книги из ГПНТБ / Слюсарь, И. П. Тонкостенные аппараты, нагруженные внутренним давлением
.pdf- 20 -
Преобразовав последний многочлен, получим: |
|
|
|
|
(IB ) |
d O |
- р - М |
приняв во |
Из уравнения (16) имеем: |
/° “ £ |
|
внимание у р """"“”“ 1т'7'1 |
|
|
Представив вместо меридионального |
момента Мх |
его значение |
из уравнения (1 3 ), в итоге будем иметь: |
|
|
(19)
Последнее уравнение является линейным дифференциальным урав нением четвертого порядка с правой частью (нес&нородное),
Общее решение этого уравнения слагается из общего решения однородного уравнения и какого-либо чаотного решения неоднородного уравнения:
|
|
|
? |
W .w .< w \ |
ш |
где |
Wo |
- |
ббщее решение однородного |
уравнения; |
|
|
W * |
- |
частное решение неоднородного уравнения. |
||
|
Решим однородное уравнение: |
|
|||
( 2 1 )
Примем
(22)
f> - коэффициент затухания цилиндрической оболочки.
|
|
|
|
|
|
|
- 21 |
- |
|
|
|
|
Приняв для |
стали |
/ J |
= 0,3 |
|||||
|
|
|
|
|
а . Л И . |
|
|
(23) |
||
|
|
|
|
г |
~ |
/ГГ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
При решении физических задач удобно перейти к нрвому |
||||||||
безразмерному |
аргументу |
% |
|
|
|
|||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c /t |
_ |
|
я |
|
|
|
* |
/ ; |
|
|
— |
|
•г> |
|
|
|
|
||||
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я * |
- |
ё ж |
|
■ 4 Х |
- |
л • |
||
|
|
~ с П Г я т * - " |
||||||||
уравнение |
(20) перепишется следующим образом: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(24) |
|
|
Будем искать |
решение данного уравнения в форме |
|||||||
|
|
|
. . |
|
лл IT |
W |
|
I? |
Лу « л # |
|
|
|
|
W |
= £ |
; |
|
|
= Х ГС |
||
|
|
Характеристическое |
уравнение представится в виде |
|||||||
л ''£ ** + 4 е Л*
Значения корней характеристического уравнения следующие;
- Л у= ( 1 + 0 4; |
^ * = i ( I + / ) 8 } |
Д,., |
=±(1 + / ) . |
Покажем, что (I +<: )4 = -4 |
|
|
|
[ а + П 2] |
= ( I + 2 / - i ) 2 = 4 4 * |
= -4 |
|
Д, - / V , Дг - f ' i , |
' Av * - f-i |
||
Комплексными решениями,соответствующими найденным корням характерис
тического уравнения, будут: |
|
|
|
||
— |
("O S |
t |
„ |
. , |
, |
W , ~ e |
|
= е ( c a s t t i f t J t S ) , |
|||
e * (cos %- isin S)
W, = £
- 2 2 -
|
|
w$ » e ^ |
~ |
& |
(cosS •f-ttrn £J |
|
|||
|
|
tЦ * ё (' M j * - e ' * (< * s r - s s / * v ) |
|
||||||
|
Как известно |
из |
математического |
анализа^ решением будет |
также; |
||||
|
Й7 а С, w , + ?г Й4 * С3 № j * С*у \Л/у |
|
|||||||
где |
ct/ сг |
с3 1 |
Су |
- |
постоянные комплексной функции. |
|
|||
|
Любая линейная комбинация корней комплексной функции - |
тоже |
|||||||
есть |
частное решение: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
W ' . & f & a e ' c o s ’S |
|
|
|
||||
|
|
Ws * £ L * i £ a e * c o s * |
|
|
|
||||
|
|
= - J r — |
- е |
c o s § |
|
|
(25) |
||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W o * c trt,+ C iW i+ сз w3 * С* и/у |
(26) |
|||||
где |
с, j € t |
. с $ j |
|
- |
произвольные |
постоянные, |
|
||
|
И, |
наконец, найдем |
W * в виде |
W* * В - <u>tis f |
|
||||
|
/-& & |
( f ' S ' ^гГ 7 |
; |
4 f iW * * B |
|
||||
И/ “
Для целого ряда задач значения постоянных определяются из граничных условий (задачи Коши), Проиллюстрируем это на следующем примере.
|
Рассмотрим полубесконечную цилиндрическую оболочку, нагружен |
||
ную равномерно в |
сечении Х=0 погонными силами 5” |
и погонными мо |
|
ментами |
т |
, р и с,12. |
|
|
Для определения перемещения Wi, по формуле |
(26) необходимо |
|
- 23
РИС.12.
найти значение четырех произвольных постоянных: а,, Сг, cS/ с у
Их значение можно определить только в том случае, если будут известны четыре граничных условия. Должны быть известны: либо функция (в данном случае ) , либо ее линейные комбинации, либо
еепервая, вторая или третья производные.
Вданном примере мы имеем:
- при X = 0 ; |
§ =0; |
=■¥ j Mt = Д) |
= /т 7 |
в |
9 |
, известны вторая и третья произ |
|
|
|
||
водные функции;
- при X = с о ; g а оо ; !/\/о = Q
т .е . известна функция.
Если функция равна нулю, то произвольные постоянные тоже должны быть раЕНы нулю, пооколько значения Wt,~e
V
иСу
ищ iiy>fg
- 24 -
стремятся к бесконечности. В противном случае условие равенства функции нулю, при X я <х> t оставалось бы невыполненным.
Постоянные <?t и сг найдутся по известным второй и третьей производной функции при Х=0:
Из формул (25) |
найдем производные \М,' и |
: |
щ ' = - е |
cos § - е s J h % “ - и /, - Wz |
|
' - ~ е |
£ + £ *c e S S = W, - \Л/г |
|
Тогд а
У(-W, -tfi) +<\ (w, ~ W t)] s J 5/ ^ / ( C1 ~CJ~W i /<"? / C /)J ;
ЧЫ -wt)(e*' V Yw> |
s |
* J Q / * Y * b wt + 2 c , W ij <=r n |
|
При ~S =0; -yv, =1; Щ =0 (см.формулы (25) |
|
M u - / П = 8 J* *(-<!4 -4 * 2 c . - o j ■ |
|
$ |
=1 гГ J ? |
|
('w' 'w*) +2C' 2 ' * • )] " |
|
= 2 / 4£w>i(Ct * C,) + £ И'г (c%- e ,)J |
||
При |
I =0; |
=1; |
И4 =0 . |
Q - X J ' A f a + c * )
/ 7 |
____ Я |
m |
c ' |
~ l a p |
|
- 25 -
Подставив |
в формулу (26) вместо с и сг их значения, |
m лучим |
||
W |
|
+ j j r p w , - Щ р * М |
|
|
а заменив w, и |
Wx их |
значениями из формул (25), получим функцию в |
||
виде |
|
|
|
|
W ~ / я р Г € |
( cos $ S ' и $ ) 4g g ji* .€ |
* CCS § |
(27) |
|
Для удобства дифференцирования уравнения |
(27) введем следую |
|||
щие обозначения:
Ф,(%) =е *(<*>** +S'» ъ)
</>г |
) = |
е. s (сог% |
< h fe j а € ~ * е м 1 |
||
|
|
(28) |
Тогда уравнение |
(27) примет следующий вид: |
|
И / = Щ р Ф* ($ ) * ш р * Ф* ^ |
(29) |
|
Из полученного |
уравнения видно, что |
линейная деформация рас*. |
сматриваемой оболочки |
\ |
|
в конкретном случае является функцией перемен |
||
ных величин ^ { а ) и Ф з (% )
Определим первые производные функции (28)
<$>,'(§) = -€ . |
e -^ s i n t - i |
+ е fcos g |
Остальные производные приводим без |
вывода: |
|
|
д |
|
& № * * & ( * )
AYV- -*'W
Ф/(^) *Фг.С%)
Последовательно дифференцируя уравнение (29)f определяем угол
поворота, внутренние силы и моменты, возникающие в оболочке от дейо
твия внешних сил |
& |
в |
моментов т ; |
|
|
|
|
|
|
& СЮ |
|
~ £ )k |
Фз f t ) |
$1 СЮ |
|
||
Ml = /77 ф , (% ) + |
|
f t ) |
|
||
, Q ‘ -£ S -'r? 0 v(g)+3><pI ( ‘§ J |
(30) |
||||
Тангенциальная сила |
U i |
оцределится из уравнения (1 8 ). |
Так, |
||
для заданной схемы нагружения полубеоконечной обечайки |
|
||||
Подставим вместо |
w |
его |
значение из уравнения (2 9 ): |
|
|
После подстановки в последнее уравнение значения цилиндрической жесткости 9} и некоторых алгебраических преобразований, в итоге получим:
|
' |
г/п <pt ftJ +2г/?Фз ft) |
(зх) |
В . |
Инженерный анализ результатов решения основного |
уравнения м |
|
ментной теории. |
|
|
|
Итак, в |
полубесконечной■цилиндрической оболочке (р и с.1 2 ) .на |
||
груженной в |
сечении Х=0 |
внешними силами 3>и моментами т , |
возника |
ют линейные |
и угловые деформации, тангенциальная сила |
, попе |
|||
речная сила |
Q , моменты |
И х |
и |
M t .Величина последнего |
момента |
определяется по формуле (1 4 ). |
|
|
|
||
Анализируя уравнения |
(30) |
и |
(31)^можно сделать следующие важные |
||
- 27 -
практический вывода,
I , Деформации, усилия и моменты, и, следовательно, напряже ния в оболочке изменяются вдоль оси X по конусо-синусоидальным зако
нам и имеют знакопеременный затухающий характер (р и с.1 3 ) .
Ш С .13.
Причем, затухание деформаций и напряжений, т . е . уменьшение
» - М .
амплитуды, происходит очень энергично, так как длина волны Л ,- j ,
1есьма мала по-сравнению с радиусом оболочки.
Зная закон изменения функций Ф ($Jj Фг (
можно определить значение деформации и усилий в оболочке в любом по-
перечном ее сечении. Изменение этих функций приведено по данным
З.Б,Канторовича [&J |
на р и с.14. |
Поскольку конструктор всегда интересуется наиболее нагру |
|
женными сечениями, то |
производить каждый раз такой подробный анализ |
|
- |
29 |
- |
|
|
нет необходимости. |
|
|
|
|
|
Как видео из рис. |
следует |
проверить раочетом |
только два |
||
сечения: |
|
|
|
|
|
|
1 = 0 |
|
и |
£ = — |
= 0,785 |
|
|
|
|
4 |
|
2 . |
Для отрогооти |
выводов мы рассматривали |
бесконечную |
||
цилиндрическую оболочку.В практике такие оболочки, как известно,
не встречаются.В таком же случав в практике инженерных расчетов цилиндрическую оболочку можно считать достаточно длинной, чтобы
было допустимым применить к ее |
расчету |
уравнения |
(3 0 ) и (3 1 ) . |
|||
Если принять за критерий точности инженерных расчетов ошибку |
||||||
не |
более |
5%, т„я. если: |
|
|
|
|
. |
|
_ |
. . . . |
4 f- W |
r ~ ■=0.05.*.«.55*. |
|
|
|
° * 05! •••■ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
то, |
как |
показал 3 . Канторович [ |
_ g |
- g * |
= j-_ |
|
где - значение аргумента, при котором функции Ф , №
... Ф ,(*) составляют по величине не более 5% от их значения при
t =°
£ * - расстояние от сечения,где приложены краевые силы и моменты до сечения, где их действия практически отсутствуют.
Для стальных обечаек
£ * = л г * |
f t $ ~ z . S f t - s |
|
Таким образом,все сечения оболочки,лежащие на расстоянии |
||
/^/'’ практически не воспринимают внешних сил |
и моментов,приложен |
|
ных на ее краю.Цилиндры и другие оболочки,у |
которых нагрузка, |
|
приложенная к одному краю не влияет |
на деформации и напряжения |
|