книги из ГПНТБ / Мараева, И. Б. Введение в анализ бесконечно малых учеб. пособие

В пособии

подробно рассматривается

многочис­

ленные примеры,

облегчающие усвоение

излагаемого

материала, и приводится больное

количество

конт­

рольных вопросов и примеров для

самостоятельного

ревения.

Пособие предназначено для

студентов

Ленин­

градского кораблестроительного

института специаль­

ностей 0553 (гидроаэродинамика), 05Р»

(судострое­

ние и судоремонт) и для студентов заочного

ш ве -

чернего факультетов.

конспектом лекций по курсу математического анализа,

чвтааме-

го студентам I курса ЯКИ. Несмотря на то, что в

настоящее

время существует больное количество учебных пособий по кур­

су математического анализа, режомйндовать один

какой-нибудь

учебник, подходящий читаемому курсу, невозможно.

Особенно

это относится к таким разделам, как теория пределов,

сравне­

ние бесконечно малых и бесконечно больших функции н

непре­

рывность функции. Установившаяся в ЛКИ стиль чтения

лекция

чек множеств. Цель настоящего пособия - помочь

студентам пер­

вого курса овладеть шпат понятиями.

Большув пользу в этом отношения пособие должно привести

студентам заочного факультета, не слушавшим лекции по

мате­

матическому анализу.

Так как раздели математического аваднаа,

посвященные

дифференциальному и ннтегральаому исчисление функций

одно!

и нескольких переменных, достаточно хорошо пложена в

с у -

ществувцих стандартных учебных пособиях, то настоящее

мето­

дическое пособие включает

в себя только введение в авализ,

т . е . вопроси, связанные с

элементарными аояяххямш

теории

множеств, функциональной

зависимости, теории цределов

функ­

В соответствии с «тки все содержание пособия разбито ва

б

гяав

и -введение, причем в конце жажде! главы

приведены

контрольные вопросы и примера. Режете STKX примерев

значи­

тельно

поможет студентам лучше уяснять теоретический матерн­

ая

и приобрести навыки использования полученных

аканий

для

ров и графическими иллюстрациями. Некоторые

доказательства,

аналогичные приведенным в пособии, читателю

рекомендуется

проводить самостоятельно. Студентам заочного

факультета

и

общих

потоков дневных факультетов по разрешению

лекторов

можно

опустить доказательства некоторых теорем,

особенно

в

формулировкам соответствующих теорем

и разобраться

в сущнос­

ти а использовании утверждаемых ими положении.

Авторы выражают глубокую благодарность

ответственному

редактору проф. А.Н.Шебалову, а также

всем членам

кафедры,

ознакомиваинся с пособием и сделавшим

ценные

критические з а ­

мечания.

Все замечания читателей

просьба

направлять на

кафедру

прикладной и вычислительной

математики ЛКИ.

нятий, определить которые

невозможно.

Ведь'всякое определе­

ние строится на каких-либо

понятиях,

которые считаются

из ­

же

не

поддается определенно, фактически

-

это

множество

т о ­

чек

на

плоскости.

М н о ж е с т в о м

будем считать

мыслимую

совокуп­

ность различных элементов лвбой природы, объединенных

неко­

торым

общим признаком,

позволяю*км судить

о

принадлежности

любого

элемента этому

множеству.

Например, можно рассматривать множество студентов

дан­

ной группы, множество точек на отрезке прямой ливни,

мно­

жество

цедыз чисел и т . д .

ЕСЛИ элементами

множества

является

числа, то оно называется числовым (например, множество

всех

правильных дробей).

Обозначается множества обычно больиимн буквами

X

« У

,

2,

,

а

их элементы - такими же маленькими

буквами х

,

у.

,

*

.

Иногда множества

обозначают - | х ]

,

, ^ а . } .

2акуэ

6

зналась нужно читать следующим

образок: шюхесгво

элементов

х , множество элементов ^

и т . д .

обозначается значком

е

,

а непринадлежность

-' е

или ф. .

Например,

если

X

- множество

рациональных

чисел, то у е X ,

а зс ^ X .

Множество

У

называется

п о д м н о ж е с т в о м

ыножества

X

, если

каждый

элемент

i j e l

принадлежит

мно-

зеству

X

. Например,

множество рациональных

чисел является

подмножеством

множества всех вещественных чисел. Тот

"

факт,

что множество

У

является

подмножеством

множества

X

,

обо­

значается

значком

С

:

У с X .

Очевидно,.само

множество

X

также

является

своим

под­

множеством.

Б

теории

множеств

вводится

понятие

пустого

множества.

П у с т ы м

называется множество,

не содержащее

ни

одного

элемента. Оно обычно

обозначается буквой

А . Например,

мно­

является

пустым множеством.

Два

множества

X

и

У

называются

р а в н ы м и ,

веха каждый элемент

х

е

X

принадлежит

У

,

а каждый

эле ­

мент у е

Ч

принадлежит

X ,

т . е . равными

называются

мно­

жества, состоящие из одних и тех же элементов.

Обозначение

равенства

множеств

следующее:

Х = У

. Очевидно,

равенство

множеств

равносильно требованию

X

с

Ч

и

Ч с

X .

Множество называется

к о н е ч н ы м ,

если

последо­

вательной

нумерацией его элементов можно исчерпать

все

эле ­

менты множества. В противном-случае

оно называется

бесконеч­

ным. Например, множество студентов в данной

группе

является

конечным,

а множество всех точек на отрезке

числовой оси

от

О до I -

бесконечным. Множество всех натуральных чисел -

так­

же бесконечно.

2.

Простейшие

операции

над множествами

О б ъ е д и н е н и е м

множеств

X

и

Ч

называется

X и У .

Например,

если

X -

множество

всех

рациональных чисел,

а

У -

всех иррациональных чисел,

то

их

объединенной

является множество всех вещественных чисел. Приведем

еце

один пример

объединения

ннояеетв:

если

Х = П 2,3,5 } ,

Ч = [ г Л , 6 , 8 } 8

ю Х и Ч = { 1 , ? , З Л , 5 , 6 , 8 } . '

П е р е с е ч е н и е м

мнояеетв X я Ч называется

такое множество,

которое состоит из элементов,

принадлежащих

одновременно и множеству

X

и мнонеству

У ,

и

только из

них. Пересечение

множеств

обозначают

символом

с\

г

X п У .

Например,

если

Х = { 4 , 2 , 3 , 5 ]

,

4 = ^ , ^ , 6 , 8 . } ,

го

X п

У = { 2 } .

Если множества

X ~ и Ч

не имеют общих

элементов,

то

их пересечение представляет собой пустое множество. В

»том

случае

говорят, что множества не пересекавтеа.

Р а з н о с т ь »

множеств

X

и

У

называется

мно­

жество,

состоящее

яз тех элементов

множества

X

,

которые

не

принадлежат

множеству

У

. Обозначение

разности

следув-

щее

\

:

X \ У .

Например,

если

X = {1,2,3 ,5 } ,

а

У = { г д , е , 8 }

,

то

Х \ У

5 } .

Все введенные над множествами

операции можно

символи­

чески пройдяюстрировать следующим

образом:

если

обозначить

схематично каждое

из множеств

кругами и заштриховать

множест­

во,

получающееся

в результате

проведенной операции, то

ри­

сунки,

примут

следуваий вид:

1)

объединение

множеств

X *-» У

(рис. I , 2 ) ;

2 )

пересечение

множеств

X г\ У

(рис. 3, *) »

3)

разность

множеств

X \ Ч

(рис. 5» б)„

Например,

покажем на рис. 7 справедливость

следующего

соотноиения: если

Х с У

, т о

Х п У = Х .

3 . Числовые множества и их границы

9

Есяв алеввахаш мяоавства явлввгся вещественные

чясла,

Число М

наамваетеа

в е р х н е й

г р а н и ц е й

м н о -

s в

с

т в

а

X

,

если

для

всех

элементов

а г е Х

выполняется

неразество

х<*М

, Например, дяп ыногас?ва всех

отрицатель»

ных чисел

верхняя

граница

-

это

двбое

положительное число

или

0.

Вообще,

всяк М

- верхняя

граница множества,

то

ледов

число

М( — И

также

является

его

верхней

границей.

Множество

мо­

жет а не иметь ни одной верхней

границы.

Например,

множест­

во

всех

положительных чисел верхней границы не имеет.

Число

N

называется

н и ж н е й

г р а н и ц е й

м н о ж е с т в а

1

,

если дла

всех

элементов

х е к

выполняется неравенство

х »

н

. Например,

для

множества

всех

положительник чисел

нижняя

граница

-

любое

отрицатель­

ное число или 0.

Вообще,

если

N

-

нижнее граница

мно­

жества, то любое число N,

N

также

явля ется

его

нижней

границей.

Множество

называется

о г р а н и ч е н н ы м

с в е р -

х

у,

если

оно

имеет

хотя

бы одну верхнею

г р а н т у .

Аналогич­

но,

множество

называется

о г р а н и ч е н н ы м

с

н и-

з

у,

если

оно

имеет

хотя

бы одну нижнюю г р а н т у .

Множество,

ограниченное и сверху

и снизу,

называется

о г р а н и ­

ч е н н ы м .

Например,

множество

всех

правильных

дробей

ограничено

снизу

нулем,

а

сверху единицей, т . е . это

ограни­

ченное множество

(рис.

9 ) .

Рис. 9

Рис. 10

Если

множество

ограничено

снизу числом

Ц , а

сверху

числом

М ,

то,обозначив за

К

наибольшее

из чисел

|м|

и |N|

,

для

любого

элемента

множества х

получим: