Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Скорецкий, Э. С. Автоматизация отопительных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

3.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

'Fxl	"~«„	+	b n	6.3		«12
F xi		6 3 ,		632 + c ll		0
Р*г		a2 ,		0		«22
Fxi	«з î + Ö21			623 +	C21	«32
F„		0		С31		0
Fvi	«41 +		641	643		«12
Fm	'	6 0		60З + C41		0
Fya		«51		0		«52
F yi	«01 +		651	6бЗ +	cs ,	«02
. Л и .		0		C01		0

«13 + 6,2

632 + C12 «23

«33+ 622+ C22

«13 + 642 602 + C42

« 5 3

«вЗ+652 + С52

Сб2

0	I а,., +	6 И			«1!
« и	634		«30 + С11		0
0	«24		0		«25
23	«34 +	6 4	620 +	21	«3 5
е		2		С
С33	0		С34		0
0	«44 +	6.,4	640		«45
е.ІЗ	6 04		боб +	С44	0
0	«54		0		«55
С53	«61 +	ьы	650 +	С54	«03
<-'G3	0		С04		0

и.

«3

«4

« 5

И2

«1С +	6,5	0
635 +	Cl 5	С I 0
«20		0
«30 + 625+ С25		С20
С35			X
«10 +	645	0	X
«10 +	645	0
6о5 +	С45
«06		0
«ОО+655 + С55		Соо
		соо

(2-44)

{ "s )

Аналогичные уравнения можно записать и для остальных точек. Тогда выражение (2-41) примет вид •матричного уравнения (2-44).

Таким образом, матрица жесткости системы, пока занной на рис. 5, полностью определена. Легко видеть,

у M				2	3
					Рис. 6.
что эта матрица по-прежнему является								симметричной.
Элементами		матрицы			жесткости		системы	в	выражении
(2-44) являются комбинации соответствующих										элемен
тов матриц жесткости треугольников.
Рассмотрим			более		общий		пример		составления
матрицы	жесткости			достаточно			сложной	неоднородной
системы. Пусть задана система							из УѴ = 31		треугольных
элементов, вершины				которых		образуют		п = 24		узловых
точки • (рис. 6а) . Предположим,							что среда		существенно
неоднородна,		т.	е.	к а ж д ы й элемент" характеризуется
своими,	отличными от других,					значениями		деформацион

ных показателей. Выделим некоторое объединение эле


ментов,	например,		группирующихся		вокруг		узловой
точки 17, и рассмотрим его отдельно					(рис.	66). Нумера
ция вершин на рис. 66 для упрощения						дальнейшей
записи	принята	от	1 до	7. Тогда, пользуясь теми ж е
правилами, что		и	при	получении	уравнений		(2-42)


и (2-43), можно записать выражения для		связи компо
нентов сил, приложенных в точке 1, и		компонентов
перемещений точек 1, 2,	7 этого .объединения:..

г ' 41

+ ^ И 4 У « + GAù + 1 7 ( 4 < 4 + GA +

+ ^ 7 ( Л У е 7 + < V G 7 ) + 4 ( Л ' У 7 2 + G ' 4 > ) "1 +

+	[-^-	(A„y13ytl	+	Ga ,a-M ) -		-37 {А,УнУ»* +		G.JCI4-«M) ] " i	+
+	[-§7 (АіУ:3Уи		+	Gs Aru A-M ) -		(Л4 і/І 5 (/.1 5	+	G4 JCI B A:4 E )J «4	+
+	[-57	(АУЧУЫ	+	G.I xI .1 x1 6 ) -		- і - (Л5У.о?Ло +		G 5 A : 1 0 A ' 6 0 ) j «,	+
+	[-57 ( Л У , 5 У 6 0		+	06 л-І 5 л-5 в ) -		(/1„у1 7 //0 7	+	Св л-І 7 л'в 7 )]и,	+
+	[-57	ИвУівУвт +		Gtxltx„)	-	-57 И 7 У . = У 7 2	+	G , * i a - K „ ) ] « т —

— [-37 ß 2 A ; 2 3 y 2 J	+ - 5 - ß 3 x 3 4 y 3 4 + -ç- B4xity„		+	ß6 A-B e y5 e - f
+ ^ 7 ß e ^ e , y e 7 + ^ 7 в , А - 7 2 у 7 2 У ^ + ^ ( C 2 x 1 3 y 2 3					+
+	-	^ ( C 7 ^ 7 y 7 2 + G 7 A : 7 2 £ / 1 7 ) j Щ -
— [-57 (Ctxlsy„	+ G	2 Ata 3 i/1 2 ) - -g- (Ctxlty„	+	G.x^yJJ	w, —

— [ - 5 7 ( ^	, ^ 4 + 6 , ^ , , ) - ^ - ( C 4 J C 1 6 £ / 4 5 + G 4 x 4 5 i / l 5 ) j o4 —
~~ [ " S T ( c « * i « # « + ° Л і У м ) - -57 (C5 A:i e y5 e + G . - а д . ) ] 0, -

— [-^(Ctx,tyu.+Gtxttyls)		—	^ - ( C e x 1 7 y e ,	+ G e x e 7 «/ 1 7 )jy e —
— \| g- (Caxl6y&14-	Gextlylu)	-	-g- (C,x1 2 y7 a	4 - G,x1tylt)	J y 7 J .
					(2-45)

+ ^ 7 ß 5 A - 5 0 y 5 0 + ^ ß 0 A " o , i / o 7 +

^ 7 Bi^JJi^

«,

4 - G 2 * i s y . , ,) — ^ - ( C , A - 7 2 y 1 7 - f - G 7 x 1 7 ; / 7 2 ) j

u2 —

Г_1_7 (С2 л-2 3 у1 2 + 02 л'1 2 г/2 3 ) -

(Ctxuyti

+ G3xuy3i)

J ы, -

S o

(С3 л-3 ,у1 3

+ G3xiay^)

-j-

(CAxuylt

Gtxtiytt)]

—

[-^7 ( С л , ! І н

G,A"M(/,5) -

- j - (С5 л-5 0 у1 0

G,xieyJ

— [ 3 7 {СьхыуІЪ

- GsxnyJ

- -g- (С0 л-0 ,у1 7 + G0 A;1 7 y0 7 ) J u, -

—

[ 3 7 (C,xt1yit

Gaxiayei)

(С7 д;7 ,і/1 2

G 7 JC1 2 j/,,)J u ,

+ ^

( 4 . 4 + G < 4 ) + ( 4 4 + О Ъ У І )

^ 7 (

4 +

G,y267)

( Л , * ^ +

G,y272 ) ] о ,

— ^

( 4 * , з - К 2 3 + G2 y1 3 j/2 3 ) - J - ( Л , х 1 7 х 7 2 + G 7 y] 7 y7 2 )] у2

[^(A,x,,x,s

G,yl,yi3)

-^- (A3xux3i.+

G3y14y^

Ü 3

4 .

+ [-57 (Atxltxu

- f G , y „ y M ) -

И 4 х 1 5 х 4 5

+ G4 t y1 5 y4 S ) j u 4

[-57

( Д Л Л 5

+ G4 y1 4 y4 s )

(Л,*,,*,, +

G5y1ByJ

- f

[-§7 (Л.-*іБ-*5в +

G 5 t / I 5 i / 5 e ) -

(Аах„х„

G ^ „ y „ - ) ] o ,

4 -

(i4 e jc i e jc„ 4 -

Gjylty„)

(Л,л;1 2 л:7 2

4 - - G 7 ^ ^ „ ) J

(2-46)

В уравнениях (2-45) . и (2-46) приняты следующие обозначения:

S,n — площади треугольных элементов объединения;


Л m,	Вт,		показатели деформируемости						среды
			в пределах			треугольных	элементов
			объединения,			определяемые		в	соот
			ветствии		с	формулами	(2-34)		или
			(2-35);
			m — номер треугольного элемента						объе
			динения		(рис. 66);
х-- =	х-—к-\		Р а з н о с т ь	координат вершин			треугольных
' 1 3	1	\	элементов объединения. Индексы i,					j по-
Уц — Уг		Уз J	казывают	номера		вершин.

Т а к ж е как п в предыдущем примере коэффициенты при компонентах перемещении в уравнениях (2-45) и (2-46) являются членами соответствующих двух строк матрицы жесткости системы, представленной на рис. 6а. Определим номера этих членов в матрице жест кости системы.


	При формировании основного				матричного уравнения
по	типу		выражений	(2-37) — (2-39)	компоненты				сил Fxi-
II Fyn		в матрице сил будут иметь			номера,			соответствен
но,	17 и		/ г + 1 7 = 41.	Т. е. коэффициенты			в	уравнениях
(2-45)		и	(2-46) будут относиться		к	17	и	41	строкам
матрицы			жесткости	системы. Д а л е е ,		компоненты				пере
мещений			объединения «і, » 2 , • • •, ui,			v u	vz,	. . . , v1		в си
стеме		будут иметь		номера, определяемые				схемой		нуме

рации этой системы. Д л я компонентов и они будут соот ветствовать номерам этих точек в системе, для компо

нентов V—номерам			точек плюс я. С учетом		сказанного
уравнения		(2-45)	и (2-46) можно переписать в виде:
	^*І7 =	К\|7.17»І7 H " К\|7.20"а0 + K,7.Sl"si + ^ 17.1."ів " f
	і		^ 17.1о'*10 + ^,7..1.У.7 +		^,7...Ло		+

+	^І 7.45У 2 .+/ ^7..1=УІ 8 +^.7.37У .3 + /<17.30У1=+^.7.40У.0;					С 2 " 4 7 )
	F\Jn—К il,nU\l		~\~ Кц.20и20	~T~ ^41.21U21 ~T~^4I.18U18 ~f~
+	,із"із +		, 1 2 « i a + Ktl	,1 в Ы1 в + Кіг Л 1 У,, - f Ktl ,.HV20			+
- H ^41 . « A . + KU .42^.8 + #4, ,37ü>3 +-^41 .Зви .2+^4І .40U,0-						(2'48)

В уравнениях (2-47) и (2-48) коэффициенты /С,-.,- являются членами матрицы жесткости системы, пред ставленной на ри с 6а, Индекс і показывает номер стрсь


ки, а	индекс	j — номер		столбца		этой	матрицы.		Значения
коэффициентов			Л',;, выраженные				через	определенные
члены	матриц		жесткости		треугольников			объединения,
могут	быть	установлены			из	сопоставления			уравнения
(2-45) —(2-47)			и (2-46)	—(2-48).
Из уравнений (2-45) и (2-46) легко получить выра
жения для любых других объединений								треугольных
элементов системы, например, для точек								11, 16 и т. п.
(рис. 6а) . Д л я			этого	достаточно			положить		равными

нулю компененты перемещений отсутствующих в объе

динении точек.	Таким	образом, может быть	определена
и составлена	матрица	жесткости системы,	т. е. при

известных значениях деформационных показателей для каждого элемента среды и известных значениях коор динат узловых точек системы, представляющей эту сре ду, могут быть определены численные значения членов матрицы жесткости системы.

Изложенные правила составления обобщенной мат рицы жесткости системы и анализ ее конечного выраже ния позволяют установить некоторые важные для прак

тических

расчетов

свойства.

1. Матрица

жесткости системы

является

случае

плоской

задачи

симметричной

-матрицей

порядка

2п,

где

п — количество

узловых

точек

схемы

разбивки

на

треугольные

элементы.

2. При большом значении числа п матрица

жестко

сти

системы

достаточно пустая,

т. е. многие члены

этой

матрицы

равны

нулю.

3. Количество

элементов

любой

строке

матрицы

жесткости системы

не

равных

нулю,

определяется

чис

лом вершин треугольников, прилегающих к

узловой

точке, для которой записывается эта строка.

4. Сложность конечного выражения матрицы жестко

сти системы при одной и той

ж е

схеме разбивки

на

треугольные элементы не зависит от характера

неодно

родности

деформационных

свойств

исследуемой обла

сти. Различие в конечном выражении матрицы

жестко

сти

системы

для

однородной

и неоднородной

среды

проявится только в численном значении

обобщенной

матрицы

жесткости.

Как

указывалось

в начале

настоящего

п а р а г р а ф а ,

при практических расчетах формирование матрицы

жесткости системы реализуется	на Э Ц В М .	Некоторые
рекомендации по этому поводу	будут даны	в главе IV .

§ 2.4. РАСЧЕТ П Е Р Е М Е Щ Е Н И Й . Н А П Р Я Ж Е Н И Й

ИД Е Ф О Р М А Ц И Й

После того, как обобщенная матрица жесткости опре делена, т. е. стали известны численные значения ее эле

ментов,	расчет	компонентов перемещении узловых то
чек сводится к		решению системы линейных уравнений
с постоянными		коэффициентами. Максимальное коли
чество	уравнений в системе равно удвоенному числу

точек, образованных вершинами треугольников в сетке разбивки и соответствует количеству неизвестных. Учет граничных условий для конкретных задач может при вести к уменьшению числа неизвестных и соответствую щему уменьшению количества уравнений в системе.

Подробнее этот вопрос	будет рассмотрен в гл. IV.
К а к указывалось в	§ 2.2, • компоненты напряжении

и деформаций в каждом треугольном элементе системы

определяются при	известных значениях	компонентов
перемещений вершин элементов, т. е. узловых			точек
системы. Используя уравнения (2-21) п		(2-23),	можно
получить общее выражение для расчета		компонентов
напряжении в любом	элементе:
	{a} = [D]{B]{U}.		(2-49)

Подставляя в (2-49) значения соответствующих мат риц (2-24) или (2-26), определяем конечные выражения для компонентов напряжений:

а* =	W ^ ( Y ' H " « + lJbiUi	+	У'і"п) +	С (xnjOi +	xihVj	+	XjiVu)];
3 У =	[С (tjjktti -\- уhinj	+	ijijih) +	A {XkjUi	-f- xikVj	+	x}ivh)];

Значения коэффициентов А, С, G здесь по-прежнему определяются формулами (2-34) или (2-35).

Если индексы вершин треугольного элемента ijk, для которого определяются компоненты напряжений, приня ты против часовой стрелки, аналогично схеме на рис. 4, формулы (2-50) приводят к следующему правилу зна ков: напряжения сжатия обозначаются знаком плюс, растяжения — минус.

Компоненты деформации были определены в § 2.2 выражением (2-16). П р и д а в а я ему вид аналогичный (2-50), получим:

[ (2-51)

И в этом случае справедливо то ж е правило знаков.

К а к указывалось выше, поле напряжений и дефор маций претерпевает разрывы на границах между элемен

тами. Это видно, в	частности, и	из структуры в ы р а ж е
ний (2-50) и (2-51), где компоненты напряжений			и де
формаций элемента	зависят от координат его вершин и
их перемещений и не зависят от координат точек,			лежа
щих внутри элемента. Следовательно, рассуждая			фор
мально, полученные	напряжения	и деформации	могут

быть отнесены к любой точке элемента, включая его вершины. Ясно, что по мере уменьшения размеров тре угольных элементов, решение в напряжениях и дефор мациях стремится к точному.

З и а я компоненты напряжений и деформаций в пре

делах	каждого		треугольного элемента, можно опреде
лить	следующие		характеристики напряженно - деформи
рованного состояния:
главные		напряжения и направления		главных пло
щадок
				(2-52)
максимальные касательные н а п р я ж е н и я
				(2-53)
главные		деформации, совпадающие по		направлению
с главными		напряжениями
	«,,2 = f f		n r i L - т - V («* - *ѵ )2+4Y:	(2-54)
				хУ


§	2.5.	Б О Л Е Е С Л О Ж Н Ы Е		СЛУЧАИ	З А Д А Н И Я Э Л Е М Е Н Т О В
	Д л я	плоской задачи		выбор	треугольных		элементов
и	задание		перемещении	точек	как	линейных	функций
координат			приводит к решению,		где	поле перемещений

является непрерывным, а напряжения и деформации, оставаясь постоянными в пределах элементов, претерпе

вают разрывы		на границах	между ними. При практи
ческих	расчетах	достаточно	сложных задач, как пока
зано в	главе V,	это позволяет получать вполне удовле-

Рис. 7.

творительные для инженерных целей результаты. Однако, естественно стремление повысить точность решения плоской задачи и перейти к расчету пространственных задач . Это достигается выбором более сложных форм элементов и заданием соответствующих функций пере мещений.

Рассмотрим некоторые более сложные случаи, д л я которых форма элементов показана на рис. 7. Ограни чимся лишь определением матрицы жесткости элемен та, т а к ' как матрица жесткости системы может быть составлена в соответствии с общими правилами, изло женными в § 2.3.

Отметим одну в а ж н у ю особенность. Компоненты перемещений точек треугольного элемента полностью определялись шестью компонентами перемещений его

вершин (узловых точек), т. е. треугольный элемент в плоской задаче имеет шесть степеней свободы. Это

соответствовало выбору		шести	неизвестных	коэффи
циентов в функции	для	перемещений точек		элемента
в уравнениях (2-3).	Распространяя		это правило	на дру

гие типы элементов, будем 'считать, что количество их степеней свободы равно количеству компонентов пере мещений узловых точек и д о л ж н о быть равно количест ву неизвестных коэффициентов в функциях для пере

мещений.	При	этих	условиях, как	показано, например,
в работах	[15,	35]	неразрывность	перемещений будет
удовлетворена.

Плоская задача, прямоугольный элемент. Д л я эле мента, представленного на рис. 7а, запишем функцию для компонентов перемещений любой точки в виде

и =	а, ——( а„х + а3 у -f- а+ху;						(2-55)
V =	а6 5 -\|- алх 4- а, у 4-				asxy,		(2-55)
V =	а6 5 -\|- алх 4- а, у 4-				asxy,
или в матричной	форме
							(2-56)
	[Q]	=	Q,	о л			(2-57)
			О	Q,			(2-57)
			О	Q,
Здесь, по-прежнему,
		I	ХІ	УІ	xtyt
		I	Xi	IJi	ХІУІ		(2-58)
							(2-58)
		1	xh	yh	ХкУъ
		1	Xi	yt	ХіУі	J
Сохраняя ход решения,			принятый			в § 2.2,	запишем
где	{ a } . = [ Q ] - 4 ^ }						(2 - 5 9 )
где
	[Q]~l	=	QF1	0			(2-60)
	[Q]~l	=	О	Q r 1			(2-60)
			О	Q r 1
М а т р и ца [Qi]~' может			быть		определена		инверсией
матрицы [Qi], выраженной			через известные координаты

вершин прямоугольного элемента. Отсюда могут быть

определены	значения неизвестных коэффициентов a
4—120	49

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ