Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Скорецкий, Э. С. Автоматизация отопительных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

3.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

где [К] — квадратная матрица						порядка		З/і	равная:
	0	.	. . 0	s,	0	.	. • 0	g,	0 . . . 0 -
0	а2		. . 0	0	52	• . . 0		0	h • . . 0
0	0	.	• •	0	0	.	• • °\,	0	0	. • • É„
s,	0	. . . 0		p.	0	.	. . 0	E l	0	. . . 0
0	s2	.	. . 0	0	h	•	. . 0	0	e, . . . 0
0	0	. • - s n		0	0	. • • h		0	0	. • • e n
6.	0	,	. . 0	E l	0	.	. . 0	Yi	0	. . . 0
0	h	•	. . 0	0			. . 0	0	Ya • . . 0
_ 0	0	. • • S»		0	0	.	• • E n	0	0	. • • Yn _
										(1-29)

Действительно, если в соответствии с (1-28) произве сти перемножение матриц (1-27), (1-29) и (1-26), то получится выражение (1-24).

Уравнение потенциала сил (1-25) в матричной форме запишется в виде

3(Q, P)={U}i{F}, (1-30) где {F} • матрица-столбец:

(1-31)

F;Ѵп

F»

о б о з н а ч а ю щ ая вектор компонентов внешних сил, прило женных в вершинах элементов.

Тогда уравнение потенциальной энергии системы для рассматриваемого случая в матричной форме будет иметь вид

Д л я определения действительных		перемещений		вер
шин	элементов, составляющих исследуемое		тело,	най
дем	минимум потенциальной энергии	системы,	т. е.	про

дифференцируем уравнение (1-32) по неизвестным ии Vi, Wi и приравняем полученные выражения нулю. Такое дифференцирование удобно выполнить по частям д л я

уравнений

(1-24) и (1-25):

дЭ

(и,

dut

;=1

дЭ

(и,

(1-33)

дѵі

i=i

дЭ

(и,

І=І

дЭ

(Q,

Р)

і=1

дЭ(<2,

Р)

(1-34)

дѵ

і=1

дЭ

(Q,

P)_

1=1

Так

как

дЭ

|_ дЭ

дЭ

(a,

V, w)

! дЭ {и, ѵ, w)

dut

дЭ (и, V,

ГдЭ®,

P)_i

d3(Q,

,d3(Q,P)l_n

nr,

dwt

1 " -

ô ^ ] - 0

' ^ 5

)

то

из

выражений

(1-33)

(1-34),

используя

матрицы

(1-26),

(1-29) и

(1-31), можно

получить

{F }=[/<]

(1-36)

Это и есть основное матричное уравнение метода конеч

ных элементов.

Таким образом, определение компонентов перемеще ний вершин элементов, слагающих оплошное, однород ное, изотропное, упругое тело, в общем случае простран

ственной задачи сводится к составлению и решению

матричного уравнения (1-36). Матрица {F} есть вектор, состоящий из 3/г членов, являющихся компонентами объемных и поверхностных сил, приложенных к верши нам элементов. Она называется матрицей (вектором) обобщенных сил. А'\атрица {U} т а к ж е есть вектор, со стоящий из 3/г компонентов перемещений вершин эле ментов. Она называется матрицей (вектором) обобщен ных перемещений. Матрица [Л] есть квадратная матри-

					Um
				Рис.	2.
ца	порядка		3/г, с в я з ы в а ю щ а я			обобщенные		силы и
обобщенные			перемещения. Она			называется обобщенной
матрицей жесткости				системы.
	Матричное уравнение (1-36)					может быть		представ
лено в виде системы линейных						алгебраических уравне
ний	(см. Приложение 1). Д л я случая						пространственной
задачи		эта	система	будет	иметь 3/г		уравнений. Если
принять		в качестве		неизвестных		компоненты		перемеще

ний вершин элементов, то коэффициенты при них опре делятся членами матрицы жесткости системы. Следова

тельно, при практических	расчетах члены матрицы
жесткости системы д о л ж н ы однозначно		выражаться
через известные постоянные	величины. .
Р а с с м а т р и в а я аналогичным образом		решение пло

ской или осесимметричиой задачи, можно показать, что

запись основного	уравнения метода конечных элемен
тов в форме (1-36) является общей. Различие		будет
заключаться в порядке матриц и расшифровке		вида
матрицы жесткости	системы.

Поясним физический смысл уравнения (1-36) при

помощи следующей аналогии. Пусть имеется пружина,

22.

растягиваемая осевой силой Р (рис. 2). Под действием этой силы произойдет перемещение любой точки пру жины, равное и. Величину этого перемещения можно определить из уравнения [7]

где D — диаметр пружины, п — число витков от точки закрепления до точки, для которой определяется пере мещение, G — модуль сдвига материала пружины, d— диаметр сечения прутка пружины. Величина

называется		жесткостью			пружины.	Тогда	уравнение
(1-37) можно переписать				в виде
				Р = Ки.			(1-39)
Т. е. уравнение			(1-39),	аналогично		(1-36),	связывает
силу, действующую на пружину, и						перемещение ее то
чек при	помощи		некоторой		характеристики, называемой
жесткостью		пружины. Причем, жесткость пружины опре
деляется	геометрическими				характеристиками,		включая

координаты рассматриваемой точки,' и деформационны ми характеристиками материала пружины .

Г л а в а I I

РАСЧЕТ Н Е О Д Н О Р О Д Н Ы Х С Р Е Д

§ 2.1. И С Х О Д Н Ы Е П Р Е Д П О С Ы Л К И Д Л Я Р Е Ш Е Н И Я П Л О С К О Й З А Д А Ч И

При практических расчетах во многих случаях ока зывается возможным ограничиваться решением плоской задачи теории упругости, рассматривая объект как ра ботающий в условиях плоской деформации или плоского

напряженного состояния.
Тогда математический	аппарат,	изложенный	в	гла
ве I , существенно упрощается, что		ведет т а к ж е	к	упро
щению расчета методом	конечных	элементов.	Общий

вид основного уравнения (1-36) сохраняется, однако снижается порядок матриц, входящих в это уравнение.


Так	как в каждой				вершине элементов			в случае плоской
задачи приложены					уже не по три, а по две				компоненты
внешних		сил	и	перемещений,			порядок	матриц {F},		[К\,
{U}	будет не		Зл,	а	2/z,	где п — по-прежнему			число	вер
шин	элементов.
Как		указывалось в				§ 1-3,	для решения		матричного

уравнения (1-36) необходимо определить вид матрицы жесткости системы, т. е. выразить ее члены через извест ные постоянные величины. Наиболее простое решение для случая плоской задачи получается при выборе тре угольной формы элементов и задании в качестве основ ных неизвестных компонентов перемещений их вершин. Расчеты, проведенные для широкого класса задач, по

казывают,	что эти условия	приводят к вполне удовле
творительным для инженерных целей результатам			(гла
ва V ) . В	§§ 2.2, 2.3 и 2.4	вывод рабочих формул	при

водится для плоской задачи с простейшей сеткой раз бивки на элементы. Порядок построения расчетных формул дл я более сложных случаев, показанных в § 2.5, в принципе, не изменится.

Р а с см о т р им постановку задачи. Пусть имеется тело, находящееся в равновесии под действием внешних .сил (рис. 3). В общем случае это тело может быть неодно родным, т. е. характеризоваться различными показате лями физических свойств на различных участках. П р е д ставим его в виде совокупности треугольных элементов различной формы так, чтобы в пределах каждого эле

х(и)

Рис. 3.

мента тело было бы однородным и изотропным. Считаем также, что зависимость между напряжениями и дефор мациями в пределах к а ж д о г о элемента линейна, но для различных элементов может быть разной. Внешние силы


приложены в вершинах элементов (узловых						точках	сет
ки	разбивки) .		Н а рис. 3 показаны только			поверхност
ные силы,		объемные		(например,	силы веса)	т а к ж е	при
кладываются в узловых точках.
Определение			вида	матрицы	жесткости	системы	мо
жет	быть	выполнено		различными способами. Достаточ
но	просто	это сделать, определив вид матрицы жестко

сти элемента, а затем, показав общий способ формиро вания матриц жесткости системы при известных матрицах жесткости элементов,

fUi,

fXi,

fyIt;

§ 2.2. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е		М А Т Р И Ц Ы Ж Е С Т К О С Т И
	Т Р Е У Г О Л Ь Н О Г О Э Л Е М Е Н Т А
Выделим	из системы,	представленной	на рис. 3,
какой-либо	треугольный элемент ijk (рис. 4).		Силы, дей

ствующие в вершинах этого элемента выразим компо нентами вызванные ими перемещения

Рис.

обозначим		через ы,-, и,-,		vi,. В соответствии с (1-23)
поле перемещений запишется в виде
		и =	I ] //,„/,„ (х,		у);
		v =	'livmfm(x,		у),
			при 111 = І,		/, II.
где: Um,	vm	— по-прежнему		перемещения			вершин	эле
fm,		мента;
fm,	q>m — функции координат рассматриваемой							точ
		ки, выбираемые			так,	чтобы	удовлетворя
		лись граничные условия и условия сплош
		ности.		fm и фт
Строго		говоря, функции		fm и фт		должны выбираться
так, чтобы		было соблюдено		условие		неразрывности		поля
26			•	'

деформаций, т. е. они должны являться квадратичными функциями от координат. В простейшем случае прини мается некоторое смягчение условия неразрывности и функции fm, ср.,,, выбирают так, чтобы удовлетворялось лишь условие неразрывности перемещений. Тогда, в со ответствии с предпосылками классической теории упру гости в случае малых перемещении, для двух бесконеч но близко расположенных точек, тела M и N с коорди натами до деформации х, у и x + dx, y + dy должно вы полняться условие [1]

где: и,	V — компоненты перемещения точки М;
и*,	и* — компоненты перемещения точки	N .
Это	условие выполняется, если принять,	что	компо

ненты перемещений точек являются линейной функцией

координат. Д л я точки

M будем

иметь

а =

а,

-\-а.2х-\-.а.3у,

(2-3)

Ѵ =

а,І-\-аъх-\-аву.

Действительно,

если

продифференцировать

уравне

ния (2-3), а затем

полученные

выражения

уравне

ния (2-3) подставить в (2-2), получим

и* =

а, +

а, (х

dx)

а3

(у +

dy),

(2-4)

V* =

а, +

а5

{х +

dx)

а0

(у - f

dy).

Т. е. для точки N компоненты

перемещений

определяют

ся той

ж е функцией

координат. Следовательно, и для

любой

другой

точки

элемента

вид

этой

функции

остает

ся постоянным и обеспечивает неразрывность поля пере мещений. Выбор функции перемещений в виде уравне ний (2-3), вследствие непрерывности координат, обес печивает неразрывность поля перемещений и для всего тела, рассматриваемого как совокупность элементов.

Определим вид неизвестных коэффициентов си, ct2, . . . , ct6 в уравнениях (2-3). Поскольку эти уравнения

справедливы для любой точки элемента, они будут спра^ ведливы и для его вершин:

tik — а, + а2	Л"й -{-а,//л,	(2-5;
		(2-5;

У* = а.,Н-а5 А'г + а оі/»'

="-.. + а . Л + а оУі •

Или, в матричной форме
		{£/}=[QKa},							(2-6)
где {U}^ {и} — векторы		перемещений					и коэффициентов
	Г и,- )						Г«,
										(2-7)
	і	;	I			I
	l	Vh.	)			(.«0
[Q] — квазидиагональная			матрица			вида
	[ Q ] = f "Qi(				О					(2-8)
В свою очередь
				1	*t	Ut				(2-9)
					*n	</н..
Применяя к уравнению				(2-6) инверсию				матриц,		мож
но записать
	{ a H I Q l - ' W .								(2-Ю)
По - прежнему
						о				(2-11)
					О QJ"					(2-11)
					О QJ"
Из уравнения (2-9) находим
	ХіУк — Xht/j			XhlJi — XtyK			ХІУІ	— XjlJi		(2-12)
	Уі — У h			Уь — УІ			УІ—		УІ	(2-12)
	Хь. — Xj				Xi — Xh		X) — Xj
S =	Y (хіУь +ХІУІ	+ХЬУІ			— ХІУІ		— Xhilj—		Хіук)
площадь	треугольного	элемента.

Теперь из уравнения (2-10),учитывая (2-11) и (2-12), можно определить значения коэффициентов щ, аг, ... , ае:

+(л-/Уз — Л'зУ/)«,г ],

а = =	2S~ [ІУз -	Ук) "г +		{Ук — Уі) " j "h
	' 2 S
«3 =	25" [(JCft — Xj) Iii +			(лГі — Aft) Mj +
	+ (A;j — Xi) lift],				(2-13)
					(2-13)
	+	{XiLJj	—	Xjlji) üft],
а = =	2~S~ t(i/j — №0 ѵ і		+	(i/ft — v i +

+(Уг — У з К ] ,

а а = 2S" — Щ + ~~ •**) °i +

П о д ст а в им

определенные

значения

коэффициентов

уравнения

(2-3).

После

несложных

преобразований

получим

U =

Оі {х;

у) Iii +

dj (Х, у) Uj +

(Х, у)

lift,

(2-14)

v =

ai(x,

y)vi-\-cij(x,

yj)Vj-{-ak(x,

у)ѵк,

где

<Н (X,

у) ==

-Kfcf/j +

(Уэ — У ^ •* +

(Хк

—

Xj)

у],

•

(А-,

У) =

§5" [ Х й У г ' ~

Х і У

~~ Уд х

—

х'д

уЪ

ак

( А , у) =

[ХІУІ

— xäyi

(уг

—

ijj)

- {xj

• А , ) у].

(2-15)

В ы р а ж е н и я

а г (х ,

y ) ,

о,-(A,

у ) ,

a/t(.v,

у)

и являются

искомыми

функциями Im и ф т дл я

треугольного

элемен

та. Действительно, вид

решения

(2-14)

полностью

соот

ветствует

заданному

уравнениями

(2-1),

выражения

О-І(Х,

у ) , aj(x,

у),

ait(x,

у)

удовлетворяют

условию

не

разрывности перемещений

(2-3).

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ