Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Скорецкий, Э. С. Автоматизация отопительных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

3.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Полученное решение удовлетворяет, т а к ж е и гранич ным условиям. Если в выражения (2-15) подставить координаты вершины элемента, например точки і, то по

лучим:	а, =	1, flj = fl/,. = 0.		Отсюда уравнения	(2-14) пре
образуются		в тождества.
Можно		показать,	что	определенное таким		образом
поле	перемещений		является непрерывным		не	только

в пределах элемента, но и па границах между элемен

тами. Д л я этого	достаточно задаться координатами точ
ки, л е ж а щ е й па	границе между двумя элементами и,

используя уравнения (2-14), выразить компоненты пере мещении этой точки через компоненты перемещении вершин каждого элемента. Анализ показывает, что по лученные результаты будут тождественно равны.

Принятое выше смягченное условие неразрывности, предполагающее неразрывность лишь поля перемеще ний, приводит к тому, что решение для деформаций и напряжений становится приближенным. Если в соот ветствии с геометрическими уравнениями (1-3) продиф ференцировать выражения для перемещений (2-14), подставив в них (2-15), получим

£ x

= z

2 Т

—

У*>14 +

(У" ~~У г ')иі

(У* ~ Уд

Е У

4 "

хі)

~°і + (Хі

- Xh)

Vi +

(Xj

Xi)

vk],

l (2-16)

Ï 4 / =

25"

K*ft

— хі)

ЧІ +

(ХІ

— Хь) " j H " (Xj

—

Xi)

(Уі -

Ук) Vi +

{Ук -

Уг) Vj

- f

(iji -

IJj)

Oft].

Полученные

для

компонентов

деформаций

выраже

ния не зависят от координат точек элемента, т. е. явля


ются постоянными в пределах каждого элемента.								Д л я
другого, расположенного				рядом,	элемента		компоненты
деформаций		будут	т а к ж е	постоянными,		но	отличными
по	величине	Если	теперь	подставить уравнения				(2-16)
в	физические	уравнения (1-4), то			окажется,		что и ком
поненты напряжений в пределах элемента							являются
постоянными		величинами,		не зависящими		от	координат.

Таким образом, принятое смягченное условие нераз рывности приводит к тому, что поле перемещений в те-

ле). разделенном на	элементы, является непрерывным,
а поля деформаций	и напряжений, оставаясь постоян

ными в пределах элементов, претерпевают разрывы на границах между ними.

Перейдем теперь непосредственно к отысканию вида матрицы жесткости элемента. В соответствии с (1-17) удельную потенциальную энергию деформации тре угольного элемента можно выразить- в следующем виде

(2-17)

Так как в пределах элемента напряжения и дефор мации постоянны, потенциальная энергия деформации выразится

3 ( u , o ) = 4 - S { a } T { 8 } I

(2-18)

где S — по-прежнему площадь треугольника,

{а}т =

{а^аухХу},

(2-19)

(2-20)

Компоненты деформаций в выражении (2-20) опре деляются уравнениями (2-16). Приняв в них следующие обозначения:

Уи =	Уі—Уі,		Xij =			Xi		УІ	•—У	а
У jli — Уі Уht			xjh	— Xj				Xij—	Xji
Укі =	Ук—Уи		Xui =		Xk—Xi,			И Т .	д.,
запишем уравнения		(2-16)			в матричной форме
			Ы=[В]{Щ							(2-21)
где
[В}	= 2S	Г Уіи		Уіч		Уи		О О	О
[В}	= 2S	О		О		О	х„з	хІК	хн	(2-22)
		xhj		x i h		xji	yih	yhi	Ун

• 31

При линейной зависимости между напряжениями k деформациями для материала рассматриваемой среді! і, обобщенный закон Гука (1-4) можно записать в виде следующего матричного уравнения

		- М = № } ,						(2-23)
где для случая		плоской	деформации
		-X + 2G			X	О
		[D] =	X	X +	2G	О		(2-24)
		.	О	О		G J
в свою	очередь А, и G — коэффициенты						Л я м е , равные
	2	Ер		р		Е		(2-25)
		(І + ^ С - З Р - ) '				2 (l+fx ) '		(2-25)
		(І + ^ С - З Р - ) '				2 (l+fx ) '
Д л я	случая	плоского	напряженного				состояния
					(J.	О
					1	О		(2-26)
				о	о	— р		(2-26)
						— р

Тогда, учитывая выражение (2-23), потенциальную энергию деформации треугольного элемента можно за писать в виде

•Э(и.	v) =		-LS{e}?[D]{s},		(2-27)
где {е}т транспонированная			матрица {е}.
В ы р а ж а я {е} через		[B]{U}	и {е}т	через {U}T[B]T,	окон
чательно получим уравнение (2-27) в виде
Э{и, ѵ) =	^-8{Щ-[Ву			[D][B]]{U}.	(2-28)
С другой стороны,		т а к ж е как и		в § 1.3, потенциаль
ную энергию деформации можно выразить через					матри
цу жесткости:
Э{и,ѵ)		= -і-{и}*Щ		{£/}.	(2-29)
Из уравнений (2-28) и (2-29) получаем вид матрицы
жесткости треугольного элемента
	№	=	S{B]-[D][B\.		(2-30)

развернутом

виде

уравнение (2-30) для случая пло

ской деформации можно записать в виде

Уік

Хп1

Ум

Xih

+ 2G

Уи

Хц

[k] = S

X + 2G

Xhj

Уіь

xih

Ум

G '

ХН

Уіі

Уік

Ум

У ti

(2-31)

^ 2 5

хм

хік

%н

Чз

*ih

х-Н

Уік

Ум

Уи

Д л я случая

плоского

напряженного

состояния

~~Уік

Ум

Xih

H-

УН

хн

. ' Е

Xhj

Vih

1 - 1 *

Xih

Ум

Xjt

У a

УІК

Ум

УІІ

(2-32)

X 2S

xhi

xih

Xhj

Хік

l/jh

Уш

l/ij

Р а с с м а т р и в а я

выражения

(2-31)

(2-32), легко за

метить, что

матрицы

жесткости

треугольного

элемента

для

случаев

плоской

деформации

и плоского

напряжен

ного состояния будут иметь один

тот ж е вид,

отли

чаясь лишь коэффициентами при членах,

содержащих

разность координат вершин. После перемножения

мат

риц

в уравнениях

(2-31)

и (2-32) получим в окончатель

ном

виде

матрицу

жесткости

треугольного

элемента

для

случая

плоской

задачи,

определенную

в ы р а ж е

нием (2-33).

3—120

~АУ% + Gx% —АУіііУік—

АУаУік

— BXjklJ}K

СХікУік

—СХхіУік—

— Gxihxjh

+ Gxtixjh

Gxihyih

— Gx]hyt]

— -АаікУік—

АУш+0хш

—ЛуцУи

—

Сх-ікУік +

—

ВХікУік

СХцУгк +

GxikXjk

—

GxtjXih

+ Gxihyih

Gxihytj

—АУііУіь—

Aub+Gxn

—СХІЬУІІ—

СХікУіі +

—

ВхцУа

—

GxLJxih

— GXijyjb

Gxtiyih

(2-33)

СхіьУік

—Cx]ktjtj—

Ax%+Gy%

Axikxik—

AXijXih 4-

Gxlhijjh

— Gxtjyjh

— Gythyjh

Gy^yih

Cxihyih + —

Bxihylh

СХікУіі

—Axikxik—

Axfk+Gyfk

—-AXijjCih -

+Cxjhyih

Gxtiyik

— вУіьУік

—

вуаУік

—СХЦУІЪ,—

СХІІУІК

4 •

—

BXijtjij

AXijXjb +

—Ax-ijX-ih— АА&°у'ц

—

Gxjhijij

Gxihy^

+ GyaytK

—

Gijijijih

уравнении

(2-33)

принято:

— площадь треугольного элемента,

А, В, С, G — коэффициенты, определяемые показателями деформируе мости материала среды в треугольном элементе, которые могут быть рассчитаны по следующим формулам:

Для случая плоской деформации:

Л = Я + 2 С = (1 - 2 ( J . ) '

2 ( I + | x ) ( l - 2 p . ) '

(2-34)

С = Х = ( 1 + к . ) ( 1 _ 2 к . ) '

G =

2 ( 1 + r i '

для случая плоского напряженного состояния:

			(2-35)
	2(1 + ц )
Анализ выражения (2-33) показывает, что матрица
жесткости треугольного	элемента	является	симметрич
ной, т. е. И = Й Т . Д л я дальнейших		операций	эту матри
цу оказывается удобно	представлять в упрощенном виде

и записывать основное уравнение для треугольного элемента как

"	An A i .		Ai о	( u(
Ut	k22	Ihr,	k»	Uj
fxh.		A33 A3.\| A3r,		(2-36)
ht		* «	*«	(2-36)
ht		* «	*«
hi			A.6
. 4			AGG
. 4

§2.3. С О С Т А В Л Е Н И Е О Б О Б Щ Е Н Н О Й М А Т Р И Ц Ы

ЖЕ С Т К О С Т И СИСТЕМЫ

Обобщенная матрица жесткости всей системы опре деляется в результате последовательного объединения матриц жесткости отдельных элементов. Этот этап рас чета методом конечных элементов является весьма от-

ветственным и достаточно громоздким. Поэтому при

практических	расчетах формирование матрицы жестко
сти системы реализуется		на Э Ц В М .
Рассмотрим	вначале	общие правила составления

матрицы жесткости системы. Предположим, что з а д а н а система из N треугольных элементов, вершины которых образуют п узловых точек. Тогда, основное уравнение метода конечных элементов определится выражениями;

Матрица обобщенных {/г } =	(2-37)
сил	Fy2
	Fy2

•fa, I

Матрица обобщенных {Щ —	(2-38)
премещений

		Л'і,2п
Матрица	же	(2-39)
сткости	си-	(2-39)
сткости	си-
с те мы
	Л'2 „	Л ' 2

Очевидно, что матрица жесткости системы является квадратной матрицей порядка 2 « х 2 я . Будем считать, что матрицы жесткости треугольных элементов, состав-

ляющнх -систему, в соответствии с формулой (2-33) определены.

Пусть в некоторой узловой точке і рассматриваемой системы объединяются q треугольных элементов. Обо значим компоненты внешних сил, действующих в этой


точке, через		Fxi	и Fyi.	Усилия	Fxi и Fyi		распределяются
некоторым образом па вершины всех						q	элементов		так,
что в точке і		на	каждый треугольник			действуют, вообще
говоря,	неизвестные			заранее	составляющие			э т и х ' с и л :
fxi, fxi,		fxi", fyi,		fyi,	fyi".	Верхние		индексы
при / указывают к какому элементу						объединения			отно
сится та	или	иная компонента			силы.	Характер		разделе

ния сил FXi и FVi на составляющие должен быть таким, чтобы напряженно - деформированное состояние в к а ж дом элементе соответствовало возникающему в нем при совместной работе всех элементов, объединенных в точ ке і. Тогда компоненты перемещений вершин треуголь

ников, объединяющихся			в точке і, под действием				состав
ляющих сил		должны быть		одинаковы и		равны	щ и	ѴІ.
Кроме	того	необходимо	выполнение		условия равновесия
в этой	точке:
							(2-40)
Д л я	каждого элемента			могут	быть	записаны		два

уравнения, связывающие составляющие сил в точке і, действующие на этот треугольник, и компоненты пере мещений всех трех его вершин. Коэффициентами в этих

уравнениях будут являться		определенные	члены	матри
цы	жесткости треугольных элементов. Тогда,			записав
2q	таких уравнений для	всех элементов,	объединяю

щихся в точке I , и суммировав в соответствии с (2-40) левые их части, получаем справа два многочлена, со стоящие из суммы произведений комбинаций элементов матриц жесткости треугольников и компонентовпере мещений точки і равно как и остальных вершин приле гающих к ней треугольников.

Таким образом будут определены элементы двух строк матрицы жесткости системы, связывающие ком поненты сил FXi, FVi € компонентами перемещений в точ ке і и остальных вершин треугольных элементов, объе диняемых точкой і. Проводя подобный расчет пооче редно дл я всех узлов системы от і—Ѵ до і — п, можно вычислить все члены матрицы жесткости системы.

/'«

f'*3

V «\ Гѵі

f'«

1 ѵл

1 XI

!" 1!" xi

1F"X2

1 V2

!"'

1 xi

!"'

1 xi

Ifin xs

!"'

1I V2 Vi

fill

Яц Ol2 «13 й14 А1Ь a l8

я 2 2 я 2 3	a2i агъ	a i t
агз	a s i a i b	a i t

Cl2 C13 C14 C15 C16

c2 2 c2 3	c2 4 C25 C20
C33	С35 C30

C48

c5 6

C53

«4

»1

»3

»4

«1

u2 I (2-41)

«1

»2

И,

»4

«S

И з л о ж е н н ый порядок сохраняется и для составления
матрицы жесткости	системы	для случая пространствен
ной задачи.
Поясним это на примере одной из простейших си
стем, состоящей	из трех	треугольных	элементов

(рис. 5). Представив соотношение между	компонентами
сил и компонентами перемещений для каждого		элемен
та в форме уравнения (2-36), уравнение всей		системы
можно записать в виде выражения (2-41).

уM

Рис. 5.

Элементы матриц [А], [В], [С] квазидиагональной матрицы жесткости системы в выражении (2-41) опре

деляются	по правилам уравнения (2-33).
Анализ выражения		(2-41) показывает, что		в	матри
цах сил	и перемещений	имеет место	повторение		компо
нентов,	относящихся	к точкам,	которые	являются

общими вершинами нескольких треугольников. Тогда выражение (2-41) легко упростить, объединяя повто ряющиеся компоненты перемещений. Учитывая (2-40),

например, для точек 1 и 4			системы,	представленной		на
рис. 5, получим
Fxi	= (aii + öii)wi + öi3«2 + a i 2 « 3 + ( a i 3 + M « 4 +
+	{аІІ	+ Ьіі)ѵі+ЪівѴ2	+ а15Ѵз'+	(аів + Ы ^ ;	(2-42)
	Fxi=	(a3 i + Ö2i) « 1 +	(62 з + с 2 і ) « 2 + аз2«з +
+ (азЗ +	Ь2 2 +	С 2 2)«4 + С23«5+ (a34 + Ö 2 3 ) U l + ( Ö 2 6 +			C24)f2	+
	+	а35ѵ3+{азв+Ьгь+ио^Ѵі		+ с^ѵ^.	(2-43)

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ