книги из ГПНТБ / Севостьянов, А. Г. Основы математического моделирования механико-технологических процессов текстильной промышленности из цикла лекций заочного факультета по технической кибернетике в текстильной промышленности

При использовании масштабных коэффициентов Uj —Куу У/ уравнения (117) и (118) принимают следующий вид:

Уравнения (109) и (119) эквивалентны при условии, что

Поскольку максимальные значения у\ и г/г неизвестны, для определения масштабных коэффициентов используем начальные условия г/1(0)=2,5 и г/г (0) =0,5, предполагая, что соответствующие им напряжения равны: и\(0) =гг2(0) =25 В. При этих условиях найдем масштабные коэффициенты:

шения (118) в соотношения (120), получим значения коэффици­ ентов передачи решающих устройств:

Определив по формулам (118) значения коэффициентов а и подставляя их в выражения (116) и (117), находим систему ма­ шинных уравнений:

40

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1.Каковы основные этапы построения математической модели.

2.В чем сущность масштабирования.

Г л а в а III,

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МЕХАНИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НА АВМ

§ 1. ОСОБЕННОСТИ МЕХАНИКО ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Технологические процессы в текстильной промышленности представляют собой сложный комплекс физических явлений, изу­ чить который можно лишь с использованием современных дости­ жений науки и техники. В прядильном, ткацком и трикотажном производствах одновременно обрабатывается боЛшая масса не­ равномерных и неоднородных по своим свойствам текстильных во­ локон, нитей, полотен, тканей. Многие процессы механической тех­ нологии текстильных материалов базируются на вероятностных схемах и имеют закономерности, присущие событиям массового характера, тем событиям, которые выявляются с помощью мето­ дов теории вероятностей и математической статистики. Непре­ рывность технологических и производственных процессов, а также получаемых продуктов является основанием для применения в исследованиях методов теории случайных функций и статистичес­ кой динамики. Наконец, быстрое протеканиес многих технологичес­ ких процессов обусловливает применение высокоскоростной техни­ ки регистрации и своеобразных методов их исследования.

Все указанные выше особенности процессов нужно учитывать при получении математических моделей и их исследовании.

Ниже приводятся примеры математического моделирования некоторых явлений и процессов механической технологии тек­

стильных материалов на АВМ.

\

§ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ТЕКСТИЛЬНЫХ НИТЕЙ

При описании механических свойств различных материалов, в том числе и текстильных нитей, получили распространение так называемые механические модели. Они позволяют моделировать связи между напряжением a(t) и деформацией е(0 исследуемых материалов. Как правило, построение механической модели явля­ ется промежуточным этапом, облегчающим вывод уравнений, оп­

41

ределяющих эту связь, т. е. промежуточным этапом при построе­ нии математической модели поведения материала при его дефор­ мации.

Основными элементами механических моделей, используемых при моделировании свойств нитей, являются пружины и демпфе­ ры (поршни, движущиеся в вязкой среде). Связь между деформа­ цией и напряжением (механическим) для таких элементов имеет вид

Здесь Е — модуль упругости пру­ жины, а ц — коэффициент вязкост ти среды, в которой движется пор­ шень. Заметим, что размерность Е совпадает с размерностью o(t), а

времени.

Рассмотрение механических мо­ делей и построение математических моделей на их основе чрезвычайно упрощается, если эти соотношения записать в преобразованном по Лап­ ласу виде:

Из соотношений (123) следует, что в преобразованиях по Лап­ ласу можно ввести комплексный модуль упругости Е(р). Для пру­ жины Е (р) =Е, для демпфера Е (р) =т\р.

Используя соотношения (123) и понятие комплексного модуля упругости Е(р), легко найти соответствующие соотношения для произвольных комбинаций соединения пружин и демпферов.

С этой целью используем правило последовательного и парал­ лельного соединения произвольных элементов (рис. 13).

При последовательном соединении элементов напряжения, действующие на каждый элемент, одинаковы, а деформации скла­ дываются. Обозначая через a(t) и е(() напряжение и деформацию для всей механической модели, найдем их при последовательном, соединении элементов из следующих соотношений:

Чр) = (р) = Ч р )\

Чр ) = *i(P) + Ч р )

Учитывая соотношения между напряжениями и деформациями для отдельных элементов

42

находим:

—!— = — — ■+— - - .

Е(р) Е,(р) 1 Е2(р)

Вообще для произвольного числа п последовательно соединенных элементов общий модуль упругости Е (р) выразится через модули упругости звеньев с помощью соотношения

а д = а д + а д - '

Для произвольного числа п параллельно соединенных элементов выполняется соотношение

Соотношения (124) и (125) аналогичны тем формулам, по ко­ торым вычисляют проводимость последовательно и параллельно соединенных электрических сопротивлений [1].

Рассмотрим в качестве примера широко используемую меха­ ническую модель, предложенную Я- И. Френкелем и др. 18]. Мо­ дель эта изображена на рис. 14.

В соответствии с описанным выше правилом найдем общий комплексный модуль упругости для указанной модели:

Ei -ri2p(E, + rliр)

Е( р) =

ЪW* + (£Tri2+£27l2-r£2'ii)p+£i£2

/

Разделив в последнем соотношении числитель и знаменатель на Е\Е2 и введя обозначения

Ti = T2 = ri2/E2 и 0 = т]а/£,,

получим

рис. 14 (так называемая модель «А»), при известном законе деформатции e(t), т. е. заданном законе изменения удлинения нити.

Из уравнения (126) установим взаимосвязь между деформаци­

Соотношения (127) и (126) являются математической моделью, позволяющей (с известной точностью) описать механические свойства нити.

Из приведенного примера видно, что получение математической модели с помощью преобразования Лапласа и понятия комплекс­ ного модуля упругости Е (р) значительно упрощается по сравне­ нию с применением дифференциальных уравнений и соотношений

( 122).

Если для анализа математической модели используется АВМ, что часто целесообразно, то на основании преобразования легко отроится структурная схема набора на АВМ, реализующая это преобразование.

Запишем соотношение (126) в следующем виде:

Пользуясь соотношениями (130) и (128), строим структурную

Удобство использования моделей на АВМ в данном случае состоит в том, что на такого рода моделях достаточно просто ана­ лизировать поведение моделируемой нити по отношению к раз­ личным типам нагружения. Например, поведение образца нити на пульсаторе моделируется путем подачи на вход схемы (см. рис. 15, а) соответствующим образом меняющегося периодического напряжения. Другими словами, на модели можно изучать различ­ ные типы нагружения без перестройки схемы набора.

44

На рис. 16 приведены диаграммы изменения деформации ги­ потетической нити при двух типах нагружения: а—при постоянной величине нагрузки и различном времени нагружения, кривые 1, 2 и 3 (из этих кривых видно развитие полной деформации; после снятия нагрузки эластическая часть деформации снимается, но остается определенная часть пластической деформации — участок

Рис. 15

АВ); б — при периодически прикладываемой к образцу постоян­ ной нагрузке и переменной частоте «включения» нагрузки^ о(/)

при мгновенном удлинении ее на некоторую постоянную величину. Эти кривые получены'по схеме набора, представленной на рис. 15,а и соответствующей соотношениям (128) и (129), на ABM МН-7М.

При наборе обеих схем постоянные времени Ть Т2 и 0, учи­ тывающие константы деформации нити, предполагались равными одна другой, т. е. Tji=ri2; Е1—Е2.

Следует отметить одну важную практическую сторону вопроса. Результаты, получаемые на модели, допустимо сравнивать о ре­ зультатами экспериментов с реальными нитями только при усло­ вии, что в модели учтена специфика нагружения нити на реальном динамометрическом приборе, т. е. учитываются его конструктив­ ные особенности, сказывающиеся на законе нагружения. Лишь с учетом этого фактора в модели можно сравнивать результаты ис­ пытаний на модели и на реальном приборе и проверять тем са­ мым адекватность изучаемой модели.

45

§ 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЗВЕСА ПРОДУКТА ЧЕСАЛЬНОЙ МАШИНОЙ

На примере модели преобразования развеса продукта чесаль­ ной машиной рассмотрим один из методов получения статистичес­ ких характеристик случайных функций на АВМ.

Многочисленные исследования показали 19], что с достаточной для практики точностью динамика преобразования развеса про-' дукта чесальной машиной может быть описана передаточной функ­ цией вида

70Р+V - (131)

1

Эта передаточная функция связывает массу холста, поступающего за единицу времени в чесальную машину, с массой чесальной лен­ ты, выходящей за единицу времени из машины.

Обозначив функции времени через gi(t) и gz(t) соответственно

Функции gi(() и g2(t) являются случайными функциями времени; поэтому исследование связи между этими функциями сводится к отысканию связи между их вероятностными характеристиками.

47

На практике достаточно знать корреляционные функции и Rz(т) случайных функций gift) и gz(t). Типовой задачей при этом может быть, например, такая: найти Яг(т), если известны переда­ точная функция (131) объекта W0(p), т. е. чесальной машины, и корреляционная функция R i (т) для холста.

Известны два основных метода решения статистических задач с помощью аналоговых мо­ делей.

Первый метод заключает­ ся в реализации на АВМ схемы набора в соответствии с передаточной функцией (131) и подаче на вход этой схемы случайно меняющего­ ся во времени напряжения, вероятностные свойства ко­ торого совпадают (по всем или части характеристик) со свойствами функции gi(t). Подобное напряжение обыч­ но получают от специально­ го генератора случайных сигналов. На выходе схемы также , имеет место случайно

меняющееся напряжение, моделирующее функцию gz(t). Обраба­ тывая указанные случайные напряжения тем или иным известным методом математической статистики, получают их статистические характеристики. Чаще всего при этом входное и выходное напря­ жения фиксируются на диаграммной бумаге с помощью самопис­ цев. Такой метод (метод Монте-Карло) удобен тем, что позволяет исследовать реакцию практически любой динамической системы на любые случайные воздействия, которые удается получать с по­ мощью генератора случайных сигналов. Недостаток метода — не­ обходимость большого объема вычислений при обработке статис­ тических данных.

Второй метод может быть применен в случае исследований ли­ нейных систем с постоянными параметрами [передаточная функ­ ция (131) описывает именно такую систему] при стационарных случайных воздействиях на эти системы. Можно показать [10], что корреляционная функция выходного сигнала исследуемой системы может быть получена в виде выходного сигнала схемы, приведен­ ной на рис. 18, а, если на ее вход в качестве входного сигнала по­ дать напряжение, меняющееся во времени в соответствии с изме­

48

изменить величину запаздывания в блоке запаздывания, входя­ щего в схему, и произвести заново вычисления значения ЯгЫ) при новом установленном значении т».

Учитывая передаточную функцию (131), построим структурную схему для вычисления корреляционной функции выходного сиг­ нала (т. е. развеса чесальной ленты) при известной корреляцион­ ной функции R i ( t ) холста, питающего машину, и известной пере­ даточной функции чесальной машины. Такая схема приведена на рис. 18, б.

Из схемы на рис. 18, б видно, что запаздывание на величину то, входящее в передаточную функцию объекта, по существу не влияет на определение /?г(тг). Поэтому соответствующие блоки

на вход системы необходимо подать напряжение, меняющееся по закону (133). Меняющееся таким образом напряжение легко по­ лучить на выходе апериодического звена с постоянной времени

пряжения «о, задающего начальное условие на интегратор, выби­ рается при масштабировании и соответствует дисперсии D

Численные значения параметров объекта и корреляционной функции (133) зависят от типа машины и4 свойств холста.

49