книги из ГПНТБ / Мараева, И. Б. Введение в анализ бесконечно малых учеб. пособие

100

tim t(x) —Um

х г =о

Односторонние

преде­

лы существует,

конечны и

равны между собой.

Кроме

того,

они равны

значение

функции в точки

х0

ж 0:

Km

f(x)=eim/(x)=-f(o)

ас—о-о

л-*о*о

J

Это и значит по оп­

P i c . 58

ределению, что f(&)

не­

прерывна в точке хд

ш о.

Пример 2.

Рассмотрим функции

у =

х

в покажем, что она яе

является

непрерывной в

точке

0.

Так как по ос ­

новному тригономет­

рическому

пределу

tin

^ = f ,

„

ж-»о

a=

односторонние

пре­

делы существу»!,

ко­

нечны и равны

друг

другу. Но

значении

функции в

точке

£с0 -

0 не

сущест­

вует

(функции

ие

определена в

»то!

т очке ) .Сл еловах* яв­

но,

Bim. Нос) - От /(**=

Х+О'О

х-»о*в

= 1 *f(0)

Графах фуиищща

Рис. 59

нриведеи на ряс. 59.

Определение функция,

непрерывно! в точке

х

можно

дать

п а ч е . Действительно,

существование и равенство

одно­

сторонних пределов равноеялыо существоваяхе конечного

пре­

дела

а течке х .

. Тогда это определение можно

с формуляров

101

вать

так:

функция

/

(х)

навивается

н е п р е р ы в н о й

в

т о

ч к

е

хе

,

есян

в этой

точке существует

конечны*

вре­

ден

фувкщнж,,

я

он равен значение функции в точке х0

:

ест

f(x)

=

f ( X o

) .

Т=е. предел функции равен

значению функции в прадеяьнеЭ

точке, идя, как часто говорят,

предел функции радея

фуккцва

от предела

Urn

J(x)

=

f(eimx).

Итак, для непрерывных функций можно как бы мавжть

мес-

таш

знаки функции и предела.

Сформулируем определение непрерывной фунхцнн на

"языке

f - f

пользуясь

определением

предела:

функция

$

(х)

называется

н е п р е р н в н о й

в

т о'ч

к е

ха

,

если для

любого

£ > 0

можно указать

такое

S

у

О

,

при котором для

всех

х

из

области

задания

функции, удовлетворяющих

неравенству

| * - * o l

<

соответствующие

значения

функции удовлетворяют

неравенству

\f(x)

-

/(хв)\

<£.

Покажем,

как еще можно определить непрерывность функция

в точке

sc0

. Обозначим

ха-

х =А х

и назовем его

прира­

щением аргумента,

& £(х)-/(х0)=/(хг+ах)-/(х^1у

пряращемяем

функция. Тогда по определению непрерывности функцнн в

точке

х 0

, по любому

£ > О

можно указать

такое

S >о

,

что

как

ioxbKoj д х

| <

S

,

так |д^| < £ .

Но е ю

означает,

что

д у —*• О при

л х - « о

по

определению бесконечно малых функ­

ций. Т . е . определение непрерывной

фувхквн примет

следующий

вид:

функция

f(x)

называется

н в а р е р в в и

о

I

в

т о ч ж е

зс0

,

если бесконечно

«лащу

приращению аргументе,

соответствует

бесконечно малое

приращение функции: д у - *

О

при д х - * о .

На рис.

60

в 61

показаны

непрерывная

функция

в точке

х 0

и функция, ие являющаяся непрерывной в

t o w .

В первом случае

д у

о

пря д х-*с

,

а во вхврсм

случае

Ау

ФО

при Л * - » ! ? .

прернвяа

в любо! точке х 0 .

103

2 .

у = COS Ос.

Непрерывность

этой

функции в любо! точке х в

докаднва-

етси

совершенно так s e t

как для функции у = sins:

„

Читателя

полезно

провести аналогичные рассуждения самостоятельно.

3.

у

=

а *

Возьмем любую точку

х0

,

зададим приращение & х и вы­

числим соответствующее

приращение функции:

&у = /(х+лх)

- f(x0)

^а*'***

-а^^а^Са*-

/).

В контрольных вопроси

гл . и (пример 2, %) было доказа­

но,

что ори стремлении

показателя

степени к нулю показатель­

ная функция стремится к I . Тогда

выражение в скобках

в

пра­

вой части равенства стремится к нулю при д х - 0

,

а

а*"

»

постоянное чнсло,

не зависящее

от л х

.

Следовательно,Atf+u

при &х—~а, т . е . показательная

функция у — - а ж

непрерывна

в любой точке х0

а

*•

У =

х *

Возьмем любую точку

эсо *

о

, зададим приращение д

х

и вычислим соответствующее приращение д у

:

лу = (х0+л х) в - * ; =

+ £5.; - / ; .

В контрольных вопросах

гл. П (пример 2,

г )

доказано,

что

предел

степенно! функции прн стремлении

основания к

I

равен I . Тогда выражение в круглых скобках в правой

части

равенства

стремятся к I

прн А ас — - О t

а в квадратных

скоб­

ках -

х

нулю, т . е . & 'у — - а

при АХ—*-0 . Это означает, что

степенная

функция с любым показателем непрерывна в

точке

а ; *

О .

Если

* 0 • о,

хо степенная

функция при

а}

о

также бу­

дет

непрерывка в этой точке. Действительно, Д у =

(Ах)а

ж

для доказательства непрерывности достаточно показать,

что

(лх)а—*0

jam А х-*о

(

а > О )„ Возьмем любое

£ > О

ж

положим c W j ^ f

. Тогда прн |дое|<£

l ^ x ^ f i , т . е . ( д з с ) ^ * 0

при АХ—»0

. Так как прн а

<

О функция х*

неопределена в

точке

хс

т Q, то получаем такой

вывод: степенная

фунхщня

непрерывна в лшбой точке свое! области существования.

5.

и =

£пх.

Вовьмем любу» точку

зе0

> О ,

зададим приращение

д ж к

вычислим соогветствувщее

приращение функция:

104

Аи=£п.(хв+Ах)-Епхе

-?п(/+

~

) .

В контрольных вопросах

г* . П (пример 2,

в )

Ото

доказа­

но,

что логарифмическая функция стремится к нуле при

стрем­

лении своего аргумента к I . Поэтому £n(f

*• ^£г)~о

при л

х - о ,

т . е .

логарифмическая функция непрерывна в либо! точке ха

> о ,

т . е .

в области своего опрелел м ы .

Так как логарифмическая

функция при любом другом

осно­

вании а > О отличается

от натурального логарифма

только

постоянным сомножителем,

то для нее справедлив

тот же

ре ­

зультат: функция у = &>дах непрерывна в любо!

точке

свое!

области существования.

Доказанная непрерывность степенно!, показательно!, ло-

гарнфмическо! н тригонометрической фунхцн! в области

своего

то подставлять предельную точку

под знак функции.

Например,

tint

£nx

=

?nZ

, £imex=

e s

, eim

sinx.

= I

% т . д .

Такие операции можно совершать, конечно, только

над не­

прерывными функциями. Если функция не является

непрерывно!

в точке

хс

, то

переходить

к пределу под

знаком

функции

ни в коем случае нельзя.

Пример.

-

зх

+

г

х - 1

х = /.

urn

f(x>-

ит+

zrbrt—

tim

(х-г)

Но

ж*/

Функция не

являет­

ся

непрерывно!

в

точке

хд

* I . На рис. 62 по­

казан

график

этой

функ­

106

Дробно-рациональная функция непрерывна во всех

точках

числовой

оси, кроме корне!

знаменателя, т . е . опять-таки

в

области

своего

существования.

Теорема 2 . О непрерывности суперпозиции.

Если

/ (ос)

и

Я(х)

таковы, что можно составить

их

суперпозиция,

к

f (х)

непрерывна

в точке

сс0

,

a

jj(y)

непрерывна в точке

ув-

/(з^) , то сложная

функция

glff(x)]

непрерывна в точке

аг0 .

Доказательство

Так как f

(ос)

непрерывна а точке

х о

,

то

существует

конечный £йп

f(x)

=

f(x„)

. Так каж д(у)

непрерывна

в

точке у . х " , % о

существует

конечны! #/п

= д(иа),

Яо

тогда по теореме

о пределе

суперпоз/цни

(см. гл. П),

сущест­

вует

turn §[f(x)]

= tim М)

=

$(у0).

Тая как

у„ = /

(хв)

,

то tirn g[f(x)]=

$[f(*)]

, а это и

означает

непрерывность суперпозиции

в точке ха .

Пример.

функция LJ =

£т.(5£лх)непрерН1на

при всех

значениях

х

,

удовлетворяющих

неравенству <гЯтг< х <^Л(гп-1)t

где

п. -

mo,£i,±Z,

. . .

,

так как при этих значениях

х

sinx)0

,

т . е . In

(sin. х)

существует

н непрерывен каж

суперпозиция

Функция

у=[и(х)]

называется

п о к а з а т е л ь »

н о - с т е а

е н а о I .

Ее, очевидно,

можно представить в

виде

у = [ и (X)J

= е

,

и произведения

v(x)

на

логарифмическую функци».

Областью

ее существования

является

все эначеиня х , при

которых

и (ос)

я

и и (ос) у о .

107

и ( х ) существуют

Так

как показа­

тельна* функция непрерывна в любой конечно!

точке

Z

,

а

логарифмическая функция непрерывна при всех

х

,

upi

кото­

рых ч(х)

>0

и непрерывна, то показательно-степенная

функ­

ция непрерывна в любой точке своем области существования.

Иначе, если существуют конечные «редели

tim

и(х)

=

и(ха)

> д

н

# m v(x)

=

У(ха),

то существует

Так.как

r

7vC*>

eimCv(X)

егги(х)]

cim

[

u(oc)J

=

ex-^

у

пенно! функции может возникнуть

только

при:

I )

\ * ( * >

- °

Т . е . , если

V(x)—*0

J V ( X ) — О

и(х)

—••Оо *

| и

(X)— О

2)

£nu(x)-+i

ся

п о к а з а т е л ь н ы м и

н е о п р е д е л е н ­

н о с т я м и

и обозначается следующим обращен:

а )

( о о а ;

.

"бесконечность •

нулб»о1

степени".

Этот

тип неопределенности означает, что рассматривается

&/п

[а(ос)]

где

u(os)-»+°o

,

v(x)—О

х*х0

б )

(0°)

~

"нуль

в иудею!

степени". Это

означает,

что

рассматривается

tim

[u(x)J

где

u(x) —

0,

V(x)—*0

8imLu(x)J

где и(х)-±

if

у(х)-~оо

e i m

[ J -

entg^Eun

l ^ - ^ - 0 U L m b ¥ - <

=

uzc-f

г if

-I лчц

a:— t

ж»/ x—f

" i ?

s - /

* ^

{x-t)COs2*.COsf

*~> (X-OCOS'jf1'

1 2

Тогда

первоначальный

предел

§

22.

Классификация

точек разрыва функции

Точка

а?0 ,

в которой не

выполнены условия

непрерывнос­

ти, яавнваетса

т о ч к о й

р а з р ы в а

функции.

в

тахих случаях говорят, что в

точке х с

функция

" т е р ­

п и т

р & з р в в " .

Так как условия непрерывности функции в точке

« 0

з а -

хлачаатся в существовании односторонних пределов,

значения

функции в- давней точке и вншедяешш равенства

tun

f(x) =eim

f(x)=f(x>0),

109

ронних пределов функции в точке ссд

, то

сса

- точка

разрыва

функции. Или функция

неопределена в

точке

хо

„ т . е .

не су ­

ществует

/ (зс с ) „ или односторонние

пределы

существу!»,

но

не равны друг другу. Или, наконец,

односторонние пределы

с у ­

ществуют

в точке оео

, равны друг

другу,

но не равны

значе­

пит

разрыв

в точке

сс0 .

Б зависимости

от

причин

нарунения

непрерывности

фуякцан

все

точка

разрыва

разбивается

на 2 класса;

первого рода в в т о ­

рого

рода.

К т о ч к а м

р а з р ы в а

I

р о д а

отно­

делы

функции.

К т о ч к а м

р а з р ы в а

П р о д а .

отно­

сятся так:.е, в которых хотя

бы один

из

односторонних

пределов

не

существует

иди бесконечен.

Рассмотрим введенные типы точек разрыва подробнее ы при­

ведем

соответствующие

примере.

'

I .

Точки

разрыва

I

рода.

Если

ос0

-

точка

разрыва f ( x )

первого

рода,

то

с у ­

ществуют

конечные

односторонние пределы f

O)uf(xo—

О),

Тогда

причины

нарушения

непрерывности в точке

могут

быть

следующими:

•О / С « 0 +

0)*f(xo-0)

о В этом случае точка

авв

назы­

вается

т о ч к о й

р а з р ы в а

с

к о н е ч н ы м

с к а ч к о м ,

причем

с к а ч к о м

функции

f

(се)

в

точке

ха

называется

число си ~f(^c^-

0)-f(xo—

О) .

Пример.

рассмотрим функцию

у=-~

. В соответствии

с

опреде­

лением абсолютной

величины числа,

данном во введении,

эта функ­

ция

при х >

О

обращается

в I , а при

х<0

- в

-

I .

При

х

» 0 функция не определена.

Итак,

I

,

если

х

> О,

У

=

-

I

,

если

х

< о.

Как видно из рис. 63 точкой разрыва функции

является

точка

ха

-

0.

Вычислим

односторонние

пределы

ест

/(сс) = -/

,

tim

Hx)-*i