книги из ГПНТБ / Мараева, И. Б. Введение в анализ бесконечно малых учеб. пособие

90

П риер.

у -

J -

sin

х .

tint-—

sinx

существует g равен

нуд». Однако функция

не

яв-

ляется монотонной в окрестности бесконечно удаленной

точки

(рис.

57) .

Если в качестве

функции взять

числовую

последователь­

ность,

то

получим

^

частный

случай

дока­

занной

теоремы,

из­

вестный

под

именем

признака

В е

й е

р-

•

т р а с с а .

Если

а п

-

моно­

тонная

числовая

по­

следовательность,

то

существует

&т~а„

,

причем если

воз­

растает

(убывает) и

ограничена

сверху

(снизу),

то £im

а „

конечен,

если

хе

а п

возрастает

(убывает)

и не ограничена свер­

ху

(снизу), то

этот

ряс.

57

предел

бесхояечен.

Празнах Вейержтрасса является частным случаем доказанной

теорема, ток как в области задания

числовой последовательнос­

ти

имеется единственная

предельная

точка

оо

,

в которой

не

имеет смысла понятие односторонних пределов: здесь

левосто­

ронний предел и является пределом функции.

§ 17.

Число " е " и натуральные

логарифмы

В высшей математике большуп роль играет так

называемое

число Непера, которое обозначается буквой "е ",

и

логарифмы,

взятие

при основавши

е

. Числом

е

обозначают

предел

неко­

торой числовой

последовательности

подобно

тому,

как числом Si

-

отношение длянн

окружности

ж дшаметру,

т . е . тоже

предел

от­

ношения периметра

вписанного

в круг

правильного

многоуголь­

ника

к диагонали

при стремлени

к бесконечности

числа

его

сторон. Во для

того,

чтобы обозначить

хак-ннбудь

предел

чис-

91

ловой последовательности,

надо

быть

уверенным,

что

этот

пре­

дел существует и конечен. Поэтому докажем сначала

сдедуэщу»

теорему.

Теорема.

х п

-

,

, . п

Числовая

последовательность

(/ +

— J

имеет

ко­

нечны!

предел^ при

п.— *

° о .

Доказательство

Для доказательства

теоремы

воспользуемся

признаком

Вей-

еритрасса

о существовании

предела

числовой

последовательнос­

ти. А именно,

докажем,

что

последовательность

возрастает

и ограничена

сверху;

тогда

из

признака

Вейервтрассй будет

сле ­

довать существование у нее конечного предела.

Далее

т

будем пользоваться

формулой бинома Ньютона:

г

е\п

л

-~л'1е

ь

+•

n(n-f)

а

n-г о*

п(п-П...1

рп

(а + В)

= а

+па

г

,

£ - < - . . . +

— •

—

й,

Эта формула представления

п.

-ой

степени

суммы двух

чи­

сел

а

я

о

легко

проверяется

для

а

• 2,

3 и доказывается

для

любого

п.

в учебнике

Киселева

"Алгебра",

ч . Q для

сред­

ней

п о л н .

а

I .

Докажем,

ч т о х п

= (7+

—)

-

возрастающая

последова­

тельность. Для этого

разложим

х л

по формуле

бинома

Ньюто­

на:

ж п - 1 ' +

7Г^

- l +

n

п. +

Z!

И Т * - *

~,

h n

Чтобн доказать

возрастание

х л

,

надо сравнить

х л

с

v

н убедиться,

что а?л ^>

Нояьзуясь

пояученщви

выра­

жением дня

хп

и подставляя

вседзг

шнвеко п.

-

(п,*/),

по­

лучим:

^

= 2

+

Ь

с '

-

^

+

i t * -

i

b

^

-

h

^

•••

Каждая скобка

в внравенкв

э с я

мвиые

еоохв«хех«уащ*£

скобки

в выражении

с с п л /

. Дейехвихельно,

пря лвбеш

дг

• I ,

2,

справедливо

нер&ввясхво

93

венство 2<

v n ( 5

,

то,

пользуясь

предельным

переходом

в

неравенстве,

имеем

S4

£4= 3 .

В дальнейшем будет показано, что

число g

-

иррациональ­

ное и его значение равно

е

-

2,718281828ч5904523 ...

Обычно пользуются

приближенным эначеннем:

е

= 2,7

или

е-

2,72.

Можно установить,

что

выражение

стремится к

е

при любом способе стремления

аргумента

ас

к бесконечности (а не обязательно по натуральным

числам),

т . е .

llm

—

с .

Это предельное соотношение часто записывает в другом ви­

де . Если обозначить

^ - = £

,

то при х —

,

х

-*• О,

и

Z

-о

Н а т у р а л ь н ы м и

(яепоровнмн)

называются

лога­

рифмы, за основание которых принято число

в .

Обозначаются

они так:

На первн! взгляд кажется странным такой выбор

основанял

логарифмов. Действительно,

когда

в курсе средней

школы изуча­

валось употребляемой десятичной системой счисления.

Десятич­

ные логарифмы обладают рядом свойств, упрощающих их

вычисле­

ние и использование, а употребление

в качестве основания

ло­

гарифмов иррационального числа' е

кажется нецелесообразным.

Однако, как будет показано в дальнейшем, именно

натуральные

логарифмы оказываются наиболее удобными и дифференциальном

н

интегральном исчислении. Поэтому в внсней математике,

широко

использующей дифференцирование и интегрирование,

натуральнее

логарифмы играют большую роль.

для того, чтобы свободно пользоваться имя, полезно волу»

чить их связь с десятичными логарифмами. Так как

при

яаФвж

94

основаниях

& Л

то en. M=

J—.£g

//.

. Число M ~4— as 2,30259 часто называв*

н о д у я в н

п е р е х о д е ™

от десятичных логарифмов к

натуральным.

Аналогично

вивалентности. Теперь мы можем вывести

еще некоторые

эквива-

яентвве варахения для логарифмической,

показательной

а

с т е ­

пенной функций, которые носят название замечательных

преде­

лов . Само это название укаэнвает на бояьнув роль этих

преде­

лов в математике.

\х-»о

ж

т . е .

8n(f+z:)

~ ее при х - * 0 .

Доказательство

Для доказательства этого замечательного предела

докажем

сначала, что

tim

£пи =/.

Дейс^зктеаьао,

в геятрояьгнх

ярымерах п&„ п (пркмер 2 , в )

на уетаоввйн,

ччэ

€imfo<ja&-0

, Тогда в й'/п £пу

=

0.

96

так

sax аз равенства u = ax—

f

следует:

x =

n

(f

* u

) ^

*

tna

a

€n(f+u)~y

при y — f l .

Этот замечательны!

предел

часто

используется

при

рас­

крытия неопределенностей, связанных с

показательными

функ­

циями.

ЛРЫШВ-Х*

l 3

c

E i m ^ ^ ^ i m

3~№-<]-Лт

' ^ ^ n j .

Пример 2„

fim £ * - е о * ж

- & m

(?*-*)+(*-C0S!C)-eun

^zL-i

, т . е . (1+х)а-1.ч>

ax

при

a ? - » o .

Доказательство

Для доказательства

этого

замечательного

предела

вос ­

пользуемся соотношением

?1тха

= 1.

(см. контрольные

вопро­

сы гл . П, пример 2, 2 ) . а ~*

Обозначим и=(/+х)

- / . Тогда,

в силу предыдущего ут ­

верждения, up»i ж — О

У+сс) — / , т . е . и—О .

Прологарифмируем равенство u=(i+x)a-

1

по натурально­

му

основание:

a

In. (/ + ж) =

е.п(и+<).

Тогда

&

m

I

i ± £ E 2 ^

= e i m ^ e i m C - ^

аеп{1^)]~

ос -»о

а: -»о

1

х

и—о

£n(S+u)

х - о

а:

а — о " ar-»-o

a?

'

что

Й требовалось доказать.

данная замечательный предел часто используется при рас ­

крытии неопределенностей, связанных со степенными

функциями.

В честности,"|// + э сГ -

/ ~ — ас при а>—о

(роль

а

играет

7п

;

*

Пример I .

97

ест

jfEg-*

= е т

*<jE¥''>=am

Пример

2 .

am

—

= tcm

rr-

= *Ln}

ц

=

-аа(£п.а~

О ?<-тт- =

аа(£па-/).

Здесь

сделана

замена:

у =

х-а .

Контрольные

вопросы

и прнмерв

1 .

Перечислите

основные элементарные

функции,

кохорие

является монотонными во всеЯ области своего определения,

в

их характер монотонности (возрастание, убивание, строгое

в о з ­

растание,

строгое

убывание).

2 .

Укажите

промежутки

монотонности

функции:

а )

у

=

x z ,

б)

у

-

sin х,

-

в )

у

=

cosх,

г )

у

=

\х\.

3 .

Исследуйте

на монотонность

и постройте

графики функ­

ций:

г

- /

,

если

х < 0

а )

у =• syn

х =

,

О

,

если

х

= 0

1

,

если

х > О.

sgnx

произносится

так:

"сигнум х'

"

и означает

задание

знака числа зс

;

б)

у = £

[х}

-

целая

часть числа се

;

в ) у = а я г + §х + с.

4 . Докажите существование конечных

пределов у

следув-

щшх числовых

последовательностей:

а )

а

=

при

я—•+«>«»,

б)

an=^ra~7f

,

а =

/ff

,

при л — + » © .

те натуральные логарифмы

чисел:

2;

1,3;

10,7;

е

;

0,01; I .

6 . Найдите следующие пределы:

a)

Elm

*-=f-

,

х - * о

д

а

— jjc

в)

&'/n

^ - — j —

v

Jx

г. ' >

г )

« / n

^ (

^

^

,

й & г ^ ^ ? .

( a > 0 ) >

Дополнительные примеры

БЕРМАН Г.Н. "Науке",

1969. 1

18ч,

185,

216,

217,

352,

354,

355,

359,

361,

363,

365,

368,

372,

374,

375,

396,

397,

399,

400,

401.