книги из ГПНТБ / Соловейчик, Р. Э. Программирование на АЛГОЛ-60 учеб. пособие

90

raaxj=

+dij

Гз]

=

0 +

5

*

5

ti[4]

=

О С 5

ti

[4]. = 5

шах»'»« Й

+aij

M

=

2 + 2

»

4

ti[4]

=

5 7 4

raax»=tl[2]

+dij

[5]

=

2 +

6

8

ti[6j

=

0 < 8

ti

[6]: =8

oa3s=*i [2]t

dij

[б]

=

2 + 5

»

7

ti[7]

=

0 < 7

ti

[?b =7

masts ti [3]+

dij

w

=

1 + 2

=

3

ti[4l

=

5 7 3

max: a ti[3]t

« Ц

и

=

1 +

7

=

8

ti[sl

=

0< 8

ti

[5 J 5=8

maxja ti [4]+

dij

[9]

=

5 +

6 = 11

« Й

=

В<11

ti

0Ф

=11

maxt= ti [4 ]*

dij [t o ] =

5 +

2 =

7

ti [б I =

8 > 7

mexi = ti [5]*

dij [il]

= 1 1 + 4

= 15

ti[a]

=

0<15

ti

М »

= 15

maxja ti

el*

<3131I,]

= ■ 8 + 2

= 10

ti[7]

=

7 < Ю

ti

li--= 10

maxi =.ti

6] 4

dij [13]

=

8 +

7

= 15

ti[a] =

15=15

maxi-.ti

Vj4

a 13 [14]

= 10 +

4 = 14

ti[8] =

15 >14

/

Третьим циклом Присваивается самой поздней дате оконча-

ния последнего события самая ранняя дата его окончания

te

8]

= ti

fej

=

15 ,

а затем определяются самые поздние даты окончания событий

min»=

tQ м

-a 13

[14]

= 15-4

= II

te Й

=

и 7 II

te

[1> =11

min! =

te

и

-dij

N= 15-7

=

8

te [б]

=

М > 8

te

[6],

3 В

min:=

te

и

-dij

N

= 11-2 =

9

te [б] = Р< 9

rain:=

te М

-dij

Cxx]

= 15-4

= II

te [5]

=

М > II

te

[5] » =11

atn: =

te [б]

-dij

N

=

8-2

=

6

te [4]

=

м > 6

te

w *

= 6

mins =

te

и

te Г4]: = 5

и

-dij

(?]

= 11-6

=

5

te [4]

=

б > 5

П)1П;=

te

-dij

[ej

= 11-7

=

4

te Й

=

М > 4

te

Й ! = 4

mins =

te W

-dij

Ы

= 5-2 = 3

te [Й

=

4 73

te

[з]« = 3

mint=

te

и

-dij

[el

= 11-5

=

6

te [21 =

М > 6

te- [sj*

s 6

min: =

te м

-dij

Й

=

8—6

=

2

te й

=

6 >2

te

[*h

=» 2

minj =

te

W

w=

5-2

=

te

С2)

ч

“ dij

3

-

з

te

М

=

5“5

=

0

te й

М > 0

te

= 0

min: =

-dij

[3]

=

M *

min»»

t e p ]

-dij [2]=

3 -

1 =» 2

te

[lj=.

0 < 2

min» =

te[2]

-dij[lj =

2 -

2 = 0

te

[l]=

0= 0

к

81 Гк]

в2 [к]

* м

£2 М

•« М

«

/*]

1

О

о

2

2

О

о

2

о

2

1

8

2

о

3

0

0

б

В

о

о

4

2

3

4

5

1

3

S

2

2

8

8

о

о

6

2

в

7

11

4

1

7

1

3

S

Б

2

2

8

1

4

8

11

3

3

0

5

В

11

11

о

0

10

в

6

7

8

1

1

п

П

11

ш

15

о, '

о

12

8

9

10

11

1

о

13

8

8

16

16

о

о

14

10

11

14

16

1

1

ргооеДцге simplex ( m,n,M,a,Ъ,о) *

integer т,П{ real М; array

а,Ъ,о;

'begin integer ite r,

jO; array A £ 0»a,

Of**n| *

integer

array

base [ 1

*

1

propfdere Ы? (start, new.work,fin.unbohlabel unboj

begin Boolean

opt;

start

;

е ц new (opt);

i f opt

then go to

e2; work;

go

to ei;

93 -

e2 i fin end

ЕР ;

procedure

start i

|

begin

integer

i , j

f

A J"o.G~j s a

Oj iteri

з

0 ;

for

jj = 1:

atep

\

until n do

А j Ofjl

«=

c [ j j »

for

is

*

1

etep' .1

until

m

do

begin

A ^ i ,

cl

i

з Ъ [ i ]

;

for

J t з

1

step 4

until

n

do

begin

A

[ i,

jj

t *

a [ t » ®

t

H

*

г »Гт

A [0,

j

t

=»

A

[0 , 1 ]

♦

4

1!

do

for

J; =

n T

l

etep j

until

n ■»

m

A fi,j| t*

0»

A^i,nflJ

|з

15

base [ljt

з

irf-i l

A [G,oj «»

0j *

И * A

£l,(^

! 5 §

1

?

for

it

n

u + 1

ste£

t

until

n +

m

do

A

jo,j|

5 =

0

end

start

t

p ro o e d u r e

new

1

( c p t ) f

B o o le a n

opt

j

b e g i n i n t e g e r

j

t

, r e a l

tpax

;

3

0

;

f o r ] t » 1 b te p i

u n t i l

n

do

.

i f

A

f o . j/

>

« a x

than.

j

begin max .» =«

A [o ,jJ

*

i

0

*

*

J

5 ЙЙ *

opts

з

шах з

0

end

new

;

p ro o e d u re

w ork

1

;

begin integer

i .jJ O ,

real

min,

a lt

Boolean

un ,

ite r:

з

iter

♦

1;

unt

з

true;

mint

з

И ;

for 1;

=

i

step 1

until,

-.m

do

^

i f

A

(l,jq J >

0

then

begin

el t

з

a

£i*oj

/

A

|^i,j0j

l

i f

un

V

®in >

al

then

нейного

программирования, причем рассматриваемая линейная фор­

ма должна не содержать свободного члена;

-

некоторая очень большая величина М

(например, 10^)'.

В эту процедуру входит процедура

ь р

с формальными

параметрами эta r t,new,work, fin и unbo

, из которых

ний -

это метка. Суть этой процедуры заключается в том,

что

с помощью булевской величины

0pt

, процедуры

start-

и двух

меток

е%

и

е2

она делает следующее. Если

opt

имеет

значение

true

s то переход к метке

е г

обеспечивает

выполнение процедуры

fin

и

этим заканчивается процедура IP

В противном случае, т.е. если

opt

имеет

значение

false

,

выполняется процедура

work

, а затем осуществляется пере­

ход к метке' е1

. Теперь поясним процедуры

start

,

new

,

work

и

±in

* которые входят в процедуру

цр

и

заменя­

ются в дальнейшем фактическими параметрами start

1 ,

new 1

,

work 1

и

fin 1

• Процедура

start

1

заключается в построе­

ний расширенной и дополненной матрицы системы ограничений

(расширенной - за счет добавления строки, отвечающей линейной

формеди дополненной - за счет столбца свободных членов), при­

чем из строки, отвечающей линейной форме, исключены искусст­

венные переменные. Кроме того,

процедура start

1

фиксирует

номера базисных неизвестных.

Процедура

new 1

(opt)

находит наибольший положи­

тельный элемент нулевой строки (не принимая во внимание эле­

мента этой строки, стоящего в столбце

свободных членов),

но­

мерстолбца

( 3 0 )

, в котором он находится и приписывает

величине

opt

значение

true

t если величина находимого

96

шах

равна нулю,

и

значение lalae

, если эта величина

больше нуля.

Процедура work

1

выполняет симплексное преобразование

матрицы, т.е. выводит из

базиса переменную с номером iO

и

на ее место вводит

переменную с номером

jO

. Кроме того,

отсутствия в

столбце JO

положительного элемента

(не в ну­

левой строке)

происходит выход из процедуры на метку

ш л о

.

что соответствует неограниченности линейной формы снизу.

Процедура f i m обеспечивает вывод номеров базисных переменны!»

Найти минимум линейной формы

0= -х 2 *■ 2x5

при системе

ограничений

х1

-

х2 +

2*3 '

2х4 *

б15 * 2 '

х1 * 2хр -Х3 * 7X4 +

3x5

» 5 i

—x-j +

+ x^ —

^ A t

~

0

( i = 1 . 2 , 3 >4 , 5 )»

Входными параметра!® процедуры

Simplex

будут:.

a[l:3,

1:5]

,

*

[i:^

' c [i-.d ]

(

I

-I 2 - 2 -

6 \

I

2 -1 7

3

(2 5 4)

(О - I 0 .0 2)

\-I

1 1 - 1 0 /

С этими дашшми

переходим к выполнению процедуры.start 1 _ ,

причем рекомендуем читателю непрерывно

сопоставлять

приводи­

мые ниже

вычисления с написанием этой процедуры на АЛГОЛ-60

А [0,о]:= 0,

iter ' :

= 0 „

AfO.Ij

:=0 ,

A

[0 ,2l :=-1 ,

л[о,3] :=0 ,

а [о ,4] :=0

А[0 ,^

А

[1,0]":=2,

А|2,0] :=5,

А [3,<j : =4,

A[2,l]:=I, A[2,2j:=2f

A[2,3]

:=-I, A[2,4j :=7, A[2,5]:=3

A p,lj :=—I , A [3,2]

:=I,

A [3,3] :=I,

A [3,4] :=-I, A [ 3 ,s] :=0

A

[D,lj :=0

+ M. I + M. I +'M(-I) = M

A

p,2] :=-I

+ M

(-1)

+ M2 + MI = -I

+ 2 M

A

p,3]

:=0 + М2

+ M (-1) + MI =

2M '

A

: = 0 + M (-2) + M7 + M (-1) = 4 M

A

[0,| : =

2 + M(-6 ) + М3

+ MO = 2 - 3M

A

p J

: =

0,

A

[1,77 : =0,

A

[ l , 8 ]

:

= 0

A

[I,d : =

I,

• *

base

[ij: = 6

A

[2,|

: =

0,

A

[2,7] :

=

О,

A [2 ,8 ]

: =

0

_

A ]2,f : = I

.

Ъаае

/2J : = 7

А

[З,б] : =0,

A

[3,7f

: =

0,

A [3,8/

: =

0

A [3,8J

: =

I, Ь а а в [ з ] : =8

A

[o,0]

: =

0 + М2 + M5 + M4 = II M

Таким образом, в результате выполнения процедуры

atart 1

мы имеем построенную матрицу

А [О

3,0

: в]

И М

М

2M-I

2М

4М

-ЗМ+2

0

0

0

2

I

-I

2

- 2

-6

I

0

0

5

I

2

-I

7

3

-0

I

•0

4

-I

I

I

-I -

0

0

0

I

и указание на номера базисных переменных

Ъаве jYj

: =

6 , basej2j : =

7, Ьазв[з|

: = 8 .

Процедура

new 1 (opt) использует

эту матрицу и находит

наибольший положительнйй элемент в нулевой ее строке, но не в

нулевом столбце и отмечает номер того столбца, где расположен

этот элемент, и приписывает величине

opt

значение

true

,

если шах =

0

, и

значение

fa lse

, если

пах >

0

,

max

:

=

4 М,

jO

i =

4,

opt

i

= fslae

98

--

Так как величина

opt приняла значение . false -t то

следующей выполняется

процедура

work \ , причем мы опять ре­

Iter

= 0

+ 1 =

1, un5

=

true,

mini =»

M

»

5

mins

5

iOt

=

2,

un: =. falae

a n

=~Т~,

=~1~,

_ 1 _

Ъаае

[ г ]

t =• 4

a i: =«

7

L J

Затем элементы

"ключевой" строки умножаются на

ai

т.е. на

-4—

и

получается матрица

1 Ш

М

2М—I

2М

4М

-ЗМ+2

0

0

0

а I : = 4М

2

I

-I

2

-2

-6

I

0

0

a i : =-2

5

I

2

-I

I

3

0

I

0

7

7

7

7

7

7

4

-I

I

I

-I

0

0

0

I

а ! : = -I

теперь остальные строки матрицы преобразуются'по формуле

a [ i , j ]

at

А

52м

2м

£м- 1

Д м

0

- Д м +2

0

- 4 М ■ 0

7

7

7

7

7

7

24

9

_ 3

12

0

_ 36

I

_

2

0

7

7

7

7

7

_

7

5

I

2

_ I

I

3

0

I

0

7

7

7

7

7

7

33

_ 6

9

6

0

3

’ 0

Г

I

7

7

7

7

7

7

После

этого мы

снова выполняем процедуру

new

л

(o p t)

и если в результате

ее выполнения величина o p t: = _£al_se

то переходим к выполнению процедуры

work i