книги из ГПНТБ / Севостьянов, А. Г. Основы математического моделирования механико-технологических процессов текстильной промышленности из цикла лекций заочного факультета по технической кибернетике в текстильной промышленности

Схема набора модели на АВМ (рис. 25) содержит: 1) группу операционных усилителей 1—5, которые реализуют решение урав­ нений (141) и (143), отличающихся только разньими внешними воздействиями; 2) группу операционных усилителей 6—8, реали­ зующих решение уравнения (142); 3) группу операционных уси­ лителей 9— 11 и релейное устройство, которые осуществляют вы­ числение значений разности в неравенстве (144) и переключают структуру при выполнении или невыполнении этого неравенства.

Для определенности момент трения M]{t) принят пропорцио­ нальным угловой скорости навоя <р (0 . а ^ г ( t)=Q.

§ 7. М О Д Е Л И Р О В А Н И Е М Е Х А Н И З М А О ТП УС КА ОСНОВЫ ПРИ А К Т И В Н О Й Н И ТЕП О Д АЧЕ И Н И Т Е Н А Т Я Ж Н О М УСТРОЙСТВЕ

НА О С Н О В О В Я ЗА Л ЬН Ы Х М А Ш И Н А Х

Натяжение и отпуск основы — существеннейшие факторы, оп­ ределяющие размер петли в трикотажном полотне и, следователь­ но, влияющие на качество вырабатываемого вязаного полотна.

Механизм отпуска основы с нитенатяжным устройством на ос­ нововязальных'машинах во многом напоминает аналогичное уст­ ройство на ткацких станках. В предыдущем параграфе такой механизм был рассмотрен для изучения движения навоя и скала при отпуске основы; при этом натяжение основы считалось извест­ ной функцией времени.

Выше указывалось, что рдно и то же явление, один и тот же объект или процесс можно моделировать различным образом в зависимости от исходных предположений, положенных в основу модели. Здесь мы рассмотрим по существу механизм отпуска ос­ новы, о котором речь шла в предыдущем параграфе, но в качест­ ве главной исследуемой величины возьмем величину натяжения основы и будем определять ее как функцию других величин (ско­ рости сматывания основы с навоя vlt скорости зарабатывания осно­ вы в полотно Ьг, длины L участка основы между точкой схода ее с навоя до гребенки и др.). Разумеется, и основополагающие урав­ нения будут другим^. Если ранее использовались уравнения ди­ намики применительно к навою и скалу, то теперь для описания движения основы возьмем уравнение сохранения массы нитей на исследуемом участке и уравнение динамики для скала.

Поскольку механизм отпуска основы предполагается активно­ го действия, линейная скорость щ вращения навоя не зависит (при отсутствии регулятора) от натяжения нитей основы.

Для простоты расчетов примем схему движения основы на ис­ следуемом участке АВ в соответствии с рис. 26, а (подобная схе­ ма действительно используется на некоторых основовязальных ма­ шинах, например, на машинах «Фаворит»), К — жесткость пру­ жины скала, т — масса скал4 приведенная в точку С; трением нитей о скало пренебрегаем; перемещения скала будем считать малыми, а скорость движения нитей основы — много меньшей

60

скорости звука в материале нитей, благодаря чему натяжение ни> тей на участке АВ можно считать одинаковым во всех точках. Де­ формация и натяжение нитей на навое отличны от деформации и натяжения на участке АВ. Изменение натяжения и деформации, по предположению, происходит мгновенно в точке схода А нити с навоя. Предположим также, что все нити основы находятся в одинаковых условиях. Соотношения будем писать для одной нити.

Теперь предположим, что деформация нити вследствие растя­ жения настолько мала, что может быть описана в соответствии с линейной теорией упругости. В этом случае плотность нити р можно представить в следующем виде:

s.i ( 0 js.v(^)>£z(0> — относительная деформация нити в момент времени

ными осями инерции поперечного сечения нити в каждой точке оси нити).

Считая, что нить подвергается однородному одноосному растя­ жению силой натяжения р, найдем, что действующее на нить на­ тяжение р вызовет в нити напряжение ait равное:

6i

Уравнение (152) описывает изменение деформации основы ег на участке АВ в зависимости от деформации ее на навое еь ско­ ростей v\ и v2 и длины участка L.

Вернемся к рис. 26, а. Нетрудно написать уравнение динамики

Здесь предполагается, что скало совершает малые колебания от­ носительно некоторого среднего положения. Момент трения AftpffJ в осях качания скала в дальнейшем считаем равным

—Xа .

Перемещение скала кинематически связано с длиной участка АВ соотношением

L(t) = — a. • (154)

Уравнения (148) — (154) образуют математическую модель рассматриваемого объекта. Эта модель является динамической и нелинейной (ввиду нелинейности уравнений (152) и (148)].

На практике деформации е* малы по абсолютной величине по сравнению с единицей. Данное обстоятельство позволяет исполь­ зовать при построении модели линейную теорию упругости и, кро­ ме того, предположить, что изменения длины L малы по сравне­ нию с ее средним значением Ьо. Поэтому длину L(t) можно запи­

сать в виде L(t)—L0+l(t), причем отношение ~ того же^поряд-

Lq

ка малости, что и е,-. С учетом сказанного линеаризуем уравнение (152), отбрасывая в нем все слагаемые порядка малости выше пер­ вого. В результате получим:

62

Поскольку в уравнении имеет смысл рассматривать толькб сла­ гаемые одного порядка малости, то для использования уравнения

(155) необходимо предположить, что 1 ----- L имеет тот же порядок

малости, что и е,- Теперь уравнение (155) можно преобразовать:

дель объекта. На рис. 26, б приведена блок-схема этой модели. На схеме указаны передаточные, функции, которые можно получить из уравнений (156)— (158).

Из рис. 26, б видно, что объект имеет обратную связь по де­ формации (или натяжению, которое пропорционально деформации при малых е).

Устойчивость такой системы может быть проверена известны­ ми методами теории устойчивости. Одновременно могут быть вы­ делены области значений различных параметров, при которых сис­ тема обладает устойчивостью. Эта же задача может быть реше­ на и с помощью АВМ. Кроме того, на АВМ проще, чем аналити­ ческим путем, можно решить вопрос о рациональном выборе сис­ темы регулирования натяжения.

ВО ПРО СЫ Д Л Я П О ВТО РЕН ИЯ

1.В чем заключаются особенности моделирования механико-технологичес­ ких процессов на АВМ.

2.Какие основные упрощающие предположения приняты в моделях меха­ нических свойств текстильных нитей и процесса смешивания волокон при вытя­

гивании.

3. На каких основных законах физики и механики строятся уравнения в моделях движения навоя и скала на ткацком станке и отпуска основы на основязальных машинах.

63

Г л а в а IV

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НА ЦВМ

§ 1. ОСОБЕННОСТИ И С П О ЛЬ ЗО ВАН И Я ЦВМ ПРИ М О Д Е Л И Р О В А Н И И М Е Х А Н И К О -Т Е Х Н О Л О ГИ Ч Е С К И Х ПРОЦЕССОВ

Построение и изучение моделей механико-технологических про­ цессов с использованием ЦВМ является чрезвычайно мощным средством исследования. Применение ЦВМ позволяет получить решение, как правило, значительно более точное, чем на АВМ; объем перерабатываемой информации и сложность моделей на ЦВМ также значительно выше. Вместе с тем использование ЦВМ сильно удорожает исследования, включая в их большие дополни­ тельные группы специалистов по эксплуатации ЦВМ, программис­ тов, а также значительное количество сложной и дорогостоящей аппаратуры. Скорость получения результата на ЦВМ, как прави­ ло, ниже, чем на АВМ. Все эти факторы нужно учитывать при оценке эффективности применения ЦВМ -для моделирования.

Обычно ЦВМ включают в исследование только в том случае, когда иными путями достигнуть цели не удается.

Основные принципы моделирования являются общими при ис­ пользовании электронных вычислительных машин обоих типов, нужно лишь при построении модели принимать во внимание спе­ цифику представления информации в ЦВМ.

Различный способ представления информации в цифровых и аналоговых машинах — это основное принципиальное различие между ними. Если в АВМ носителями информации являются не­ прерывно меняющиеся электрические токи и напряжения, то в ЦВМ — потоки импульсов. В последнем случае информация пред­ ставляется в виде чисел, которые при переработке информации меняются дискретным образом. При этом оказывается удобным и надежным использовать двоичную систему счисления, в которой любое число представляется набором единиц и нулей. Именно та­ ким образом представленные числа легко моделируются в ЦВМ потоком стандартных импульсов (единице, например, соответству­ ет наличие импульса, а нулю — его отсутствие).

В процессе решении задачи на ЦВМ потоки импульсов преоб­ разуются по правилам двоичной арифметики. Осуществляется это преобразование схемами электронной импульсной техники. Управ­ ляют им также потоки импульсов, последовательность которых образует программу вычисления задачи на ЦВМ.

Кроме того, в ЦВМ имеется специальное запоминающее уст­ ройство — «память», построенное на элементах дискретной, им­ пульсной техники и предназначенное для хранения произвольной информации (в том числе и программы вычислений).

На рис. 27 представлена упрощенная блок-схема ЦВМ. На ней ЗУ — запоминающее устройство, АУ — арифметическое устройст­

, 64

во, осуществляющее преобразование импульсных потоков, т. е. преобразование информации, УУ — управляющее устройство, ко­ торое задает арифметическому устройству и «памяти» направле­ ние перемещения и закон преобразования информации в соответ­ ствии с программой. Устройства ввода (ВВУ) и вывода (ВЫУ) информации облегчают работу программиста — составителя прог­ раммы и оператора, работающего на машине,

всегда приходится' обращаться за помощью к программисту-вы- числителю, и все же только при условии знания технологом хотя бы в общих чертах срецифики решения задач на ЦВМ использо­ вание ЦВМ при моделировании и управлении технологическими процессами может быть эффективным.

S 2. ЗАД А ЧА О П Т И М И З А Ц И И СОСТАВА СМЕСИ

Правильный выбор долей компонентов в смеси является одной из важнейших практических задач текстильной технологии. Сфор­ мулируем эту задачу в общем виде.

Введем обозначения: М — число компонентов в смеси; рг — весовая доля i-то компонента в смеси; Q — критерий оптималь­ ности (величина, по экстремальному значению которой судят об оптимальности состава смеси); qi — набор параметров, харак­ теризующий t-й компонент.

Критерий оптимальности Q является функцией вообще говоря

где ai=F(pi) — доля /-ГО/ компонента в смеси по числу волокон. Между параметрами могут существовать связи, которые опи­

сываются уравнениями

Число таких уравнений может быть различным. Краме того, су­ ществуют, как правило, связи между входящими в задачу вели­

65

чинами, имеющие вид неравенств или равенств, которые всегда можно записать в таком виде:

вильно поставлена, если среди соотношений (160) — (162) нет противоречащих друг другу, а в качестве критерия оптимальности берется одна единственная величина Q. Если же задача форму­ лируется так, что требуется обеспечить экстремум сразу по двум или большему числу критериев, то она во многиД случаях не имеет решения и часто сводится к однопараметрической задаче с огра­ ничениями. (Сказанное относится не только к задаче о смеси, но и

Приведем пример постановки конкретной задачи оптимизации смеси хлопковых волокон из компонентов, имеющих различную

среднюю длину волокон /,• , различную дисперсию волокон по длинам о* , различный средний номер волокна Ni , различную

среднюю прочность волокон р,-, различную долю компонентов по длине волокон в смеси аи

Выпишем основные соотношения для перечисленных величин.. Известно [12], что доли а г определяются по формуле

(163)

Для долей а* и /5г должно выполняться условие нормировки:

(164)

Дисперсию волокон аг по длине волокон в смеси находят по формуле

( 165)

66

Выберем дисперсию а2 в качестве критерия оптимальности при составлении смеси.

Как правило, на пряжу, получаемую из смеси, накладываются гостом ограничения по ряду показателей качества. Наиболее су­ щественным из них будем считать прочность пряжи. Обозначив через Р0 минимально допустимую по госту прочность и пользуясь известной формулой А. Н. Соловьева, можем написать:

Р „ - Р 0> 0,

Величина Я0 выбирается в зависимости от системы прядения: для кардной пряжи # о = 3,5-f-4, для гребенной Я0= 4 ,5-^-5.

Уравнения (163) соответствуют общим уравнениям (160), фор­ мула (164) — выражению (162), неравенство (166) — соотноше­ нию (161), уравнения (167) — общим уравнениям (160). Выпи­ санные соотношения можно рассматривать как математическую модель, характеризующую состав смеси и прочность пряжи из этой смеси. Используя данную модель, можно найти оптимальный по неровноте (а2) состав смеси. Поскольку процесс оптимизации связан в настоящем случае с большим объемом вычислений, при­ ведем общий ход решения задачи оптимизации, а затем и блоксхему решения задачи на ЦВМ.

Наличие уравнений связи (164) и (167) позволяет понизить число параметров, входящих в модель и не зависящих от_варьи-

при любых р,-, что по существу приводит к исключению этих урав­ нений из модели.

» Легко видеть, что расчет аЦ /= 1, 2,...,М) по формулам (163) дает значения рг-, автоматически удовлетворяющие уравнению (164). Поэтому последнее является 'лишним в модели. Однако имеет смысл все же использовать его, рассчитав по формуле (163)

/=1

расчет по формулам (163) и округление чисел может привести к тому, что соотношение (164) может на определенном этапе вычис­ лений перестать выполняться.

Равенства (163) — (167), в которые в явном или неявном (че­ рез а,) виде входят варьируемые доли рг-, позволяют утверждать,

67

что некоторые доли ргявляются зависимыми от остальных; сле­ довательно, число независимых варьируемых долей (3, может быть понижено. Из этих уравнений видно, что число независимых варь­ ируемых долей может быть понижено до М—2, т. е. на две.

методами поиска экстремума: методом последовательного перебо­ ра, методом крутого восхождения, симплекс-методом и т. п.

Приведем этапы решения -.поставленной задачи оптимизации

сиспользованием ЦВМ:

1)выбор некоторых начальных значений рь Ра*--->Рл1 - 2 которые должны удовлетворять «естественному» условию

Решение указанных уравнений осуществляется специальной цик­ лической программой. Конец программы определяется заданной

6)осуществление шага к экстремуму, т. е. изменение варьи­ руемых долей ось аг,..., ам- 2 в соответствии с выбранным методом движения к экстремуму. Для измененных <х; повторяются вычис­ ления по пунктам 2—5 программы вычислений;

7)сравнение нового значения критерия Q с предыдущим. На основании этого сравнения делается вывод о дальнейшем изме­

нении а ь се2,...,-алг- 2 в соответствии с выбранным методом движе­ ния к экстремуму.

Для решения задачи на ЦВМ нужно составить программу ре­ шения, записанную на одном из входных языков машины. Послед­ нюю операцию должен выполнять программист-вычислитель. Од­ нако для выполнения этой операции исследователю необходимо подробно выписать весь набор соотношений, учитываемых в зада­ че, описать метод решения встречающихся в задаче уравнений и метод движения к экстремуму, т. е. закон изменения варьируемых величин при различных исходах операций сравнения (например, при сравнении значений критерия или при проверке выполнения неравенств).

68