книги из ГПНТБ / Арцимович, Л. А. Что каждый физик должен знать о плазме [с предисловием академика Б. Б. Кадомцева]

корректных методов заключается в том, что, имея фор­ мулы для средней длины свободного пробега, среднего времени между двумя ударами и т. п., можно опериро­ вать наглядными картинами при анализе основных фи: зйческих процессов в плазме. Существует вполне кор­ ректный метод анализа кулоновского взаимодействия частиц в плазме, основанный на использовании мате­ матического аппарата теории кинетических урав­ нений.

Остановимся теперь на вопросе об обмене тепловой энергией между электронами и ионами в плазме. Рас­ смотрим сначала самый простой случай. Пусть быст­ рый электрон с импульсом p= m eve пролетает мимо

неподвижного иона и испытывает рассеяние на угол е. При этом иону передается импульс Ap=2psine/2. Под действием этого импульса ион приходит в движе­ ние, приобретая кинетическую энергию

Для того чтобы найти энергию, которую быстрый электрон передаст неподвижным ионам за единицу вре­ мени, необходимо умножить Д W на nv0f(e)dQ и

проинтегрировать по углам. При этом получаем

m,ve

(предполагается, что ионы имеют единичный заряд). Выражение для передаваемой энергии можно преоб­ разовать следующим образом:

2

Здесь 'let — число столкновений в единицу времени между электроном с кинетической энергией We и не­

19

подвижными ионами. Относительная доля энергии, теряемая в среднем при одном столкновении, состав­ ляет 2те/т{, как и следовало ожидать для наглядной

модели упругого удара двух шаров. Среднее значение энергии, которую электрон плазмы передает ионам за 1 сек, получается из (13) интегрированием по максвел­

ловскому распределению скоростей*:

если 7% и Т г сравнимы, то выражение (15) должно быть заменено следующим:

Для того чтобы получить представление о степени эффективности теплообмена между электронами и ионами плазмы, обратимся к конкретному примеру. Пусгь температура электронов в водородной плазме

ется промежуток времени, равный 1,2 мсек. Заметим,

что результат такого вычисления имеет смысл только в том случае, если в течение рассматриваемого проме­ жутка времени ионы сохраняют всю приобретаемую ими энергию. Если ион с энергией, соответствующей температуре в несколько сот тысяч градусов, за 1 мсек проходит путь порядка 100 м, то Для нагревания в этих

условиях иона необходима эффективная термоизоля­ ция плазмы.

* Значение кулоновского логарифма LK принимается равным 15.

20

Одной из основных характеристик вещества слу­ жит уравнение состояния, т. е. соотношение между давлением, плотностью и температурой. Для плазмы с изотропным распределением скоростей заряженных частиц уравнение состояния имеет тот же вид, что и для идеального газа с двумя компонентами:

где р — давление плазмы, равное сумме электронного

и ионного давлений. Как известно, уравнение состоя­ нияимеет такую простую форму лишь при условии, что взаимная потенциальная энергия частиц прене­ брежимо мала по сравнению с их тепловой энергией. Для плазмы это условие практически всегда выполнено. Действительно, потенциальная энергия заряженной частицы во флуктуирующем микрополе плазмы долж­

на быть порядка еЧа, где а — среднее расстояние от

3 - --

данной частицы до соседней (а ~ Му 2пе). Нетрудно

убедиться, что отношение

очень мало по сравнению с единицей, за исключением случая, когда рассматривается плазма с концентра­ цией от 1018 и выше при температуре не ниже 104град.

Обычно предполагается, что распределение частиц . газа по энергиям подчиняется закону Максвелла. По отношению к плазме это предположение нельзя счи­ тать бесспорным. Максвелловский энергетическийспектр появляется благодаря столкновениям между частицами газа .'

Чтобы в данной группе частиц при произвольном начальном энергетическом распределении установи­ лось распределение по Максвеллу для широкой области энергий, т. е. чтобы успел «отрасти» максвелловский

21

«хвост», содержащий частицы с энергией, значительно большей kT, нужен некоторый промежуток времени,

в течение которого частицы должны испытать в сред­ нем по несколько столкновений друг с другом., причем столкновений идентичных частиц. В частности, макс­ велловское распределение по энергиям у электронов практически установится за промежуток времени, при­ мерно в десять раз превышающий среднее время т ее между двумя электрон-электронными столкновения­ ми. В ионной компоненте максвелловское распределе­ ние устанавливается после десятка ион-ионных со­ ударений. Следовательно, при Т г — Т е «максвелли-

зация» у ионов происходит гораздо медленнее, чем у электронов. Вместе с тем следует отметить, что в каж­ дой из компонент плазмы процесс максвеллизации, который происходит в результате столкновений между идентичными частицами, протекает быстрее, чем уста­ новление теплового равновесия между обеими компо­ нентами. Поэтому в плазме электроны и ионы распре­ деляются по закону Максвелла, но при двух различ­ ных температурах. Вместе с тем если время жизни заряженных частиц плазмы мало, то у ионной компо­ ненты в области энергий, во много раз превышающих kTi, энергетическое распределение может резко отли­

§3. ПОВЕДЕНИЕ ПЛАЗМЫ

ВЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Под действием электрического поля или градиента давления в плазме возникают направленные потоки частиц: в первом случае через плазму течет, электрический ток, во втором происходит процесс диф­

22

фузии. При прохождении тока через плазму ионы мож­ но считать неподвижными. Ток создается потоком элек­ тронов. В простейшем случае, когда ток постоянен, должно устанавливаться равновесие между силой, с ко­ торой действует на электроны электрическое поле, и си­ лой торможения, обусловленной столкновениями меж­ ду электронами и ионами. Последняя равна среднему значению направленного импульса, теряемого элек­ троном при столкновении с ионами. Электрон испыты­ вает за 1 сек vei столкновений, при каждом из кото­ рых он теряет импульс теи, где и — направленная

скорость электрона. Следовательно, сила торможения равна m eu iei и условие равновесия имеет следующий

вид:

— электропроводность плазмы. Подставляя в (21) вы­ ражение для т еги численные значения констант, полу­ чаем при L K—15

Эта формула применима для полностью ионизованной плазмы с однозарядными ионами (водородная плазма). Заметим, что с увеличением Те проводимость быстро возрастаетПри температуре около 108 град электро­

проводность водородной плазмы должна превосходить

23

более чем на порядок электропроводность меди при комнатной температуре. Присутствие многозарядных ионов значительно снижает электропроводность плаз­ мы. В общем случае, если ионные компоненты плазмы имеют заряды zit z2, z3,..,, zn, а их относительнее, кон­

центрации равныаь а 2, а 3,..., а„, то формула (22)- для о£ должна быть заменена следующей:

Остановимся кратко на применении закона Ома для плазмы. Этот закон справедлив, если в плазме уста­ навливается равновесие между силами, действующими на электроны со стороны электрического поля, и си­ лами торможения. Однако должно ли такое равнове­ сие устанавливаться при любых условиях?

Сила торможения, которую испытывает электрон, находящийся под действием ускоряющего поля, имеет тем меньшее значение, чем больше скорость электрона.

приобретаемая электроном в промежутке между дву­

электрона достаточно велика, то его направленная скорость и может достигнуть величины того же поряд­ ка, что и v, или даже превзойдет V. При такой ситуа­

ции не применима упрощенная модель процесса, в ко­ торой принимается,что электрон набирает на длине про­ бега относительно небольшую направленную ско­ рость и полностью теряет ее при мгновенном сильном «ударе». В действительности ускорение и торможение электрона происходят одновременно. Пока электрон

24

приобретает направленную скорость, резерфордовское рассеяние на ионах постепенно изменяет направление его-движения. Электрическое поле стремится распря­ мить траекторию, в то время как взаимодействие с ионами сгибает ее. Если прирост направленной ком­ поненты скорости не компенсируется рассеянием, то равновесие сил не может установиться и электрон должен перейти в процесс непрерывного ускорения, при котором его энергия будет все время расти. С уве­ личением энергии сила торможения падает, и поэтому электрон, вовлеченный в процесс непрерывного разго­ на полем, будет продолжать ускоряться до тех пор, пока он находится в нем. В состояние разгона полем переходят те электроны плазмы, которые успевают набрать на длине свободного пробега %дополнитель­ ную скорость и, превышающую их начальную скорость V. Указанное условие разгона можно записать в виде

Поскольку т ei пропорционально Vs!п, то из (24) сле­

дует, что непрерывное ускорение происходит в том случае, когда EW Jn превышает некоторое граничное

значение. Как нетрудно убедиться, для водородной плазмы это граничное значение порядка 3 • 10~12, ес­ ли Е измеряется в вольтах на сантиметр, a We — в

электронвольтах. В экспериментах с плазмой условие (24) обычно удовлетворяется только для электронов с энергией, во много раз превышающей kT e. Эти элек­

троны составляют очень небольшую долю всей элек­ тронной компоненты. В указанном случае ток, в созда­ нии которого участвует подавляющее число электро­ нов плазмы, подчиняется закону Ома. Однако в плазме будет существовать также ток ускоренных электро­ нов, для которого закон Ома не применим. При боль­ шом значении Е/п условие (24) будет выполняться

также и для электронов со средней тепловой скоростью.

29

тйвления. Электропроводность плазмы в кольцевых системах находится в согласии с этими предположени­ ями. При высокой плотности плазмы и относительно небольшой напряженности электрического поля най­ денное экспериментально значение вЕ в пределах по­

грешностей измерений совпадает со значением, опре­ деляемым по формуле (22). В разреженной .плазме с вы­ сокой температурой наблюдается аномально высокое сопротивление.

Своеобразные свойства плазмы выступают очень отчетливо в том случае, когда рассматривается ее пове­ дение под действием электрического поля высокой частоты. В этих условиях существенное значение при­ обретает механическая инерция электронов. Рассмот­ рим простейший случай. Пусть в плазме действует электрическое поле Е, напряженность которого равна

£ 0exp(i(o£) (комплексная форма записи несколько упрощает вычисления). Если частота настолько велика, что за время одного периода изменения поля вероят­ ность столкновения отдельного электрона с ионами достаточно мала, то, рассматривая движение эле­ ктронов, можно в первом приближении пренебречь си­ лой торможения. При этом уравнение движения будет иметь следующий вид:

где х — координата в направлении электрического

поля. Интегрируя (25), получаем

Следовательно,

27