Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Скорецкий, Э. С. Автоматизация отопительных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

3.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

рекомендации для расчета нелинейно деформируемых материалов.

Остановимся подробнее на способе задания нагрузок, действующих на исследуемую область и вызывающих формирование в ней определенного напряженно-дефор мированного состояния. Все виды нагрузок в методе конечных элементов приводятся к сосредоточенным си лам, приложенным в узловых точках. Таким образом, распределенная нагрузка, действующая на некоторой поверхности (например, давление воды на верховую грань плотины и на участке низовой грани, давление на

поверхности цилиндра) д о л ж н а	быть	заменена равно
великими сосредоточенными	силами,	приложенными

в соответствующих узловых точках. При действи'и на клонной нагрузки, ее следует заменять сосредоточенны ми силами в узлах и раскладывать эти силы на компо ненты параллельно координатным осям.

Объемные силы (например, собственный вес)								т а к ж е
приводятся к		сосредоточенным				силам,	действующим
в узловых точках, и могут быть определены для								случая
плоской задачи по			формуле
			fyi =	- ^ t i					(4-1)
					m=l
где q — количество			треугольных			элементов,	сходящихся
	в данной узловой				точке;
Sy — произведение				площади		каждого	элемента		на
	объемный		вес	материала .
Д л я	первого	примера			собственный вес		плотины		за
менялся	вертикальными				силами, рассчитанными				по

этой формуле и приложенными в узловых точках. Филь трационное давление в основании определялось для цен тров тяжести треугольных элементов, затем, по типу формулы (4-1) приводилось к компонентам сил, прикла дываемых в узловых точках.

При решении инженерных задач, как правило, ис пользуются различные случаи задания граничных усло вий. С учетом сказанного в начале параграфа, это имеет


«интуитивный»		характер,	т.	е. ограничение	области
исследований и		задание	. граничных условий		должны
быть связаны.
Для	расчетной схемы			толстостенного	цилиндра
(рис. 13)	принимались статические граничные				условия;

7 0

на внешней поверхности — компоненты сил в соответст вии с действующим давлением и сеткой разбивки, на

внутренней поверхности — компоненты		сил,	равные	ну
лю. Перемещения всех точек сетки разбивки			полагались
неизвестными.
Д л я расчетной схемы плотины и основания (рис.				12)
были	приняты, например, смешанные	граничные усло
вия:	все компоненты перемещений и п	ѵ по	боковым и

нижней граням основания равны нулю. По остальным

частям	контура	и	для всех	узловых точек,	л е ж а щ и х
внутри	плотины	и	основания,	перемещения	считались

неизвестными. Компоненты внешних сил задавались на гранях плотины и для внутренних точек области. В точ

ках,	где		фиксированы	перемещения, компоненты внеш
них сил		полагались неизвестными.
	§	4.3. О Р Е А Л И З А Ц И И Р Е Ш Е Н И Й НА			Э Ц В М
Составление программы для решения задач методом
конечных			элементов на	Э Ц В М заключается	в описании
на	языке		конкретных	машин логико-арифметических

операций алгоритма численного решения. Блок-схема

программы,	х а р а к т е р и з у ю щ а я порядок вычисления, по
казана на	рис. 14. В соответствии с блок-схемой общая

программа состоит из нескольких подпрограмм: форми рование матрицы жесткости системы, или, что то же, вычисление коэффициентов конечной системы уравне ний; формирование матрицы сил (приведение, например, массовых сил к компонентам, действующим в узловых точках); решение конечной 4 системы линейных уравне ний с постоянными коэффициентами, в результате чего непосредственно получаются значения перемещений узловых точек; расчет напряжений и деформаций . Все расчетные формулы, необходимые для составления этих подпрограмм приведены в' главах I I — I I I настоящей работы.

Основные трудности, возникающие при выполнении конкретных расчетов методом конечных элементов, свя^ заны с необходимостью обработки больших числовых

массивов при ограниченной емкости оперативной				памяти
Э Ц В М . При	этом часть	исходной	информации, а	также
получаемые	в процессе	решения	массивы, здесь	в пер

вую очередь имеем в виду обобщенную матрицу жестко сти системы, иногда приходится размещать во внешних

запоминающих устройствах машины (магнитный бара-

7 Г

бан или магнитная л е н т а ) . Многократное обращение к этим массивам, например, при решении конечной си стемы уравнении, связано с затратой значительного ма шинного времени. Поэтому надо стремиться к макси

мальному	ограничению			вводимой		информации и наибо
лее рациональной форме записи числовых массивов.
Ввод		и	чтение
исходной			информации
Расчет		и	формирование
матрицы			коэффициентов
системы	линейных			уравнений
Расчет		и	формирование
матрицы		обобщенных			сил
Решение системы						Выход:		перемещения
линейных		уравнений				уілобых		точек
Расчет			напряжений			Выход:		напряжения^
и деформаций				.		и	деформаиии
Конец	расчета		или	задание
новых	исходных		данных		для
следующего			приближений
				Рис. 14.
Наиболее		громоздкими,			с точки	зрения		загрузки ма

шины, операциями являются составление обобщенной матрицы жесткости системы и решение конечной систе мы уравнений. Последняя задача применительно к си

стемам	с большим	числом неизвестных	разработана
в настоящее время достаточно хорошо. Известны				стан
дартные	программы,	использующие те или	иные	спо

собы решения систем линейных уравнений, которые мо гут использоваться в общей программе как ее составные іаети.

Фо рмирование матрицы жесткости системы выполня

ется	на Э Ц В М .		Рассмотрим некоторые рекомендации,
относящиеся к		этому процессу. Д л я облегчения		изложе
ния	материала		условимся обозначать матрицы,	относя

щиеся к системе, через {F}, [К], {U}, а матрицы, относя щиеся к треугольному элементу системы, через {/}, [/г], {и}. Удобно принять следующий порядок формирования

матрицы при машинных расчетах.
1. Все члены обобщенной матрицы жесткости						систе
мы принимаются равными нулю.						т=\
2. Д л я всех треугольных элементов системы от
до m = N составляются элементарные матрицы					жесткости
[k] в	соответствии	с выражением	(2-33) или		аналогич
ным выражением		для уравнения	(3-38).
3. Члены kij матриц Щ в соответствии с определен
ными	правилами	направляются	в ячейки	обобщенной
матрицы жесткости [/<], причем,			если член	kij	попадает

в уже заполненную ячейку матрицы [К], то он сумми руется с числом, находящимся в этой ячейке.

Выполнение		операций, перечисленных					в	пунктах 1
и 2, не представляет трудности. Приведем								некоторые
выкладки,	которые		внесут	ясность	в	порядок			расчета
по пункту	3.
Представим		обобщенную		матрицу		жесткости			систе
мы [/(] в виде клеточной матрицы:
									(4-2)
Блоки	Ки	и Кі2	этой	матрицы		(размер		каждого
блока — пХп)		содержат коэффициенты уравнений типа
(2-45) и (2-46), определяющих связь						между		горизон
тальными компонентами сил и компонентами								перемеще
ний узловых точек системы. Члены					блока		Кц	являются

коэффициентами при горизонтальных компонентах пере мещений узлов, а блока Км — при вертикальных. В е р т и кальные компоненты усилий связаны с- перемещениями через блоки обобщенной матрицы жесткости К%і и .ЙГ22.

Вышесказанное можно проиллюстрировать следую щей записью:

элемент с вершинами I , I , К. Примем, что нумерация вершин этого элемента, рассматриваемого отдельно,

7 3

будет i, j , k. Определим для этого элемента матрицу жесткости [к] и тем самым найдем зависимость

(4-5)

Или в развернутом виде

	-	h
	ІУІ
	hi
/г,, / г 1 2	А{»fvh/г 1 4		А. 5
			Aas	As.	"J
:	/ г зз * м А3 = А 3 8				. "h	(4-6)
				А.,0	Щ
			А 5 5	А5 е	Vj
				Абс_	\ vh J
По аиалоппі с '(4-2) представим з					виде	клеточной
матрицы
[k]	=	" i l	2			(4-7)
	^ f t a ,		/ г 2 2 .
Тогда, что вполне очевидно,			запись		(4-5)	будет экви

валентна следующим двум соотношениям, совпадающим

по форме с (4-3)		и	(4-4):
		{ Ы = № и ] { и }+[Еі * К о };								(4-8)
		{ / » } = ( & • ] { " } +				И	{и},			(4-9)
где {fx} и {fy}	— соответственно,					векторы			горизонтальных
и вертикальных		компонентов			сил,		действующих в узлах
i, j , k элемента.
Используя	зависимость				(4-6),		запишем			уравнения
(4-8) и (4-9)	в полном			виде
					+ ku		A, 5		A	(4-10)
	i_ku	/ г 3 2	k33	j
	•51	« 5 2	ПІЗ		+ A54 ^ 6 5			Asa		(4-И)
						l.A«« A, 5		é „

7 4

Перейдем теперь непосредственно к правилам пере-


адресации	членов матрицы		жесткости	треугольника [k]
в обобщенную матрицу жесткости [/(]. Д л я					этого	в	мат
рице [/(]	выделим	строки и	столбцы,	соответствующие
номерам	вершин	рассматриваемого		элемента.		Пусть,
например,	номерам	вершин	треугольника		i, j ,	k,	рас

сматриваемого отдельно, соответствуют номера узловых точек системы /, / , К. Тогда порядок подстановки чле нов матрицы [k] в матрицу [/<], в соответствии с приве денным сопоставлением структур этих матриц, будет иллюстрироваться формулой (4-12).

: т [4

	•	К/г • .	Àf„ . . . . . .		км . .	Л » .	.	kl6..
• • кг1. • к п . • Kl3. . . . . .					kS4. • к i S .		• k2s- •
.:кЗІ.	.	"За .			.	k3f.	.	л * . '
								(4-/2
• -Кі	• • "42 • .		. . .	^. . .	к** • •	k4s.	•	^+«. -
м .	•	"іЗ • .	Ли . . .	. . •	к і 4 . .	к55.	.	* » . .
( V ) ::к6І.	•	"«г • .	н а . . . . . .		* „ .		•	" и - •

Аналогичным путем распределяются' члены матриц жесткости всех N треугольников системы, которые сум мируются с уже поступившими в данную ячейку чле нами kij.

Отметим, что матрица [К] является симметричной, т. е. [Щ='[К]Т, причем диагональные элементы матриц жесткости [k] сосредоточены на ее главной диагонали. Запись матрицы [/С] в форме (4-12) представляется Не достаточно компактной, так как прибольшом Числе не

известных эта матрица будет пустая, т. е. многие ее

7 5

члены окажутся равными нулю. Число строк в матрице [А] не может регулироваться, поскольку оно определя ется количеством узлов сетки разбивки и равно 2п. Следовательно, возможность более компактного пред ставления матрицы [А], позволяющего экономить ма шинную память, заключается в придании ей полосовой

структуры. Это достигается						перестановкой строк и столб
цов и	перегруппировкой					ее		элементов в соответствии
с выражением			(4-13).		ю- • Ш\
	Щ	W,)	• •		ю- • Ш\
	• к,,	klir	. .		K,s •		•	к,3	kts
M	• К,	к»	• • •	к^ Кis •			•	кі}	k^g
te/1	• Klf	kS(	. . .	кгг K!S.		.	•	кгз	k s s
M	• Aj,		• • •	Ksi	Кss.	-	•	KSi k5g
	• K31 k3i		. . •	кзг					І4-/3)
	• K31 k3i		. . •	кзг	Kss-	•	•	K33	kss
Ы	• Kâ/	H6i	. . •	кбг Нее - •			•	K63	k66

Матрица [А], записанная в форме (4-13), в	отличии
от формы (4-12) имеет полосовую структуру,	т. е. ее
члены, отличные от нуля, группируются вблизи	главной

диагонали. Диагональные члены матриц жесткости [k] треугольных элементов, как и в форме (4-12), распола гаются по главной диагонали матрицы [А]. По - прежне му, матрица [А] остается симметричной. Ширина ее по


лосы зависит от	максимальной разности				номеров	узлов,
п р и н а д л е ж а щ и х	одному	элементу.
Д а ж е в такой	форме	матрица		жесткости системы со
д е р ж и т в пределах полосы			значительно		больше поло
вины членов, равных нулю.			Это	загромождает		машин

ную память непроизводительной информацией. В. В. Се меновым разработаны -и используются в расчетах определенные принципы назначения сетки разбивки и1 нумерации узлов, • позволяющие представить матрицу

7 6


жесткости системы в виде двухмерного массива			разме
ром 2(<7+1) Х2/7., где п — количество узлов на		расчетной
схеме, ц-—количество	элементов, объединяющихся		в уз
ловой точке. Представленная в таком виде		матрица
практически не содержит нулевых членов, что		приводит

к существенной экономии машинной памяти и рациона

лизации		расчета иа	Э Ц В М . Эти	принципы,	в частности,
были	использованы		при расчете	примеров,	приведенных
в §	4.2,	и задач,	рассмотренных в следующей главе.

Разнообразие схем исследованных задач позволяет сде лать вывод о том, что такая компановка матрицы жесткости достаточно универсальна. Подробно эти во

просы изложены В. В.		Семеновым в	разделе «Реализа
ция расчетов	методом	конечных элементов		на	Э Ц В М »
в работе [12].
Остальные	разделы	общей программы		затруднений
при их составлении не		вызывают. В. качестве			примера
в Приложении	I I помещен алгоритм		расчета		одной из

задач, рассмотренных в следующей главе. М о ж н о реко


мендовать	. т а к ж е весьма подробно изложенную		про
грамму в работе [12] и алгоритм расчета матрицы			жест
кости системы для неоднородной среды,		обладающей
свойствами	трансверсальной изотропии,	приведенный

вработе [21].

§4.4. П Р Е Д С Т А В Л Е Н И Е Р Е З У Л Ь Т А Т О В

ИП О В Т О Р Н Ы Е Р Е Ш Е Н И Я

Если конечной целью решения задачи является опре деление поля перемещений, то представление результа тов становится весьма простым. В соответствии с (2-3) перемещения любой точки области являются линейной функцией координат. Поэтому при известных значениях перемещений узловых точек легко определяются пере мещения всех остальных . Практика показывает, что

точность		решения	в	этом случае			достаточно		высока
д а ж е при весьма			грубой		схеме	разбивки.		Наибольшие
погрешности могут иметь					место вблизи участков				области
с резко		различными		показателями			деформируемости и
у границ		области.
1	Д л я	схемы плотины и основания толстыми							линиями
на	рис.	12 показано положение узловых точек сетки
разбивки после деформации . П о						формулам (2-14) могут
быть рассчитаны			и перемещения			любых точек			системы.
	Р а д и а л ь н ы е перемещения точек толстостенного ци
линдра,		рассчитанные			методом	конечных		элементов,

в сравнении	с	результатами строгого решения представ
лены в работе		[19]. М а к с и м а л ь н а я погрешность в		пере
мещениях составила: по схеме 1—9,5%,			по схеме	2 —
3,5%, по схеме		3—1,0%.
Значительно сложнее обстоит дело с представлением
результатов	в	виде полей напряжений	и деформаций.

Как указывалось, эти поля имеют разрывы на границах

между		элементами.	Значения	напряжений		и	деформа
ций	остаются постоянными в			пределах	каждого		элемен
та,	т.	е. могут* быть	отнесены	к любой	его	точке. П р и

недостаточно детальной сетке разбивки это может при вести к весьма грубому приближению, что имело место, например, при расчете плотины ц. основания по схеме, представленной на рис. 12.

В любом случае при конечных, хотя бы и .малых, размерах элементов приходится относить полученные в расчете значения напряжений и деформаций к неко

торым точкам в пределах элемента. В настоящее					время
для этого используются следующие схемы:
1. Приведение результатов к . центрам тяжести эле
ментов. Считают, что полученные		в	расчете	компоненты
напряжений и деформаций относятся			к центрам тяжести
элементов. В ряде случаев для		прилегающих			поясов
треугольных элементов при этом		получаются		значитель
ные расхождения .
2. Приведение	результатов к	вершинам		элементов.
Т. е., если в некоторой точке m рассматриваемого					объе
динения сходятся	q треугольных	элементов,		для	кото

рых определены компоненты напряжений и деформаций,

то осредняют эти компоненты относительно			узловой
точки	m и	прикладывают полученные значения	в	этой
точке.	Д л я	осреднения различные исследователи		при

меняют следующие формулы: среднее арифметическое

ч ч

среднее взвешенное (прямо-пропорционально площадям элементов)

среднее взвешенное (обратно пропорционально						площа
дям	элементов)
	Е \| " . 4 ( E s ,
		<7
		( < / - 1)	U S ,
						(4-16)
	В задачах, рассмотренных в настоящей работе, на
пряжения приводились		к узловым		точкам	сетки	разбив
ки	с использованием	осреднения		по формуле		(4-14).
Д л я схемы толстостенного			цилиндра		сопоставление
радиальных <аг и тангенциальных лі				напряжений,		опреде

ленных для различных схем разбивки методом конечных элементов, и рассчитанных по строгому решению, пока зано на р и с 15. Сплошными линиями проведены кривые

а,- и <аі, рассчитанные по формулам		строгого			решения [7],
9				12,25		1

1	— 4 - 1 = - 1 . 016П		-
						(4-17)
г"\Рі	- 1,016	'	i +	l		^ 2 5
а { = —

Пунктирные кривые построены по точкам, полученным расчетом методом конечных элементов. Расхождение м е ж д у сплошными и пунктирными кривыми (на рис. 15) характеризует погрешность в напряжениях при расчете методом конечных элементов каждой из рассмотренных схем разбивки .

Повторные решения применяются, в -частности, при изменении густоты сетки разбивки на отдельных участ ках или при корректировке деформационных характери стик среды. Рассмотрим последний случай.

Изложенные в главах I I и I I I аналитические построе ния, использующие математический аппарат теории упругости, справедливы только при линейной зависи мости между напряжениями и деформациями во всем интервале действующих напряжений; т. е. при постоян

ных значениях показателей деформируемости,	входящих
в физические уравнения (1-4) или (3-14). В то	ж е время

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ