книги из ГПНТБ / Скорецкий, Э. С. Автоматизация отопительных систем

в уравнении

(2-59). Тогда в общем

виде для

выраже ­

ния (2-55) получим:

и =

Оі{х,

у)щ-\-а^{х,

y)Uj-\-ah{x,

г/)>и

+

-\-ai{x,

у)щ;

(2-61)

ѵ — а,і(х,

y)vi-\-a.j{x,

y)Vj + ah(x,

y)vk-\-

-\-ai\x,

y)vt.

Д л я

прямоугольного

элемента с началом координат,

при компонентах

перемещений

вершин в

уравнениях

(2-61) выразятся:

сц ( Л - ,

у) —(а — х) ф — ff);

a, (A-,

y) =

(a +

x)(b

— y);

(2-62)

ак(х,

у) =

{а-\-х)ф-{-у);

щ{х,

у) =

(а —

х){Ь-\-у).

Т. е. вид функции для перемещений (2-55)

оказывается

функциями от координат

точек:

(2-63)

где

О

1

0

у

о

о

о

о

[І] =

О

0

0

0

0.

О

1

х

(2-64)

L

0

0

1

x

0

1

O y

элемента, имевшее дл я треугольника

вид (2-27), запи­

шется как

Э(и, v)=±^{s}*[D]{*}dS.

(2-65)

Из (2-63) получаем, что

{е}т = {а}т [^]т -

Используя

(2-59),

можно записать, что {а}т = {£У}т [ Q ] ~ l T ,

где [ Q ] - 1 1 ' —

транс­

понированная

матрица

[ Q ] - 1 . Тогда

уравнение

(2-65)

выразится в виде

Э(и,

v) =

-^{Uy^[Q]-^[LY[D]X

s

Xm[Q]-ldS{U}.

(2-66)

№=

^[Q]-lT[LY[D][L][Q]-*dS.

(2-67)

's

Уравнение (2-67) и определяет вид матрицы

жесткости

прямоугольного

элемента. Рассматривая

порядки и

переход

осуществляется

по обычным

правилам

(рис. 76).

Х =

Х0

-\-х

cos ß — у sin ß;

(2-68)

3 ; J

Y =

Y0

-4- X sin ß -f- y cos ß

где X,

Y—координаты

глобальной

системы,

х,

у — ло­

кальной

системы,

а

хи

уі — промежуточной,

начало

полнено

по

аналогичным

правилам . Следует

иметь

в виду,

что

громоздкость

математических преобразова­

ний при этом

возрастает.

Пространственная задача, элемент в форме

тетра­

эдра (рис. 7в) . Элемент

в форме тетраэдра является

4*

-5!

Если

через

к а ж д у ю

точку

тела

проходит

плоскость,

в которой все

направления являются упруго-эквивалент­

ными

(плоскость

изотропии),

то

число

постоянных

ко­

эффициентов

сокращается

до

5

(трансверсально-изо-

тропное тело)

[10].

В большинстве случаев проявления анизотропии при

расчете сооружений

и

оснований

инженеру

приходится

сталкиваться

с

трапсверсалыю - изотропными

средами.

Сюда относится, например, анизотропия скальных

по­

род,

определяемая

их

слоистостью,

напластованием,

некоторых типов грунтов (ленточные глины)

и т. д.

В настоящей главе ограничимся рассмотрением

анизо­

тропных сред лишь в случае трансверсальной

изотро­

тода конечных

элементов

для

расчета перемещений

трансверсально-изотропной

среды

в ы р а ж а е т с я в

форме

(1-36). З а д а ч а

сводится к

тому, чтобы определить

мат­

когда

расчетное

сечение

перпендикулярно плоскости

изотропии. В работе [12] рассмотрен и другой

случай:

расчетное сечение

параллельно

плоскости изотропии.

§ 3.2. Ф И З И Ч Е С К И Е

У Р А В Н Е Н И Я

Д Л Я

Т Р А Н С В Е Р С А Л Ь Н О -

И З О Г Р О П Н О Й С Р Е Д Ы

Аналогично тому, как это делалось в § 2.5,

исполь­

зуем

понятие глобальной

и локальной систем

коорди­

нат.

Глобальными

координатами XYZ

будем

называть

£z=C12ax-\-cn3z-{-cls3y;

}

(3-1)

"iyz —

С-мЪі*'

Yта=

£.|.iT:q/i

Т я г = 2 ( с І 1 - c 1 2 ) т „ .

Введем следующие обозначения (рис. 86,

в,

г ) :

Е[ — модуль

деформации

в

плоскости изотропии;

Ег—модуль

деформации

в направлении,

перпендикуляр­

ном плоскости

изотропии;

ui — коэффициент

поперечной

деформации

в

плоскости

изотропии

при нагрузке,

действующей

в

той

ж е

плоскости;

иг — то же,

при

нагрузке, приложенной

перпендикуляр­

но плоскости

изотропии;

цз — коэффициент

поперечной

деформации

в

направле ­

нии,- перпендикулярном

плоскости

изотропии,

при

нагрузке,

действующей

в плоскости изотропии.

Упругие

постоянные

сц

в

уравнениях

(3-1)

могут

тропного'

тела. В случае одноосного сжатия по

схеме

(рис. 86)

a.v=iffz = 0, тогда

из третьего уравнения

систе­

мы (3-1)

получим

откуда

гу =

СззОу,

(3-2)

< Ч . = т Ь

( 3 " 3 )

Из первого и второго уравнений этой системы

гх

= гу =

Сізау

(3-4)

или, учитывая (3-2)

и

)(3-3),

Ёд: = 8г =

Сіз£'28г/.

(3-5)

По определению

понятия

коэффициента

поперечной

деформации можно

записать

• ? - = - ? - = • - I V

(3-6)

Из

формул (3-5)

и (3-6) получаем

g - -

(3-7)

Если

теперь

рассмотреть одноосное сжатие по схе­

ме

8в или 8г, то

аналогичным

образом

получим:

(3-8)

"12

С

I -

(3-9)

'-1

с,з = — g - -

(3-Ю)

И з

соотношений

(3-7) н (3-10)

следует, что

_

Н-з

(3-11)

£ 2

£ j

Тогда,

записав

получим

М.з = 'Чі2.

(3-12)

Д л я определения коэффициента ал

используем прием,

введенный Барденом . Р а с с м а т р и в а я

плоскость ху, под­

"ET.

Зу>

e z = - £ ^ - far — №xY

ІЦ>.2

,

I

\ _ |

"

Зу,

-р—

(Зя

- f - 3-J -Г--ТГ-

I (3-14)

І і / г —

Е

Lyz>

Т ч / -

+

» +

2/?,w2

.. _

2 ( 1 + M

T w —

£ i

T *

В ы р а ж е н и я

(3-14)

и

являются

физическими

уравне­

ниями дл я трансверсально-изотропной

среды в

локаль ­

ных

координатах для

случая

пространственной

задачи,

записанными

относительно

компонентов перемещений.

Д л я

схемы плоской деформации,

когда

расчетное сече­

пии,

следует

в уравнениях

(3-14)

положить

е г = 0 .

Тогда

компоненты

напряжений

ах,

аѵ, ххи

выразятся как:

Е,

[ ( 1 _ л ^ ) 8 з с

+ ^(1

+

(1 + ш ) ( 1

—

—2/ІК-5)

(1 +

Ы ( 1

— 9,

M 1

+ ^ і ) е ^ +

(3-15)

2ЛК-5)

9

п

Е,

«У

1 +

н +

2/гіхг

В матричной форме уравнения (3-15) запишутся:

{ст'}=[0/ А]{е'},

(3-16)

где

{а'}, {е'} — векторы

компонентов

напряжений

и де­

формаций;

H принятые в § 2.2, можно

получить, что матрица

жесткости треугольного элемента

будет

{kA] = S[BAy{DA][BA}.

(3-18)

а)

6)

Матрица

|[£>Л] неизвестна, она должна

быть

в ы р а ж е н а

через определенную в локальной системе

координат

матрицу

[D'À].

Д л я

этого воспользуемся принципом

инвариантности

зованию координат. Так как Э (и,

ѵ)

не зависит от

того,

в какой системе координат эта величина

рассчитывается,

запишем:

^ - S ' { 0 " } T ^ ' } = 4

| S

W T

H

(3-19)

W}={B'A]{U'1

(3-20)