книги из ГПНТБ / Севостьянов, А. Г. Основы математического моделирования механико-технологических процессов текстильной промышленности из цикла лекций заочного факультета по технической кибернетике в текстильной промышленности

устанавливают исходя из анализа экспериментальных данных ра­ нее проведенных исследований или из теоретического анализа мо­ делируемого процесса.

Если г/max и хт ах заранее неизвестны, то во избежание перена-„ пряжений следует масштаб выбирать более осторожно (например, Мтах=бО В), ,а затем его скорректировать. Для выбора масштаба времени надо знать длительность t реального процесса и задаться машинным временем т, в течение которого будет проводиться ис­ следование модели на АВМ.

Для однократного процесса решения задачи тШах обычно со­ ставляет десятки-сотни секунд. Очевидно, что при Mt> 1 моделиру­ ющий процесс на АВМ будет протекать быстрее, чем реальный мо­ делируемый процесс. При Mt< \ моделирующий процесс протекает медленнее, а при Mt= 1 — в реальном масштабе времени. При вы­ боре значения Kt учитывают необходимую степень изменения ско­ рости протекания процесса, частотные свойства модели, удобство наблюдения и регистрации выходных параметров.

Из соотношения (56) находим:

Используя соотношения (60) и (61), можно установить следую­

Взаимосвязь между операторами дифференцирования по ма- ‘ шинному и реальному времени следующая:

(IT

и

(66)

Kt i t

30

Отсюда следует, что

Зная масштабные соотношения или масштабные коэффициенты, можно рассчитать значения коэффициентов передачи решающих устройств. Рассмотрим этот расчет на примере уравнений (42). и (51), а также уравнений в операторной форме (43) и (52); при этом будем пользоваться масштабными коэффициентами К.

С учетом соотношений (61), (62) и (63) уравнение (42) можно' преобразовать:

—Ъ ь К х Х - н К у У — Ч - Р У ,

К* Kt

или

Уравнения (73) и (43) тождественны, если только

Л у

Из соотношений (74) легко можно получить соотношения (72)- При моделировании линейного дифференциального уравнения третьего порядка можно было бы получить вместо машинного урав­

нения (52) уравнение вида

Сопоставляя соотношения (72) и (76), нетрудно установить пра­ вила, по которым составляются масштабные уравнения при моде­ лировании линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами п-го порядка: 1) число масштабных уравнений равно я+ 1; 2) вид этих уравнений следующий:

На основании уравнения (72) и соотношений к уравнению (51) устанавливаем, что для структурной схемы набора, изображенной на рис. 9, в, коэффициенты передачи решающих устройств опреде­ ляются следующими уравнениями:

В этих уравнениях величины Ьо, ао и ai заданы исходным уравнени­ ем и определяются по соотношениям к формуле (42). Масштабные коэффициенты Ку, Кх и Kt приблизительно определяются по форму­ лам (59). Задаваясь любыми двумя коэффициентами передачи, ос­ тальные три коэффициента рассчитывают по уравнениям (78). Коэффициенты передачи интегрирующих устройств мопут быть в пределах от 0 до 10 и для суммирующих и инвертирующих уст­ ройств от 0 до 20 ( в случае параметрической компенсации дрейфа нуля, например для УПТ в модели МН-7). При автоматической ста­ билизации нулевого уровня коэффициенты передачи могут быть со­ ответственно от 0 до 20 и от 0 до 100. Не следует выбирать очень малые значения коэффициентов передачи, поскольку установка их на АВМ затруднительна.

&

§ 4 МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, ИМЕЮЩЕГО ПРОИЗВОДНЫЕ В ПРАВОЙ ЧАСТИ

Описанная выше методика не может быть непосредственно при­ менена для подготовки модели процесса, представляющей собой ли­ нейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициен­ тами, правая часть которого содержит производные от независимой

где р = — и т<^п. Такими дифференциальными уравнениями dt

описываются динамические системы с дробно-рациональными пере­ даточными функциями, работающие при любом заранее неизвест­ ном входном сигнале x(t), т. е.

p n+ a n- i p n~ 1Н - . . . + а , / м а,

Бели уравнение (79) представить в виде системы машинных диф­ ференциальных уравнений первого порядка, т. е. использовать ме­ тод представления уравнения (42) и его машинного уравнения (51) двумя уравнениями (54) и (55), то в одном из них получим произ­ водные от независимой переменной х. Непосредственное моделиро­ вание этого уравнения посредством формирования правой части дифференцирующими устройствами практически невозможно ввиду сильного увеличения помех входного сигнала x(t). Именно поэтому уравнение (79) нужно представить такой системой уравнений, в структурных схемах набора которых использовались бы только ин­ теграторы, сумматоры и инверторы.

Рассмотрим наиболее эффективный из известных методов тако­ го представления — метод непосредственного интегрирования, или метод канонической формы [7]. Сущность этого метода заключается в том, что уравнение (79) при п — т преобразуется в систему урав­ нений канонической формы для новой системы переменных Zi, гъ t.., zn, получаемых по уравнению

Действительно, если порядок правой и левой частей уравнения (79) одинаков, то после деления уравнения на рп и решения его относительно у получим:

33

Заменяя суммы в скобках соответствующими переменными <2, пре­ образуем уравнение (82) в систему из п уравнений канонической

Рассматривая уравнение (83), легко заметить, что характер их построения соответствует формуле (81). Уравнения (83) модели­ руются по структурной схеме, содержащей п интеграторов и не более трех инверторов, причем интеграторы имеют не более трех входов. Используем этот метод при исследовании следующего урав­

где аг=3, а0=4, bi—0,5 и Ь0~2. Начальные условия при исследова­ нии такие: г/(0) —2,5; рг/(0)=25; *(0) = 1; *тах=2. Входная перемен­ ная х поступает от внешнего источника. Исследование ведется в

34

Пользуясь указанной структурной схемой набора, можно на­ писать следующие соотношения:

На выходе интегратора 1 получается напряжение, соответст­ вующее новой переменной, но с обратным знаком, т. е. — z%. Поль­ зуясь уравнением (88), находим начальные условия по формуле

— 22 (0) = ру(0) + 3 i/(0) — 0,5х(0) = 25 + 3 • 2,5 — 0,5- 1 = 32.

35

Значения масштабных коэффициентов определяются с учетом следующих условий:

1) условие максимального значения входной величины

■^тах—2, Т. е.

(с ламповыми ОУПТ); 2) начальное условие для машинной переменной и2, т. е.

“ а(0) = ^ z 2l 0 ) > 1 [м.е.];

отсюда

*, < ^ 0 , 0 3 ;

3)условие выравнивания машинных коэффициентов, т. е. cto=cc2- Подставляя соотношения (98), получаем:

Используя соотношения (95) и принимая Кз=Кт=\, найдем значения коэффициентов передачи по каждому входу решающих устройств:

fei = Зо = 0,24; /г2 = а0 = 2; Л* = ?, = 0,12;

fe6 = ч ■= 2; fee = а1 = 3.

Подставляя найденные значения коэффициентов в уравнения (93) и (94), получим систему машинных уравнений в явном виде:

su *= 2м2 — Зи + 0,12 v /

-36

§ 5 МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

При исследовании нелинейных обыкновенных дифференциаль­ ных уравнений используется такая же методика, как и при иссле­ довании линейных уравнений. Введением вспомогательных пере­ менных система нелинейных дифференциальных уравнений преоб­ разуется в систему линейных дифференциальных уравнений и до­ полнительных нелинейных уравнений связи между вспомо­ гательными переменными и исходными. Нелинейные уравнения связи воспроизводятся на АВМ нелинейными блоками, при ,этом: масштабные коэффициенты вспомогательных переменных зависят не только от масштабных коэффициентов исходных переменных, но и от коэффициентов нелинейных преобразований нелинейных блоков.

связь между входными щ и v2 и выходным и переменными опре­ деляется уравнением

Величина kn определяется конструкцией БП; в машинах с лам­ повыми усилителями со шкалой 100В £п = 0,01, в полупроводни­ ковых АВМ со шкалой 50В &п=0,02 и со шкалой ЗОВ Ап=0,03.

При необходимости изменения величины kn на АВМ, имеющих диодные блоки перемножения, меняют величину сопротивления в цепи обратной связи усилителя, суммирующего выходные токи квадраторов (см. рис. 6).

37

Ранее указывалось, что для осуществления операций деления,

где /гд — коэффициент передачи делительного устройства.

Переходя к исходным переменным и при сопоставлении с уравне­ нием (103), получаем формулу для определения соотношения соп­ ротивлений в схеме делительного решающего устройства:

Для иллюстрации подготовительных операций к исследованию системы нелинейных дифференциальных уравнений на АВМ рас­ смотрим следующие два уравнения:

(здесь а2=Ю ; а3=2; а4=0,5; а1= 0 г 1; ^3=0,05; а^=0,1).

38

Вводя новые переменные уз—lh У2 и у\—у\, исходную систе­ му (109) приводят к следующему виду:

vРУ1 = ДаУг — азУз ~ а*У*

РУг — «1У1 + аз Уз + а4 У*

Структурная схема набора решающих устройств для исследования'уравнений (ПО) изображена на рис. 12.

39