книги из ГПНТБ / Арцимович, Л. А. Что каждый физик должен знать о плазме [с предисловием академика Б. Б. Кадомцева]

плазмы, конструируются так, чтобы они удовлетворя­ ли принципу минимума В.

Однако пока еще остается открытым вопрос о том, не появятся ли в системах указанного типа при даль­ нейшем повышении температуры и концентрации плазмы другие виды плаз­ менных неустойчивостей.

Опасения такого рода на­ ходят опору в теории. Тео­ ретический анализ поведе­ ния плазмы в открытых ловушках с магнитными зеркалами показывает, что вследствие специфического характера функции рас­ пределения частиц в прост­ ранстве скоростей в таких системах существуют раз-

Рис. 20. Поле прямо- личные механизмы разви-

линейных проводников тия так называемых «ки­ нетических неустойчивос­ тей». Это . такие неустой­

чивости, в основе которых лежит раскачка плаз­ менных колебаний направленными потоками ионов или электронов. Они легко возникают при условии, если функция распределения по скоростям имеет мак­ симум при скорости частиц, отличной от нуля. Нали­ чие такого максимума эквивалентно существованию направленного потока частиц.

Если функция распределения по скоростям под­ чиняется закону Максвелла (пунктирная кривая на рис. 21), то раскачки колебаний не происходит. Однако в открытой ловушке из-за наличия конуса по­ терь функция распределения запертых частиц по од­ ной из компонент поперечной скорости в декартовом пространстве скоростей должна иметь отчетливо выра­

88

женный максимум (сплошная линия на рис. 21). При такой форме функции распределения по скоростям могут раскачиваться связанные ионно-электронные ко­ лебания, резко увеличивающие скорость вытека­ ния плазмы из ловушки.

I

Рис. 21. Распределение частиц по ско­ ростям при законе Максвелла (пунктир­ ная > кривая) и при наличии конуса потерь (сплошная кривая)

Неустойчивость указанного типа впервые была теоретически исследована Розенблютом и Постом, ко­ торые показали, что она должна возникать в том слу­ чае, если длина плазменного сгустка, запертого в ло­ вушке, превышает несколько сот. ионных ларморовских радиусов. В короткой магнитной системе она, повидимому, может быть стабилизирована.

Теория предсказывает также существование дру­ гого типа неустойчивостей, которая связана с неодно­ родностью В распределении плотности плазмы в на­ правлении, перпендикулярном полю (такая неодно­

89.

родность всегда существует просто из-за ограничен­ ности сечения плазменной конфигурации). Дрейфовое движение ионов в неоднородной плазме может приво­ дить к раскачке ионных колебаний на частоте, близ­ кой к ларморовской частоте шВ1. Колебания раскачи­

ваются в том случае, если ларморовский радиус ионов достигает величины порядка а[В 2/(4л л/п,с2)]2'3, где

а— радиус плазменного сгустка.

Вэкспериментах с открытыми ловушками мы име­ ем дело с плазмой, обладающей такими параметрами, при которых критерии, необходимые для возникнове­ ния указанных неустойчивостей, лежат на грани вы­ полнимости. Однако да сих пор признаки появления таких неустойчивостей еще не обнаружены. Поэтому можно рассчитывать на дальнейшее повышение темпе­

ратуры и плотности плазмы, устойчиво удерживаемой в открытых ловушках, построенных с соблюдением принципа минимума В.

§11. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЕННЫХ КОНФИГУРАЦИЙ

Даже при самом беглом знакомстве с физи­ кой плазмы нельзя оставить в стороне центральную проблему этой области науки—проблему устойчивости плазменных конфигураций: От успехов в„ исследова­ нии устойчивости зависят пёрспективы дальнейшего прогресса в достижении все более высоких темпера­ тур и повышении длительности существования очень горячей плазмы.

Общее обсуждение проблемы устойчивости плазмы проведем здесь математически нестрого. После этой оговорки перейдем непосредственно к рассмотрению обсуждаемого предмета. Предположим, что ограни­ ченная плазменная конфигурация подвешена в вакуу­

90

ме с помощью магнитного поля и находится в состоя­ нии магнитогидродинамического равновесия. Это оз­ начает, что плотность и температура плазмы сохраняют постоянные значения и в каждой точке плазмы удовлет­ воряется уравнение (52). Будет ли состояние равно­ весия сохраняться в течение длительного времени, или же благодаря случайным флуктуациям в плазме воз­ никнут нарастающие возмущения, которые приведут к быстрому растеканию плазмы по всему объему? Такова общая постановка задачи об устойчивости. Для ее решения существенно то, что разные механиз­ мы разрушения равновесного состояния приводят к резко различающимся скоростям нарастания возмуще­ ний в плазме.

Развитие теории должно в какой-то степени отра­ жать указанное обстоятельство. Это должно выражать­ ся в том, что происхождение неустойчивостей и методы их стабилизации рассматриваются в порядке естест­ венной последовательности, начиная с тех, которые вызывают быстрые макроскопические движения плаз­ мы и, следовательно, наиболее опасны. После того как характер самых опасных неустойчивостей выяснен в основных чертах, можно перенести центр тяжести ана­ лиза на. неустойчивости, следующие за ними по степе­ ни разрушительного действия и т. д. Возможно, что полный анализ всех форм неустойчивости плазмы, за­ пертой в магнитном поле, никогда не позволит создать абсолютно устойчивую плазменную конфигурацию. Однако в этом, может быть, и нет необходимости. С практической точки зрения нужно добиться такой степени подавления различных неустойчивостей, что­ бы медленно развивающиеся слабые возмущения, оставшиеся нестабилизированными, не создавали серь­ езного препятствия для накопления и длительного сохранения тепловой энергии в высокотемпературной плазме. .

91

Наиболее опасные нарушения равновесия — те. при которых макроскопические участки плазмы пере­ мещаются со скоростями порядка тепловой скорости ионов. При таких быстрых перемещениях для плазмы в магнитном поле полностью применима модель идеаль­ но проводящей жидкости. Поэтому быстро развиваю­ щиеся крупно-масштабные неустойчивости называют­

ся магнитогидродинами­ ческими. Их основная причина— это диамаг­ нитные свойства плазмы. Плазма стремится рас­ пространяться в сторону ослабевающего поля, поэтому если ее поверх-

ность лежит в области, где напряженность поля убывает от границы плазмы наружу, то по­

ложение границы может оказаться неустой­ чивым. Воткрытых ловушках можно, как уже указы­ валось выше, создать магнитное поле, удовлетворяю­ щее принципу минимума В, и таким образом обеспе­

чить магнитогидродинамичеекую устойчивость плаз­ менного сгустка, заключенного в ловушке.

Однако для замкнутых ловушек справедлива теоре­ ма, по которой нельзя создать магнитное поле с на­ пряженностью, возрастающей в' сторону от границы плазмы вблизи каждой точки поверхности тороидаль­ ной плазменной конфигурации. Нормальная к поверх­ ности плазмы компонента grad ]В| имеет разные знаки в различных точках границы. Так, например, в сис­ теме установок типа «Токамак» величина В убывает от

границы плазмы наружу на внешней стороне плазмен­

92

отдельными «языками» вытекать в область ослабеваю­ щего поля? Ответ на этот вопрос зависит от того, имеем ли мы дело с плазмой высокого давления, для которой р ~ 5 2/8я, или же с плазмой низкого давления, для которой р В 2/8jt. В первом случае на поверхности

плазмы могут образовываться локальные возмущения типа «языков» (рис. 22). Поскольку поле «вморожено» в. плазму, то образование языка приводит с увеличе­ нием магнитной энергии к искривлению силовых ли­ ний. Соответствующая работа будет производиться расширяющейся плазмой высокого давления за счет ее тепловой энергии. Если язык встречает ослабеваю­ щее поле, он будет распространяться все дальше и, следовательно, граница плазмы будет неустойчива. В данном случае неустойчивость имеет локальный ха­ рактер, так как она зависит от местной геометрии по­ ля. В тороидальных ловушках всегда можно найти также участки плазменного витка, где геометрия поля благоприятствует развитию языков. Следовательно,

на это запаса тепловой энергии. Следовательно, корот­ кие локальные возмущения типа «языков» автоматиче­ ски стабилизируются и все возмущения внутри плазмы или на ее границе могут заключаться только в пере-

93

становке целых силовых трубок с образованием «желоб­ ков» (рис. 23).

Плазма, которая заполняла силовую трубку, об­ разованную тонким пучком силовых линий, стремится расшириться и поэтому будет перемещаться в ту сторо­

элемент длины силовой линии. Интегрирование ведет­ ся по dl. Вследствие неизменности магнитного потока

6Ф по длине трубки

bv = J 8SBdl IВ = j b®dUB = 8Ф j dllВ. (72)

Величина 6Ф остается постоянной при всех перемеще­ ниях трубки. Следовательно, объем трубки изменяется пропорционально Jdl/B. Поскольку плазма, как и

всякий другой газ, имеет тенденцию к увеличению объе­ ма, то величина ы = —\dllB играет в процессе переме­

щения трубки с плазмой роль, аналогичную потенци­ альной энергии. Перемещения отдельных элементов пл'азмы, при которых силовые трубки меняются места­ ми,- -замещая друг друга, называются перестановоч­ ными, или конвективными; деформациями. Когда они выходят на границу плазмы с внешним полем, поверх­ ность плазмы приобретает желобковую структуру, ориентированную вдоль силовых линий. .Это и есть те желобковые деформации, О которых вскользь' упоми­ налось ранее.

Пользуясь понятием о «потенциальной энергии» и

(это чисто условное название), можно сформулировать критерий устойчивости по отношению к желобковым деформациям для плазмы низкого давления. .Граница плазмы устойчива, если при выходе магнитной трубки с плазмой изнутри на поверхность происходит воз­ растание, т. е. имеет место условие

94

близкими силовыми линиями по нормали к поверх­ ности плазмы. При другом знаке неравенства граница неустойчива.

Условие устойчивости (73) может быть истолковано в следующем смысле: для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы напряженность поля, взятая в не­ котором усреднении вдоль силовой линии, возрастала от границы плазмы наружу. Это видоизмененная фор­ ма принципа минимума В. Заметим, что согласно (73) \dllB — du/бФ. Поэтому величину Jdl/B можно наз­

вать также удельным объемом магнитной трубки. Для того чтобы можно было пользоваться установ­

ленным выше критерием устойчивости, необходимо сначала устранить неопределенность в выражении для и, которая связана с тем, что не были указаны

пределы интегрирования вдоль силовой линии. Не­ определенность исчезает в том случае, когда силовые линии на поверхности плазмы замкнуты. Очевидно, что в этом частном случае интеграл [dllВ должен рас­

пространяться на длину силовой линии. С целью уточ­ нения можно ввести следующее определение потенци­ альной энергии для магнитной поверхности с замкну­ тыми силовыми линиями:

(74)

Здесь N — число обходов вдоль магнитной системы,

после которых силовая линия замыкается на себя. От­ сюда естественно получить обобщение на случай замк­ нутых силовых линий:

(75)

95

где -V и длина интегрирования стремятся к беско­ нечности. Можно показать, что величина и — одно­

значная характеристика магнитной поверхности. Это позволяет преобразовать выражение для и к такому ви­

ду, чтобыв него входили только характеристики, при-

.надлежащие данной магнитной поверхности, благо­ даря чему устраняется всякая неопределенность в выборе длины интегрирования.

Объем замкнутой магнитной поверхности V можно

рассматривать как функцию потока продольного маг­ нитного поля Фе, проходящего через ее сечение. Следовательно, V = У(Ф6). При таких обозначениях потенциальная энергии и= — V' (Фе), и, следователь­

но, условие устойчивости принимает вид

В этой формулировке оно справедливо не только для систем, в которых силовые линии замыкаются, но так­ же и для общего случая, когда силовые линии, лежащие

.на магнитной поверхности, имеют бесконечную длину. Для каждой плазменной конфигурации можно по­ строить «магнитную яму», т. е. график и (р), где р —

расстояние от данной поверхности до магнитной оси (на небольших расстояниях от оси Ф0 ~ р 2). Отно­ сительная глубина магнитной ямы

Аи/ | «о I = (Ро) — н (0)]/ | и (0) | ,

где и (ро) и и (0) — соответственно величины и на по­

верхности плазмы и на магнитной оси. Чем больше Аи/\и0\, тем лучше обеспечивается устойчивость плаз­

мы по отношению к конвективным (перестановочным) деформациям. Если это отношение отрицательно, т. е. вместо магнитной ямы существует «магнитный горб», плазма неустойчива. Анализ поведения функции н(р) [или эквивалентной ей функции У"(Ф6)] показыва­ ет, что наличие или отсутствие магнитной ямы зави­

96

сит от расположения магнитных поверхностей по от­ ношению к магнитной оси.

На рис. 24, а и б показаны два различных случая расположения магнитных поверхностей в тороидаль­ ных ловушках: на первом — сечения магнитных по­ верхностей смещены относительно магнитной оси

Рис. 24. Смещение магнитных поверхностей от ма­ гнитной оси внутрь (а) и наружу (б)

внутрь, г. е. в сторону геометрического центра всей си­ стемы, причем смещение увеличивается с ростом р; на втором показан противоположный случай — магнит­ ные поверхности смещаются от магнитной оси наружу. В первомслучае.и возрастаете увеличениемр. Следова­

тельно, существует магнитная яма и плазма устойчи­ ва. Во втором случае магнитной ямы нет и плазма не­ устойчива. Указанные выводы следуют из строго теоре­ тического расчета, но и с качественной стороны они почти очевидны. Если магнитная поверхность смеща­ ется внутрь, то она попадает в область более сильного продольного поля. Поэтому поток растет быстрее, чем объем, и величина У" (Фе) должна быть отрицатель­

97