Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Скорецкий, Э. С. Автоматизация отопительных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

3.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Изолинии напряжении 6Х

Рис, 33,

Полученные данные позволили оценить как местную

прочность, так	и общую устойчивость системы			«соору
ж е н и е — основание»		и детально	исследовать процессы,
протекающие	в зоне	контакта.	Д л я этих целей	анали

зировались соотношения напряжений в точках и по различным сечениям. В качестве обобщающего примера полученных результатов на рис. 31—33 приведены в изо линиях напряжения ау, ах, хху.

Отмечается концентрация вертикальных с ж и м а ю щ и х напряжений аѵ (рис. 31) в области сопряжения низовой грани плотины с зубом и в районе шва со стороны верх него бьефа. Имеется тенденция к увеличению напряже ний Oy в правой части расчетной области основания, что вызвано эксцентриситетом в приложении нагрузки и проявляется в асимметрии картины изобар.

Горизонтальные сжимающие напряжения ох (рис. 32) также концентрируются у низовой грани сооружения. Область отрицательных значений ах, довольно неболь ших по абсолютной величине, имеет значительное раз витие в основании (зона слева от нулевой изобары), причем максимальное растяжение фиксируется вблизи выклинивания шва у верхового зуба. З а счет общего изгиба плотины возникает некоторая концентрация го ризонтальных напряжений на водосливной грани.

Наибольшие значения касательных напряжений хху (рис. 33) зарегистрированы в области низовой грани сооружения, особенно в месте сопряжения ее с зубом. Некоторая концентрация отмечается на упорных гранях зубьев -и на водосливной грани сооружения.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Н Е К О Т О Р Ы Е П О Л О Ж Е Н И Я А Л Г Е Б Р Ы М А Т Р И Ц
Н и ж е приводятся	основные положения алгебры	мат
риц, необходимые и	достаточные для понимания	мате

матических операции, выполнявшихся при выводе ос новных формул метода конечных элементов. Более по дробные сведения могѵт быть получены, например, из [4,8,17,23] .

1. Определения

Система та чисел, расположенных в прямоугольной таблице из m строк и а столбцов

"и "is Ли ••• "и.

	[А]	=	я.,, я,.,	а,3	... я , п	(1)
	[А]	=				(1)
называется	матрицей.		Строки	н	столбцы	таблицы (1)
называются	рядами	матрицы.
Числа a,j	( і ' = 1 ,	2.	m;	j=l,	2,	п), составляю

щие данную матрицу, называются ее членами или эле ментами. Первый индекс / обозначает номер строки эле

мента, второй	/ — номер его			столбца. Иногда для				мат
рицы (1) употребляется следующая форма записи:
[А]={аи]	(' = 1, 2,			'т;	у =	І, 2,	п).
Если у матрицы ( і ) тфн,				то	она	называется прямо
угольной, размером		тХп.	Если		т = п, то		матрица	назы
вается квадратной		порядка	п.
С квадратной матрицей [Л] порядка п связан опре
делитель (детерминант) :
			" И	"12	«13	••• « n i	!
	del Л =		«SI	«22	'72			(2)

102

Не следует отождествлять зтп понятия: матрица [А] представляет собой упорядоченную систему чисел, за писанную в виде прямоугольной таблицы, а ее опреде литель del Л есть число, определяемое по известным правилам.

Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется" неособенной. Если определитель квадратной матрицы равен нулю, она называется осо бенной.

В частном случае, если ш = 1, получается матрицастрока, которая запишется:

{В} =

{Ь1Ьф3...Ьп}.

При п=1 будем иметь матрицу-столбец:

с,

•

Часто эти две матрицы называют векторами

(вектор-

строка и вектор-столбец).

Элементы квадратной матрицы [сіц] при

і = /

(напри

мер, an, Û22,

апп)

называются

членами,

л е ж а щ и м и

на

главной

диагонали .

К в а д р а т н а я

матрица,

которой

все

элементы,

расположенные

вне

главной

диагонали,

равны нулю, называется

диагональной

"я„

г я,

О О О '

[Л]

я 2

(72

(3)

п33

я 3

0.,,

|_0

я.,

В случае, если, все члены

диагональной

матрицы

равны единице

(а* =

1, где

і =

1, 2, . . . ,

і г ) , то

матрица

(3)

называется

единичной

обозначается,

обычно,

бук

вой

Е, т. е.

"10

1 0

(4)

1 0

103 -

М а т р и ц а, все элементы которой равны нулю, называется

нулевой и обозначается через 0.
Квадратная		матрица,	у которой все элементы свя
заны	соотношением a,j = a;;,			называется симметричной,
например
		"5	3	2
					(5)
В	методе	конечных	элементов		часто приходится
иметь	дело с матрицами,		у	которых	подавляющее число

членов равно нулю. Будем называть такие матрицы

пустыми.	Если квадратная	матрица является пустой и
ее члены,	отличные от нуля,	группируются симметрично

относительно главной диагонали, то будем называть ее

матрицей с полосовой

структурой. Матрица

вида

-.4,

Аг

(6)

А,

А ,

где

( і = 1 ,

а)

есть

квадратные

матрицы,

назы

вается

квазидиагональной.

Квадратная матрица называется треугольной, если

элементы, стоящие

выше

(или ниже) главной диагона

ли, равны нулю. Например:

Я ц 'h

аг

(?)

где

ü,j==0 при / > / ,

есть

верхняя

треугольная матрица.

При

(Xij—О

д л я

j>i

получим

нижнюю

треугольную

матрицу.

Действия

с матрицами

Д в е

матрицы

[А]

и [В]

будут

считаться равными, если

они

одного и

того

ж е

порядка, т. е. имеют

одинаковое

число

строк

и столбцов

их

соответствующие

члены

равны:

« 1 1 =

011, 021 =

021,

Ctij =

b i } .

104

Сложение или вычитание возможно только дли мат риц одинакового размера . Суммой (или разностью) матриц [А] и [В] называется матрица [С] тех ж е разме ров, элементы которой равны суммам (или разности) соответствующих элементов данных матриц, например:

[С] =	[А]±[В\:	Пгі ± *2і	"22 + Ьгг	. . . Лап ±	& ! п	(8)
[С] =	[А]±[В\:					(8)
		L « m l ± ö m l	а.пЛ±Ьтг	...	атп±Ьтп_і

Т. е. при сложении (вычитании) матриц выполняется правило:

с^ = а^±Ьц

( і = 1 , 2,

m; / = 1 , 2,

n).

Таким образом можно записать:'

[А]+([В]+[С]) = №+\[В])+[С];

{А]+{В]=1В]+[А1

Произведением матрицы [А] на число а называется матрица [С], члены которой получаются из соответст вующих членов матрицы [А] умножением на число а, например:

	ааи	а а , 2 ...	аа1п
[С]=а[А\+[А]*	=		(9)
	[_аат1	аатг ...	aamnJ

Отсюда непосредственно вытекают следующие свой ства произведения матрицы на число:

a (,ß { / ! ] ) = aß №

(а + Р ) И ] = а { Л ] + р И ] ;

а({А]+{В]) =и[А]+а[В);

[А]-{Щ={А]+

Операция умножения двух прямоугольных матриц выполнима только лишь в том случае, когда число столбцов в первой матрице равно числу строк во второй. В частности, всегда можно перемножить две квадратные матрицы одного и того ж е порядка!

8—120

105

Произведением двух				прямоугольных			матриц [А] и [В]
называется матрица			[С], у которой элемент					Сц, стоящий
на пересечении i'-той строки					и /-того		столбца,		равен
«произведению» /-той строки					первой матрицы на /-тый
столбец второй. Например:
		пп	я, ,
				* і .	13
		« 2 1	« 2 2	X	23	-
	L'bi			L * 2 ,	23	-
	L'bi		« 3 2 .
«11*11 +		«12*21		«11*12 +	«12*22	«1113 + « 1 2 2 3
«21*11 +		«22*21		"21*12 +	«22*22	«21 *1 3 +		«22 *23	(10)
«3111 + « 3 2 2 1				«31*12 +	«32*22	«31 *13 +		«32*23
или:
'I	2				9	12	15
3	4				19	26	33
5	6				29	40	51

При перемножении двух прямоугольных матриц раз мера пгхп и пХр получается прямоугольная матрица размером тхр. Любой член с,-,- произведения двух матриц [А] и [В] может быть рассчитан по формуле

Cij = а,-1öIj + о,-2Ô2j + . . • + a i n b
( i = l , 2,	m; / = 1 , 2,		p).
ИЛИ
Матричное произведение		обладает		следующими
свойствами:
[A)№{C))	=	({A][B])[C];

[A]([B]+iQ=[A][B]+[A][C];

а[А]хИв]=^({А][В].

где a, ß — числа.

Произведение двух матриц не обладает переместительными свойствами, т. е. в общем случае [А][В]Ф

106

-\[В] [А],	например:
			1	2	5	6"
	И 1 =	[ 3		4	[В] = [57
И И в ] = Г 1		9		Щ,	[ В ] [ Л ] = Г 2 3		3 4 1
1	1 ' [43		50 J			31	46J
Может	оказаться,		что		произведение		матриц

будет иметь смысл, а произведение тех же матриц, но

взятых в обратном

порядке

[ Д ] И ] ,

смысла

иметь

не бу

дет. Например:

{А]=и

Г З 2

[В]

Тогда:

И ] [ В ] = Г 1 9 1 3

J L

19 J

а матрицы [ВЦ [Л] не существует.

Рассмотренные

свойства

матриц и действия с ними

позволяют

записать

систему

линейных

уравнений

а1іх1-\-а12х„_-\-а13х3-\-

... -\-ainxn

ß 2 1 x , -\-а22хг-\-а23х3

-(-... -\-а2Пхп

о.

(11)

&тіХ1^&тіХі~\-0>т3Хі

-{-

...

-\~

&тпХп—Ьт)

в виде произведения

матриц

{А]{Х}

= {В}

(12)

где:

X.'

« 1 3

• •

«m

[А] =

& 2 1 ^ 2 2 а2 3

. ..

a2n

"•mi •

{B}

16«

Запись

системы

линейных

уравнений

матричном

виде (12) широко используется в методе конечных эле ментов.

107

3.Транспонированная матрица

Если в матрице

				"и	<?,=		«13	"и,
		[А] =		asi rt22 а-23
		[А] =
				1 ит2			11піз	• • • H m n J
размера	тХп	заменить			строки			столбцами, то получим
так называемую			транспонированную						матрицу
				~Яц		«21	«31	••• «ml ~
				(7,о		flon	ff,n	. . .	П„
				L ^ l n		а2п	а3п
размера	пХт.	В	частности,			для		матрицы-столбца транс

понированной является матрица-строка.						Часто встре
чающееся		в	методе	конечных	элементов		выражение
энергии	3(F)		может	быть тогда	записано	в	виде:
9(F)	=	(FiUl	+ F2u,+	...+Fnun)	={F}r{U}		= {U}* {F}.
							(13)

Транспонированные матрицы обладают следующими свойствами:

( M + i [ ß ] ) T = № + f ß ] T ;

({А][В]У=[ВУ[АУ.

Симметричная матрица совпадает со своей транспо нированной матрицей. Произведение симметричной мат рицы [А] на свою транспонированную [А]Т т а к ж е явля ется симметричной матрицей:

[В]=[А][А]* = [ВГ.

4. Инверсия матриц

Обратной матрицей по отношению к данной назы вается матрица, которая, будучи умноженной справа или слева на данную матрицу, дает единичную матрицу, например:

И 1 № ' = [ Л ] - < [ Л 1 = £ ,

(14)

Здесь матрица [ Л ] - 1 является обратной по отношению к матрице [А]. Нахождение обратной матрицы для дан

ной называется			инверсией			(обращением)			данной матри
цы. Поэтому иногда матрицу [A]~L называют										инверсией
матрицы	[А].					[А]
Если	в выражении				(12)		есть	квадратная		матрица,
т. е. т = п, то		можно		записать:
					[А]{Х}={В};
				{X}=lA]-i{B}.
Таким образом решение системы линейных										уравнений
может	быть	сведено			к	инверсии		матрицы		коэффи
циентов.
Следует отметить некоторые свойства обратных											мат
риц. Обратна я матрица произведения квадратных											мат
риц равна произведению						обратных		матриц сомножите
лей, взятому		в обратном порядке:
			([А][В])-і=[В]-і[А]-К
Транспонированная				обратная			матрица		равна	обратной
от транспонированной					данной		матрицы:
				( И ] - Г = ( № ) - ' . .
									ПРИЛОЖЕНИЕ		U
		П Р И М Е Р А Л Г О Р И Т М А РАСЧЕТА
Приведенный			в	настоящем Приложении						алгоритм

расчета напряженного состояния откоса в скальных

породах	под	действием	собственного		веса разработан
В. В. Семеновым, для			решения .задачи, рассмотренной
в § 5.2. Алгоритм изложен				на языке А Л Г О Л - 6 0 в смыс
ле языка	публикаций		без	описания	идентификаторов
переменных		и массивов	с условно бесконечной емкостью

оперативной памяти машины, причем в этой редакции формально отсутствует деление на блоки, позволяющие более рационально использовать оперативную память Э Ц В М .

Поясним некоторые обозначения, принятые в тексте алгоритма, а т а к ж е расшифруем' вкратце содержание отдельных его частей,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ