книги из ГПНТБ / Севостьянов, А. Г. Основы математического моделирования механико-технологических процессов текстильной промышленности из цикла лекций заочного факультета по технической кибернетике в текстильной промышленности

где т(/) — время запаздывания, являющиеся в общем случае пос­ тоянной, переменной или случайной величиной или функцией вре­ мени. Если т не меняется во времени, то выражение (29) принима­ ет вид

В теории САР ([2] уравнение (30) при j=const характеризует работу типового звена запаздывания. Динамические характеристи­ ки такого звена имеют следующий вид:

передаточная функция —

где to — круговая частота.

Точная реализация преобразования (30) или (31) на АВМ осу­ ществляется с помощью блоков постоянного запаздывания БПЗ (при т—const) или специализированных блоков регулируемого (пе­

постоянное запаздывание без фазовых ошибок, но допускает опре­ деленные погрешности в амплитуде запаздывающего сигнала. Бло­ ки такого типа построены с использованием магнитной записи, ре­ шающих усилителей и запаздывающих конденсаторов (электроме­ ханические блоки) и др. £6]. БПЗ легко соединяются с устройствами АВМ. Необходимо, однако, отметить, что выпускаемые серийно блоки запаздывания довольно сложны по конструкции, а возмож­ ности их ограничены.

Приближенно уравнения (30) и (31) можно решить на АВМ с применением ее решающих устройств; при этом целесообразно ис­ пользовать различные виды разложения e~pz.

Исследования показали, что наилучшей аппроксимацией посто­ янного запаздывания как по точности, так и по количеству ис­ пользуемых решающих устройств АВМ является разложение эк­ споненты в ряд Паде. При осуществлении постоянного запаздыва­

20

фазо-частотной характеристики. Точность воспроизведения уравнений запаздывания (30) и (31) оценивается отклонением реальных характеристик блоков запаздывания или собранных схем из решающих устройств АВМ от идеальных характеристик (33) и (.34) ■

Рис. 7

Решающее устройство, представляющее ОУПТ, в обратную связь которого включены параллельно конденсатор Сос и резистор Roc, а' на входе резистор Ri (см. табл. 2, строка 5), наиболее прос­ то воспроизводит постоянное запаздывание:

Передаточная функция этого устройства имеет вид

Такую же передаточную функцию имеет типовое инерционное, или апериодическое, звено первого порядка САР.

Решающее устройство, воспроизводящее функцию (35), имеет ограниченную область применения вследствие малых допустимых частот входного сигнала и малых времен запаздывания.

При аппроксимации е~рт двумя первыми числами дробного ряда Паде передаточная функция преобразования имеет следую­ щий вид:

Структурная схема воспроизведения постоянного запаздывания с помощью решающих устройств АВМ изображена на рис. 7. Ко­ эффициенты передачи ОУПТ в этой схеме должны удовлетворять следующим условиям:

Величина t может плавно регулироваться изменением коэффициен­ тов передач усилителей, достигая 100 с.

Для воспроизведения переменного запаздывания может быть ис­ пользован стандартный БПЗ с магнитной записью, в котором сис­ темой управления обеспечивается переменная скорость движения магнитной ленты, или электромеханический БРЗ, который пред-

х

ставляет собой стандартный БПЗ с использованием решающих усилителей и конденсаторов, и специальную систему управления. Основывается воспроизведение переменного запаздывания с помо­ щью решающих устройств АВМ на дискретном изменении запазды­ вающего аргумента. Разделив область изменения т(/) на малые интервалы At, можно определить ее квантованные по времени зна­ чения т;. Тогда схему переменного запаздывания можно рассмат­ ривать как схему с постоянным, но периодически меняющимся за­ паздыванием ti и с экспоненциальной передаточной функцией на каждом интервале, которая аппроксимируется рядом Паде. При сохранении только первого члена этого ряда передаточная функ­ ция звена с переменным запаздыванием для каждого интервала At имеет вид

Дифференциальное уравнение этого звена имеет вид

здесь ~н { iAt < t < (/ + 1) Д/} = ~(t = /Д/), где /=0,1,2,...

Структурная схема решения последнего уравнения изображена на рис. 8' (Н/Д—преобразователь непрерывных величин в дискретные).

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1.Что такое моделирование и математическая модель.

2.Какой круг задач решается с помощью АВМ.

3.Какие основные решающие устройства АВМ вы знаете.

4.Какие операции осуществляют эти устройства.

22

Г л а в а II

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НА АВМ

§1 ЭТАПЫ ПОДГОТОВКИ

ИИССЛЕДОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Математические модели (уравнения, которые описывают тех­ нологический процесс и подлежат наследованию на АВМ) принято называть физическими, или моделируемыми, уравнениями, а вхо­ дящие в них переменные— физическими переменными. В АВМ все зависимые и независимые переменные, а также промежуточные ве­ личины изображаются так называемыми машинными переменными- К последним относятся электричеакие напряжения, величины коэф­ фициентов передачи ОУПТ. и делителей напряжения, значения па­ раметров пассивных элементов и др.

Уравнение, характеризующее взаимосвязь между машинными переменными, называют машинным, или моделирующим.

Для решения на АВМ физических уравнений последние необхо­ димо запрограммировать. Программирование на АВМ, хотя и су­ щественно отличается от программирования на ЦВМ, но цели име­ ет те же: преобразование исходного физического уравнения в ма­ шинное и определение последовательности математических опера­ ций, которые необходимо выполнить при исследовании уравнения.

Процесс подготовки и исследования математической модели на АВМ можно подразделить на следующие этапы:

программирование на АВМ, которое включает осуществление следующих операций: подготовка модели процесса (исходного уравнения) к виду, удобному для моделирования на АВМ; состав­ ление структурной схемы набора (соединения) решающих уст­ ройств; расчет масштабов величин (известных, искомых и проме­ жуточных); расчет коэффициентов передачи решающих устройств;

подготовка решающих устройств и набор структурной схемы. Здесь имеем следующие операции: подготовка исходных данных для контроля; настройка решающих устройств (блоков) для полу­ чения заданных коэффициентов передачи; соединение решающих устройств в соответствии с заданной структурной схемой моделиро­ вания; проверка правильности соединения решающих устройств и их настройки;

предварительное исследование исходного уравнения, включаю­ щее выполнение следующих операций: предварительное решение' уравнения и анализ решения с точки зрения правильности и удоб­ ства выбранных масштабов (в случае необходимости делаются пе­ рерасчет масштабов и перенастройка блоков); вторичное предва­ рительное решение задачи;

ооновное исследование математической модели (определение статических и динамических характеристик объектов, значений вы­ ходных параметров при заданных значениях входных факторов и т. п.).

Для подготовки и исследования математической модели техлологического процесса исследователь должен иметь:

математическую модель или физическое уравнение, которое име­ ет единственное решение;

известные числовые значения постоянных коэффициентов урав­ нения;

■начальные условия (значения) переменных;

заданные вынуждающие функции f(x), если уравнение содер­ жит эти функции, описывающие внешние воздействия;

максимальные значения выходных параметров у и их производ­ ных у' и у" (ориентировочно);

диапазон значений параметров, которые должны варьироваться в процессе исследования уравнения.

Бели перечисленные выше характеристики имеются, то после­ довательно выполняются операции программирования на АВМ.

При программировании исследователь решает компромиссную задачу; цель ее — использование минимального числа решающих устройств при исследовании модели, обеспечение минимальной пог­ решности и минимальной трудоемкости исследования, повышение эффективности исследования и получения его результатов.

§ 2. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ИЛИ СИСТЕМЫ ТАКИХ УРАВНЕНИЙ

Подготовка физического уравнения к виду, удобному для моде­ лирования на АВМ, ведется в соответствии с типом этого уравнения и задач его исследования. Теоретически возможны два метода ре­ шения дифференциальных уравнений на АВМ: метод повышения порядка производной на основе использования дифференцирующих устройств и метод понижения порядка производной путем примене­ ния интегрирующих устройств. Последний метод обеспечивает большую точность решения и поэтому является основным при ре­ шении дифференциальных уравнений на АВМ.

Рассмотрим сущность метода прнижения порядка производной на примере решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, имею­ щего вид

24

Заметим попутно, что такие уравнения встречаются при иссле­ довании движения скала на ткацком станке и основовязальных машинах (см. гл. III, § б и 7) и т. д.

Рис. 9

Решая уравнение (40) относительно производной высшего по­ рядка, имеем:

части уравнений (42) и (43) умножаем у на — а0 и у' на щ. Сум­ мируя с помощью сумматора значения — а,у' (или — в\РУ),—ОоУи boxt получаем правые части уравнений (42) и (43), которые равны второй производной и далее интегрируются. В результате имеем блок-схему решения уравнений (40) и (41).

25

Для практического решения этих уравнений «а АВМ составляет­ ся структурная схема набора решающих устройств, т. е. графичес­ кое изображение соединения устройств с помощью их условных обозначений, на базе блок-схемы решения уравнения. При этом необходимо учитывать следующее:

операция умножения непрерывной величины на постоянное чис­ ло осуществляется множительным устройством (см. табл. 1), т. е. ОУПТ с коэффициентом передачи к. Коэффициенты передачи ука­

зываются на схеме; любой ОУПТ изменяет знак выходного напряжения. Поэтому в

схемах для изменения знака переменной попользуется инвертор (см. табЛ. 1). С учетом приведенных двух условий построена про­

это возможно) и воспроизводятся одним суммирующе-интегрирую- щим устройством (см. табл. 1). При этом, кроме сокращения числа интеграторов, повышается точность решения уравнения. Однако при таком объединении теряется возможность индикации произ­ водной высокого порядка на схеме набора. С учетом третьего ус­ ловия окончательная схема набора для решения уравнений (40) и (41) принимает вид, показанный на рис. 9, в.

По структурной схеме набора получают машинное (моделирую­ щее) уравнение, которое находят в результате составления уравне­ ний для каждого решающего устройства, входящего в схему. Каж­ дое же из этих уравнений представляет собой взаимосвязь между входными и выходными напряжениями решающего устройства,:т. е. Ui=f(Vi). Записывать указанные уравнения можно в обычной или операторной форме. Для структурной схемы, приведенной на рис- 9, в, они имеют следующий вид:

d

где s = — — машинный оператор дифференцирования;

т — время процесса моделирования в АВМ.

26

Дифференцируя и преобразуя уравнения (46) и (44), получим:

и (48) или (45), (47) и (48). Однако эту операцию можно и ис­ ключить, если использовать следующие правила:

1)коэффициент (Зо при входном напряжении v равен произве­ дению коэффициентов передачи решающих устройств, последова­ тельно включенных между входом и выходом структурной схемы решения задачи; .

2)коэффициент ао при напряжении и, моделирующем искомую функцию, равен произведению коэффициентов передачи решающих устройств, образующих замкнутый контур, на выходе которого дей­ ствует напряжение и;

3)коэффициент ai при напряжении, моделирующем первую производную и равном «ь равен произведению коэффициентов

передачи решающих устройств, образующих замкнутый контур, на выходе которого действует напряжение ш-

В методе последовательного понижения порядка производной и при составлении с его 'использованием структурной схемы набора легко заметить, что для формирования наивысшей производной тре­ буется большое число входов на суммирующе-интегрирующем уст­ ройстве. Однако с увеличением числа входов на ОУПТ точность его работы уменьшается, в особенности интегратора; поэтому интегра­ торы на некоторых АВМ имеют ограниченное число входов (напри­ мер, в машине МН-7 три входа).

Указанный недостаток рассмотренного метода решения уравне­ ния и построения структурной схемы снимается, если дифференци­ альное уравнение п-го порядка преобразовать в систему из п урав­ нений первого порядка, которые решаются совместно.

27

Ниже приведен пример решения уравнения второго порядка, для которого моделируемое уравнение имеет вид (42), а модели­ рующее— (51). Последнее уравнение преобразуем:

Врезультате получены два дифференциальных уравнения (54)

и(55) первого порядка, отдельные структурные схемы для которых см. на рис. 10, а и б. Осуществляя необходимые связи между соот­ ветствующими входами и выходами решающих устройств, как это показано на рис. 10, в, получим структурную схему набора для ре­ шения уравнения (42).

.Рис. 10

При сравнении схем, изображенных на рис. 9, в и 10, в, можно заметить, что число используемых усилителей при решении по двум методам одинаково, однако число входов на суммируюгце-интегри- рующем устройстве при преобразовании уравнения второго порядка в систему уравнений первого порядка сокращается-

Приведенный метод решения двух дифференциальных уравне­ ний (54) и (55) и составления структурной схемы их набора при­ меним для решения системы однородных (х=0) и неоднородных (;с=£0,х'=0) дифференциальных уравнений вида (42) или (43) раз­ ного порядка.

28

§ 3. РАСЧЕТ МАСШТАБНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ И КОЭФФИЦИЕНТОВ ПЕРЕДАЧИ РЕШАЮЩИХ УСТРОЙСТВ

*

АВМ с набранной на ней структурной схемой для моделируемо­ го уравнения или системы уравнений превращается в динамическую систему, которая описывается машинными уравнениями. Чтобы из­ менение переменных на выходах решающих устройств АВМ было подобно изменению физических переменных моделируемого процес­ са или объекта, машинные уравнения должны быть связаны с ис­ ходными уравнениями эквивалентными-преобразованиями.

Преобразование исходных уравнений в машинные осуществля­ ется: 1) путем введения масштаба для физических переменных с целью преобразования их в машинные переменные, ограниченные по абсолютной величине предельным рабочим напряжением на АВМ (±100В); 2) путем введения машинного времени т для ус­ корения или замедления процессов в АВМ по сравнению с реаль­ ным процессом.

Операцию перехода от физических переменных к машинным часто называют масштабированием. Последнее проводится с по-: мощью масштабных соотношений (или масштабов)

либо масштабных коэффициентов

Бели масштаб М показывает, сколько единиц физической вели­ чины приходится на 1 В, то масштабный коэффициент К — это от­ ношение числа вольт к единице физической величины. Очевидно,

~ 1

что К = т; •

м

В простейшем случае масштабные коэффициенты для зависимой переменной у и независимой временной х могут быть приняты на основании известных максимальных значений «/max и хтах, т. е.

Ушах

Необходимо иметь в виду, что исследование модели, происходя­ щее при наибольшем допустимом уровне напряжений, обеспечива­ ет наименьшую погрешность. Фактически в современных АВМ ниж­ ним пределом для максимальных значений машинных перемен­ ных целесообразно считать 5—10 В. Основная трудность при опре­ делении масштабных коэффициентов заключается в выборе г/тах и ХтахОбычно максимальные значения физических переменных