книги из ГПНТБ / Слюсарь, И. П. Тонкостенные аппараты, нагруженные внутренним давлением
.pdf- 30 -
другого края условно именуется "длинными". Воли же деформации и надрй женйя у одного края влияет на напряжения и деформации у другого, то такие цилиндры условно называются "короткими".
Понятие "короткий" и "длинный" цилиндр определяют методику анализа и расчета тонкостенных оболочек, работающих под внутренним давлением. Эти понятия в теоретическом аспекте также определяют методику анализа устойчивости тонкостенных оболочек, нагруженных внешним боковым давлением.
, р |
|
Pf |
\ А |
|
|
А |
___т , |
3 — |
J |
Г |
|
|
|
||
£ |
|
|
|
|
|
|
* |
£ €г * г * €а * £ *
РИС.15.
Рассмотрим типовую расчетную схему для "длинного" цилиндра.
Очевидно^ внешние |
погонные силы $ |
j°,_, 9 г ( & |
) и |
моменты |
/77, |
||
/77/, /77г |
(*-ж ) |
(р и с.15), |
должны быть приложены по кольцевым |
окруж |
|||
ностям на |
расстоянии £ * £ * |
, т . е . |
на расстоянии |
£ |
> 2 ,5 f * S |
||
В этом случае в рассматриваемых сечениях можно определить краевые силы и моменты без влияния сил и моментов в двух других соседних се чениях. Однако в части цилиндра между двумя сечениями (например,
- 31
между сечениями, проходящими через точки А и В);напряжения и дефор мации в стенке будут слагаться из напряжений и деформаций от уси лий и моментов, приложенных на обоих краях. Для определения момен
та упругости |
М* |
от действия внешнего усилия ^ |
, рассечем |
цилиндр плоскостью, |
перпендикулярной к оси I , проходящей через точ |
||
ку А,на две части, |
р и с.16. Разумеется, что точка А принадлежат обе |
||
им частям цилиндра. |
Обозначим точку А, принадлежащую правом? краю |
||
сечения,- A j. |
В сечении будут приложены поперечные |
силы и моменты |
|
(р и с.1 6 ). |
|
|
|
V
РИС.16.
Равнодействующая упругих сил Q , вследствие симметрии приложения пил и моментов и симметрии оболочки, будет равна нулю.
Углы поворота сечений в точках А и Aj равны по абсолютной величине
ипротивоположны по знаку. Таким образом, можно записать:
Ъ- Ъ . - о -
9
В соответствии с уравнениями (30)
я ' |
V ' 9 - i k j ' Ф / ( s ) |
|
|
|
|
• 32 - |
|
|
|
Пра |
3 * 0 ; |
х * О ; |
<f>3 { t j * / а |
< |
} ,( * ) • / |
|
|
У л-¥>Л , |
2М х |
•/ |
= О |
|
|
|
8 J* |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда: |
|
|
|
|
|
|
|
м * |
л |
Мм |
|
|
|
|
4 fi |
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(32) |
|
Для определения упругой поперечной силы |
& |
в сечении действия |
|||
внешнего момента лп, |
рассечем цилиндр плоскостью, |
перпендикулярной |
||||
к |
оси X, проходящей через точку В . Картина приложения действующих онл |
|||||
в |
оечении показана на р и с,17 . |
В этом случае равнодействующая упруг |
||||
сил Q |
, |
вследствие |
несимметричности |
приложения моментов |
не рав |
|
на нулю, |
а |
перемещения |
W точек В и B j |
(р и с,18) равны по абсолют |
||
ной величине и противоположны по знаку. |
Следовательноf |
|
||||
|
|
|
О |
|
|
|
Приняв во внимание уравнения (2 8 ); |
получим: |
|
||||
- 33 -
|
|
РИС.18. |
|
- ~Ж~ ’ |
|
+ |
f o ( ^ ) |
|
|
|
О |
w&= ~j>w p & ( V |
~ |
& (Ю |
|
W* ” Wi> = £ я / г ' ^ * ■?*>/ г ^ |
|||
_ |
/пА |
Л |
(33^ |
- |
^ |
~ |
|
Замечание. Прежде чем проиллюстрировать на числовом примере второй вывод, сделаем очень' важное. в практическом отношении, за мечание о знаках напряжений и деформаций.
Поперечные силы, усилия и нагрузки, направленные по радиусу в сторону от оси симметрии оболочки и вызывающе ее растяжение, бу
дем считать положительными, в противном случае - (направление к оси оболочки) отрицательными. Изгибающие моменты в окружных сечениях оболочки, направленные наружу и вызывающие раотяжение внутренних волокон и сжатие наружных, будем считать положительными; обратное направление - отрицательными. Пели в результате решения получают положительное значшие усилий, то зто означает, что действительные
- 34 -
их направления совпадают с принятыми в расчетной схеме. Перемещения под действием поперечных сил очитают положительными, когда эти силн направлены в сторону от оси оболочки и вызывают ее растяжение,
Угловые перемещения считаются положительными, если изгибаю щие моменты вызывают растяжение внутренних, волокон одной из сопря
женных оболочек и л соответственно растяжение наружных волокон дру
гой оболочки.
Пример. На цилиндр, изготовленный из стали Ст.Зсп, насажен бандаж с натягом, выполненный из прямоугольного профиля той же мар ки стали (рис.1 9 ) .
|
|
ё |
=30 |
ММ, |
натяг сГ =0,33 мм, модуль упругости |
=2.10 I I |
, L |
=300 |
мм. |
- 35 -
ОпредЙшть деформации и напряжения в цилиндре в месте посадки бандажа.
Чтобы можно было применить формулы ( 2 9 ) ,( 3 0 ) ,( 3 1 ) , подученные при.решении дифференциального уравнения (19) для полубесконечной
обечайки, граничные постоянные (С , С2 , С3 , С4 ) , для которой из
вестны, |
определим £ |
* |
|
|
|
/ *= 2 ,5 | / Г Г |
= 2 ,5 ']/ |
0 ,3 6 '0 ,0 1 |
=0,15 м |
т .е . й |
> £ * . |
|
|
|
|
Это дает нам право воспользоваться указанными формулами. |
|||
|
Для решения данной задачи произведем идеализацию реальной кар |
|||
тины приложения сил: |
будем считать, |
что усилия, |
возникающие от натя |
|
га бандажа, приложены не по полоске цилиндра, а по кольцевой линии,
расположенной посередине ширины бандажа. Это, разумеется,' только при ближенно отображает реальную картину деформаций и напряжений. В дейст
вительности же будем наблкщать не один прогиб под бандажем, |
а два - |
|||||||
по |
его |
кромкам,' |
|
|
|
* |
|
|
|
|
Удлинение р.щиуоа бандажа запишем следующим известным |
соотноше |
|||||
нием: |
|
|
|
P |
i 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Щ |
- |
fT |
F |
" |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
F } - |
площадь поперечного-сечения бандажа <&*& ) . |
|
|||||
|
|
Из указанного |
соотношения определим поперечную силу: |
|
||||
|
Р |
- |
|
|
|
|
о.зз-кг4-о,Q2-0.003-г •ю4 |
|
|
‘ |
Гг |
“ |
= |
......... 1 о 1 |
= |
||
|
|
|
|
1 |
|
|
0,36^ |
|
= 152000 н/м (152 кг/см ).
По формуле (30)
р152000
------- 4^ 2l"4 ---------- |
* |
Н//М |
кгс*4/см^ |
|
- |
36 - |
|
jS « 1 .285 |
= . Ь Ш --------= |
2 1 ,4 ~ |
|
2,5 (Г Г # /о 7зб'0,01 |
|
||
Угол поворота |
сечения |
|
|
|
|
|
1780 |
|
|
|
4 ( * ) ■ - |
|
|
|
20600*21,4 |
* - 0.403МО-2 |
рад, |
|
|
Меридиональная сила |
=0, |
|
|
Тангенциальная сила |
|
|
|
- - 2 i / W x А |
= |
- 20,36 • 2 1 .42 • 1780 = |
|
в- 585000 н/м (585 кг/см).
Меридиональное напряжение
|
6 •1780 |
1 ,0 7 - 10й н/м2 (1070 |
кг/см2 ) . |
|
|
||
|
0 ,012 |
|
|
Тангенциальное |
напряжение |
|
|
G1 = - — ^ — |
= —SS&ffiS---------- - 58500000 н/м2 (585 |
кг/см2 ) |
|
^ |
0,01 |
|
|
Для посадки бандажа на цилиндр обычно бандаж нагреваю?.
Определим, до какой температура необходимо нагреть бандаж, чтоаы
получить |
натяг, равный 0 ,3 3 |
мм. |
|
|
Примем радиус |
бандажа |
R-S равным радиусу цилиндр,, г . Тогда |
||
удлинение радиуса |
бандажи |
|
|
|
|
1л£ с ( Г = d i t |
|
|
|
/ |
_ |
------------- |
— J j0 0 3 3 ------- |
_ ух ,ь ° с |
^ |
аСг |
н , 2 •И ГЬ* 0 ,3 6 |
|
|
Следовательно, разница меиду температурами материалов бандажа и |
||||
цилиндра во время |
монтада должна быть не |
менее 81,5°С , |
||
|
- 37 - |
3 . |
F^iieune задачи о распределении деформаций, усилий и мо |
ментов в полубесконечной цилиндрической обечайке от действия внеш них краевых сил F и моментов т . , по сути является решением краевой задачи для тонкостенного цилиндра. Это решение, как будет показано ниже, находит практическое применение в инженерных расчетах сопря жений оболочек различных геометрических форм, а также сопряжений оболочек вращения с круглыш и кольцевыми пластинками и плитами хими ческих аппаратов.
г . Некоторые частные случаи решения основного уравнения моиент-
ной теории.
£ , Цилиндр, нагруженный равномерным газовым давлением.
РИС.20,
Рассмотрим тонкостенный цилиндр с днищами, изготовленными из
"эластичного" материала, не препятствующего при его нагружении удлине нию радиуса £ (р и с.20). Очевидно, что удлинение И/ в этом случае,
по длине цилиндра будет постоянным.
- 38 -
o T V * |
£ S |
w * |
|
|
+ |
|
£SdLt |
i |
|
+ |
|
|
|
't |
' |
||
|
|
|
|
|
|
|
(34) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По условию задачи |
|
|
|
|
|
|
||
W * -co n st |
|
j |
£ Set£ |
sj |
|
|||
|
|
Y ~ |
|
= с/ |
|
|||
Осевую (меридиональную) |
силу |
А/* |
определим из условия равнове |
|||||
сия воны (рис.2 1 ) .
£ S t А& * & ъ х г гр
G* = J J 7 |
(35) |
С учетом условий постановки задачи и формулы (35) уравнение
(34)будет иметь вид:
(36)
^ * = - ш L2
|
|
- 39 |
|
|
ч> = |
d w ' |
= О |
|
|
|
СИ |
|
|
|
м - - f f ^ ' - A V x |
%■ |
|
||
Л/f « F t , |
Gf = Pt |
|
(37) |
|
|
|
|
|
|
Как видно из |
формул (3 5 ), (3 6 ). |
и (3 7 ), деформация, |
усилия, а |
|
следовательно, и |
напряжения в оболочке постоянны по ее дайне. |
|||
2 . Цилиндр, |
нагруженный гидростатическим давлением, |
|
||
Рассмотрим вертикально установленный цилиндр, (ри с.2 2 ), вмещай |
||||
"эластичное"днище, |
заполненный жидкостьюс уЗельаым весом |
jf |
||
S
РИС.22 .