал

теорема

и указанное

замечание

могут

быть использованы для доказательства непрерывности

б-

р а т н ы х

т р н г о н о м е т р и ч е с х

ихх

ф у н к-

I .

y = arcstа

xe.C-f,fJ.

Рассмотрим

для

Обратная

функция

x=siny

непрерывна

jr]

причем sin.S.=.

и sin(-£)=-1.

Тог

да

функция у=алс5тд:непрерывна в

[-f,f],

т . е .

а области своего существования.

На рис.

показан график

функции

arc

sin

х.

2 .

Непрерывное»

функции ^.^arccos

в [-

проверяется

аналогично.

Рассмотрим y=arctgx

для

х G ( - а о , + о с ) .

обратная

ей

функция

•

mtgy

непрерывна

в ( - ^ ,

» )

причем

^ Т | |

существуй

Birpjgy=

- ° о

шВт

ift/=

*оо.

' * I

Тогда функция1 у

—arctgх

непрерывна в

Рис.

(-<*», +<*о)

области

своего существования.

На рио.

показан график

этой

функции.

Непрерывность

фуик-

\Ц

цин y=arccb}

вС-со,*оо)

проверяется

аналогично.

В §

I в 2

настоящей

•х

главы было показано,

что

основные

элементарные функ°

ции ^ = э с в ,

^ = а х ,

?ot£x,y=:sinx,

•

LOSX

, y=tgx

Рис.

ctg

непрерывны в

об

ласти

своего

существования. Теперь

мы доказали,

что

обрат

имо тржгоаометричесхие функции непрерывны в области своего

с у

ществования. Таким образом,

доказано,

что

все основные

эле-

119

ментарные

функции непрерывны

области своего

существования.

Бели

к этому

добавить теоремы

о непрерывности

суперпозиции,

об

арифметических

операциях

над

непрерывными

функциями ( т е о

ремы I ,

2 гл . У1), то мохно сделать еще более

широкий

в ы в о д :

все элементарные

функции

непрерывны

области

своего существования. Следовательно, для нахождения точек

р а з

рыва элементарной функции достаточно найти область

ее

сущест

вования и выявить таким образом те точки,

в которых

функция

не определена, а значит терпит разрыв.

Например, функция

у~——

^-L

имеет

разрыв в

точках

сс(

I ;

сгг = I

; ссл

-3/2,

так как'в

них данная

функция н е

определ ена. При остальных значениях

ос

функция

непрерывна.

Точно

так же y=arcsln(£n-~)

определена

непрерывна

ъ[—,е]

Д е й с т в и т е л ь н о , i n ^ - 4

» 1 « е - ~ / 4 £ п х 4

/ ;

±.

ос ^

, а

точка

при которой функция

не

имеет

смысла,

не входит в полученный промежуток. Кроме

того,

•J-

> О при

всех

х£

е]

, т . е . €п

—

также

имеет

смысл

этом

промежутке. Поэтому функция y=arctin.(£n.-L.y

не

прерывна

е].

Если функция задана различными аналитическими выражения

ми на участках промежутка изменения аргумента,

то

помимо

вы

явления

точек

разрыва на каждом участке нужно

исследовать

на

непрерывность

и точки стыка.

Пример.

сс<о}

/(<=;=

г ,

х = о,

(-Х,

Х>0.

Так как каждое из аналитических выражений функции непре рывно на своем участке, то остается исследовать на непрерыв ность точки стыка.

	tlm	f(x)=£lm			е * =	1,
	ас-»о-о				х-о-о
	tlm	Кх)	=	tlm		(4-х)-1.
Тогда	существует		Elm	f(x)	—I.
Однако	f(o)=Z£		Пт	f	(x).
Следовательно, f(&)			имеет в точке			x = 0 разрыв I ро -

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ