книги из ГПНТБ / Сарингулян, Э. В. Арифметические и логические основы цифровых машин учеб. пособие

В целом ряде случаев синтез элементов и узлов первого класса сводится к решению подобных задач для цифровых автоматов с нулевой памятью, которые относятся ко второму классу. Цифровые автоматы второго класса преобразуют ин­ формацию в зависимости от значения входной последователь­ ности сигналов и называются комбинационными или логиче­ скими. Реализация заданного алгоритма функциональной схе­ мой автомата без элементов памяти достаточно просто осуще­ ствляется при использовании аппарата алгебры логики. Кро­ ме того, при решении задач анализа и синтеза логических схем алгебра логики позволяет находить наиболее простые функ­

ложно. Значение истинности высказываний при логическом описании схем ЭЦВМ оценивается единицей, если оно истинно, и нулем, если оно ложно. Если значение истинности высказы­ вания не зависит от значений истинности других высказыва­ нии, то такое высказывание является простым. Простое выска­ зывание рассматривается в задачах анализа и синтеза как двоичная, или логическая, переменная, принимающая значе­ ние 0 или 1.

Если значение истинности высказывания зависимо, то вы­ сказывание называется сложным. Сложное высказывание рас­ сматривается как логическая функция, которая принимает только значение пуля или единицы в зависимости от двоичных аргументов, и определяется как двоичная, или переключатель­ ная, функция. Нз логических операций, или связей, рассмот­ рим те, которые наиболее часто применяются в решении задач анализа и синтеза элементов и узлов цифровых машин.

Отметим 'некоторые свойства переключательных, или логи­ ческих, функций [2]:

1) любая логическая функция п аргументов определена на 2п наборах (набором называется совокупность значений аргу­ ментов) ;

2) число различных логических функций п аргументов равно 2т\

3) каждой логической функции соответствует 2,!-разряд- ное число, количество различных чисел при этом равно 2'т.

Переключательные функции в общем случае образуются в результате логических операций над логическими переменны­ ми и могут быть заданы таблицами своих значений в зависи­ мости от значений аргументов. Подобные таблицы носят наз­

50

Функция /о (а) на обоих наборах равна нулю и поэтому оп­ ределяется константой куля. Функция fi (а) принимает .на набо­ рах те же значения, что ;и аргумент а,и называется (Переменной а. Функция / 2(а) принимает значения, противоположные значе­ ниям аргумента, и носит название инверсии х или отрицания х. Черта над аргументом имеет смысл знака отрицания. Функ­ ция /з(а) тождественно равна 1 на обоих наборах и поэтому определяется .константой единицы.

Существует шестнадцать различных логических функций двух аргументов (а, у), каждая из которых определена на че­ тырех наборах.

Остановимся на наиболее часто применяемых логических функциях при решении задач анализа и синтеза преобразова­ телей цифровой информации.

Логическое отрицание

Рассматривая отрицание как некоторую логическую функ­ цию, можно записать:

/ ( а-)=--л-. (3.1)

В цифровых автоматах отрицание реализуется логическим элементом НЕ, часто выполняемым в виде схемы инвертора. Выходные сигналы элемента НЕ формируются в зависимости от сигналов на входе в соответствии с табл. 3.1 (рис. 3.1).

Ь

Т а б л и ц а 3.2

СЛ

Табличное задание переключательной функции двух аргументов

Наборы

Логическое умножение, конъюнкция

Рассматривая конъюнкцию, или логическое умножение, в виде некоторой переключательной функции двух аргументов, запишем (табл. 3.2):

нулю, когда хотя бы один из аргументов принимает значение нуля.

Реализуется логическое умножение в машинах с помощью элемента И, называемого также схемой совпадения Си. При двух входах на элементе И он известен в литературе как вен­ тиль или клапан. В соответствии с логической функцией fix, у) выходной сигнал на элементе И принимает код 1, если на входе все сигналы имели значение 1 (табл. 3.2, рис. 3.2).

f ( a c ,y ) = х у

Рис, 3.2

Логическое сложение, дизъюнкция

Дизъюнкция, или логическое сложение, как логическая функция двух аргументов представляется в следующем виде

(табл. 3.2):

ция принимает значение 1.

Логическое сложение может быть выполнено по отношению к нескольким переменным.

Тогда

/(■■И, Л'а, а 3, . . . , а „) = Aj V -v2V -v3 V •■ V х п.

53

Дизъюнкция принимает значение единицы, если хотя бы од­ на из переменных х, имеет значение единицы, и функция рав­ на нулю, когда все аргументы равны нулю.

Логическое сложение в электронных цифровых вычисли­

нал кода 1 па выходе элемента ИЛИ формируется при дейст­ вии на его входах хотя бы одного сигнала кода 1.

Рис. 3.3

Логическая неравнозначность, логическое суммирование по модулю два

Рассмотрим логическую неравнозначность как некоторую логическую функцию двух аргументов (табл. 3.2)

У ( Х , У ) = Х ** У ими / ( X , у ) = Х О у, <3

Определяя эту функцию как логическую операцию суммиро­ вания по модулю два, можно провести аналогию с операцией арифметического сложения без учета переноса в следующий старший разряд.

Неравнозначность реализуется с помощью логической схе­ мы ИЛИ— ИЛИ, сипнал на выходе которой принимает код 1, если один из входных сигналов равен единице, а другой нулю

54

Реализация этой функции осуществляется с помощью эле­ мента запрета ЭЗ, который обеспечивает выходной сигнал кода 1, если по запрещающему входу действует сигнал кода О

(рис. 3.5).

1гпрещзющии вход,

аЗэпрещэющий вход

Рис. 3.5

Если проанализировать возможность выражения одних ло­ гических функций через другие, то можно отметить, что логи­ ческое умножение является отрицанием операции Шеффера, логическое сложение — отрицанием функции Вебба, логиче­ ская равнозначность— отрицанием логического суммирования по модулю два, импликация двух высказываний—отрацаииим функции запрета. В рассмотренной группе переключательных функций логические зависимости взаимно попарно инверсны. Выявляется возможность осуществления логических зависимо­ стей через рассмотренную совокупность логических элементов: НЕ, И, ИЛИ, ИЛИ— ИЛИ, ЭЗ. На рис. 3.6 показаны схемы реализации операции Шеффера, функции Вебба, логической равнозначности, импликации xby. Техническая задача нахож­ дения совокупности логических элементов, с помощью которых можно реализовать любую логическую схему, определяется математической задачей отыскания функционально полной си­ стемы логических функций для выражения любой сложной логической зависимости [2].

Примерами функционально полных систем, или базисов, служат:

1) отрицание, конъюнкция, дизъюнкция;

2) конъюнкция, отрицание;

3)дизъюнкция, отрицание;

4)операция Шеффера;

5)стрелка Пирса.

В книге Поспелова Д. А. «Логические методы анализа и синтеза схем» приводятся доказательства образования бази­ сов указанными системами, основанные на теореме о пред­ ставлении любой переключательной функции через конъюнк­ цию, дизъюнкцию, отрицание и на формулах преобразования исходных переключательных функций в другие логические за­ висимости.

55

Рис. 3.6

Одна из основных задан синтеза схем ЭЦВМ заключается в выборе элементов для построения логических схем. Большое разнообразие функциональных структур в машине определяет основное требование к выбору логических элементов: возмож­ ность путем последовательного соединения элементов и пере­ становки их входов получать любую сложную логическую схему. При анализе и синтезе цифровых автоматов преиму­ щественно используется первый базис:

/(л-) — л-, f ( x , у) = л-■у, / (-V, у) = л- V У,

реализуемый набором логических элементов НЕ, И, ИЛИ.

Свойства логических функций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания

Логическое сложение и логическое умножение обладают рядом свойств, аналогичных свойствам обычных операций сло­ жения и умножения. Можно убедиться в этом, рассмотрев ос­ новные законы алгебры логики:

1. Переместительный закон, закон коммутативности, для логического сложения

56

3. Сочетательный задан, закон ассоциативности, для логи­ ческого сложения

4. Сочетательный закон, заков ассоциативности, для логи­ ческого умножения

последнее равенство не имеет места в обычной алгебре.

Таким образом, логические зависимости, содержащие опе­ рации дизъюнкции и конъюнкции, можно преобразовывать по правилам обычной алгебры, считая формально дизъюнкцию операцией сложения, а конъюнкцию — операцией умножения.

Выражения (3.6), (3.7), (3.8), (3.9), (3.10) аналогичны со­ ответствующим формам законов обычной алгебры, что позво­ ляет над логическими функциями выполнять действия как над алгебраическими зависимостями: раскрывать скобки, заклю­ чать скобки, выносить общий множитель.

6. Закон инверсии для логического сложения

Взяв отрицание от обеих частей приведенного равенства, получим соотношение

х V У — х у,

которое выражает дизъюнкцию через конъюнкцию и отрицание. При п переменных, связанных операцией логического сло­

жения, закон инверсии имеет следующую аналитическую форму:

пгг

2 = П

/-1 i=i

7. Закон инверсии для логического умножения

Применив отрицание к указанному равенству, получим вы­ ражение конъюнкции через дизъюнкцию и отрицание

ху ~ х V V.

57

Распространяя закон инверсии на логические функции с п переменными, связанными операцией конъюнкции, молено записать

ПП

П•*/= 2

i~i с-=1

Закон инверсии не имеет аналога в обычной алгебре.

Рассмотрим теперь ряд простых, но весьма важных соот­ ношений при эквивалентных преобразованиях сложных логи­ ческих функций к более простому виду:

II как следствие из приведенных соотношений получаем:

А V А V А V а V ... V А = а;

А Л А Д А Л а Л ... Л А = а ;

А V У V Z у7А 2= 1:

x - y - z - y = 0.

Часто для упрощения сложных логических функций исполь­ зуются следующие зависимости:

а V ху — х — операция поглощения; (3.22)

58

§ 3.2. Формы логических функций и их минимизация

Любая логическая функция может быть выражена различ­ ными формами в зависимости от способов применения элемен­ тарных логических операций к переменным и их группам.

При задании переключательных функций таблицами истин­ ности переход к аналитической записи с помощью операций первой функционально полной системы наиболее удобно для практического применения выполнять в нормальной дизъюнк­ тивной или нормальной конъюнктивной формах. Для образо­ вания этих форм введем некоторые понятия.

Логическая функция и переменных, принимающая значение единицы только на одном из наборов, называется конституентой единицы, или элементарной конъюнкцией. На остальных

равно также 2п. Котиституенту единицы Q выражают через ло­ гическое произведение переменных и их отрицаний. Для логи­

стный случай конституент единицы. Учитывая значения пере­ менных на соответствующих наборах, конституенты единицы можно представить через логические произведения аргументов следующим образом:

Отрицания берутся над теми переменными, которые на на­ борах, на которых функция равна значению 1, имеют код 0.

Число переменных, составляющих элементарную конъюнк­ цию, называется ее рангом. Для приведенных конституент ранг

т= 2:

fi (х, у) = Q P ; / 2(х, у) = Q<2>; / 4(х, у) = QW .

При выполнении преобразований логических функций ис­ пользуются понятия соседних и изолированных [конъюнк­ ций [1].

Элементарные конъюнкции Q(m) и Qt%m) т-го ранта являют­ ся соседними, если возможно последующее их преобразование:

59