книги из ГПНТБ / Сарингулян, Э. В. Арифметические и логические основы цифровых машин учеб. пособие

2) применение двоичной системы счисления дает возмож­ ность достаточно просто реализовать арифметические и логи­ ческие операции. Это обстоятельство существенно упрощает функциональный состав машины.

В табл. 2.1 и 2.2 показано сложение и умножение двоичных цифр.

Арифметические операции над двоичными многоразряд­ ными числами выполняются аналогично операциям в десятич­ ной системе счисления (табл. 2.3).

]0

Разряды двоичных чисел принимают значения 1 или 0. Эта особенность позволяет путем несложного схемного решения реализовать логические операции, содержащие поразрядное сравнение кодов, выделение части числа, сдвиги и т. д.

К недостаткам двоичной системы следует отнести необхо­ димость перевода исходной информации, представленной в об­ щепринятой десятичной системе, для ввода в машину. Резуль­ таты решения задачи целесообразно выдавать из машины в десятичной системе. Таким образом, необходимо осуществлять обратный перевод, выполняемый также по специальной про­ грамме.

Универсальный алгоритм, на основании которого выпол­ няется 'перевод из одной системы счисления в другую, заклю­ чается в последовательном делении целой части числа и полу­ чаемых частных на основание новой системы и последователь­ ном умножении дробной части исходного числа и получаемых произведений на то же основание, представленное в исходной системе счисления.

Если представить в системе счисления с основанием q це­ лую часть числа N n (2.1) в виде [1]:

yv;,<7)== + (/v,;_ I. F - 4 - ^ , - 2 - ^ - 2+ • • • -f д ^ '+ л д , (2.2)

где k— основание новой системы, то при последовательном де­ лении приведенного выражения, записанного цифрами систе­ мы q, на основание k будут определяться остатки, которые представляют собой цифры целой части числа в новой системе счисления. Процесс продолжается до получения частного, рав­ ного нулю. Остатки Nj являются цифрами переведенного чис­ ла, причем остаток N „_, представляет собой старшую цифру.

Если представить в системе счисления с основанием q дробную часть числа Л/лр в виде

M § = ± ( N - r b - l + N - 2- k - * + ■ • • 4 - А ^ .А - " 1). (2.3)

то путем последовательного умножения дробной части исход­ ного числа и дробных частей получающихся произведений на основание новой системы счисления k будут найдены все целые части, которые являются цифрами дробной части взятого для перевода числа в системе k. Первая после умножения целая часть TV-j представляет собой первую цифру дробной части переведенного числа.

Рассмотрим примеры перевода чисел.

Пример 1. Перевести из десятичной системы счисления число Л^к» =249,17 в двоичную систему по изложенному выше алгоритму.

Представим целую и дробную части числа A'(i0):

11

Для перевода целой части числа Л^ш) выполним после­ довательное деление частных на основание двоичной системы,

принимая за первое частное Л/цо) исходное число.

2 остатки

Э1

1 1

Для перевода дробной части числа Nfw) выполним после­ довательное умножение значений числа после запятой на осно­ вание 2.

144

2

088

Км

176 и т. д.

Порядок считывания двоичных разрядов целой и дробной ча­ стей переведенного числа показан стрелками. При переводе десятичной дроби количество двоичных разрядов определяется заданной точностью, в данном примере выбран знак после за­ пятой.

249,17(io) -*■ 11111001,0010101(2).

Пример 2. Перевести из двоичной системы счисления число *Y(2) =dil01Oil 11,101001 в систему с основанием 10, пользуясь приведенными выше правилами.

12

Основание десятичной системы счисления в исходной систе­ ме имеет следующую запись 1010. Тогда при переводе целой части числа остатки от деления будут определены:

Проанализируем результат: последовательного умножения при переводе дробной части:

Значение первой целой части Л /_,= 110 является первой после запятой цифрой исходного числа в новой системе счисления, изображенной в системе с основанием 2.

110(2) 6(Ю).

Аналогичные рассуждения можно провести и для 'последую­ щих разрядов дробной части переведенного числа:

Л'_2= 100. 100(2) ->■4(10).

Т огда

Л$) = 0,101001

имеет десятичный эквивалент

Л'?1Ро; = 0,64.

Искомое число

А;(1Р) = 215,64.

Приведенные правила перевода чисел из одной позицион­ ной однородной системы счисления в другую следует приме­ нять, учитывая особенности записи и выполнения арифмети че­ ских операций в исходной системе.

Рассмотрим пример перевода числа из восьмеричной в двоичную и затем в десятичную систему счисления. Для второ предварительно приведем таблицу записи ряда чисел в систе­ мах с основаниями 10; 2; 8 (табл. 2.4).

13

Восьмеричное число =273 перевести в двоичную си­ стему.

Основание двоичной системы имеет восьмеричную запись 2. При переводе будем последовательно делить /Vw на 2, поль­ зуясь правилами исходной оистемы.

14

Для получения десятичного эквивалента числа /фа; = 273 представим основание этой системы в восьмеричной записи: 10(io;-> 12(В;. Тогда в соответствии с правилами перевода

3)1(8) : 12,8)== 0 остаток 1(8)Ч- 1,,^,

273(8) -*■ 187(Ю).

Для проверки переведем вычисленное десятичное число Т/оо) в двоичную систему счисления. При делении на основа­ ние 2 образуется полученный ранее двоичный эквивалент

Для ввода исходных десятичных чисел в машину необхо­ димо их представить с помощью тех двухпозиционных элемен­ тов, на которых выполнены блоки и узлы машины. Эту задачу позволяет решить так называемая двоично-десятичная запись.

Чтобы изобразить десятичные цифры через двоичные раз­ ряды, необходимо выделить четыре разряда, имеющих веса 2°, 21, 22, 23. Тогда любая десятичная цифра может быть пред­ ставлена соответствующей двоичной тетрадой, например,

8(Ю) 1000(2), 3(Ю) —v 0011(2), 5(Ю) -> 0101(2) и т. д.

Двоично-десятичное кодирование состоит в замене каждой десятичной цифры числа определенной двоичной тетрадой. На­ пример, десятичное число 7V(io, =941,375 при двоично-десяглч- ном кодировании будет преобразовано следующим образом:

При обратном переводе число в двоично-десятичной записи разбивают на тетрады и заменяют их эквивалентными деся­ тичными цифрами. Например,

0010 1000, 001_^ ОЮ^(2/1о)-> 28,35(,0).

15

Как видно, ни прямой, ни обратный перевод при двоичнодесятичном кодировании не связан с арифметическими опера­ циями. Эту особенность рассмотренной формы записи исполь­ зуют во внешних устройствах машины, где с помощью шифра­ торов в процессе набора исходных десятичных чисел последние изображаются обычно в виде системы пробивок, соответст­ вующей двоично-десятичному коду, на перфолентах или перфо­ картах. Затем устройства ввода преобразуют двоично-десятич­ ные коды в последовательность электрических сигналов для передачи их во внутренние устройства машины, где по специ­ альной программе осуществляется дальнейший перевод двоич­ но-десятичных кодов в двоичную систему счисления. И затем уже весь вычислительный процесс в ЭЦВМ реализуется по двоичной системе.

Перевод из двоично-десятичной формы записи чисел в двоичную обычно выполняется в машинах по вависимости (2.1). По этой зависимости каждая десятичная цифра числа множится на основание десятичной системы в соответствую­ щей степени, причем арифметические операции в процессе пе­ ревода реализуются по двоичной системе. Двоичный код вы­ числяется как сумма полученных произведений.

Например,

Двоично-десятичное кодирование используется также как про­ межуточное при выводе из машины результатов решения, кото­ рые предварительно необходимо преобразовать из двоичной в десятичную систему.

В некоторых машинах двоично-десятичная запись является основной (отечественные машины «Эра», «Преминь»). Это поз­ воляет при некотором увеличении оборудования машины ис­ ключить необходимость программного перевода чисел при из­ менении системы счисления.

Если исходная числовая информация представляется в де­ сятичной системе, то командная информация (номера команд, коды операций и адреса) при программировании кодируется па бланках в восьмеричной системе, характеризующейся сле­ дующей особенностью.

Восьмеричная система счисления имеет основание 8, пред­ ставляющее целую степень основания 2(8=^23). Поэтому пере­ вод восьмеричного числа в двоичный эквивалент прост и со­

16

диапазон изменения величин, используемых в процессе реше­ ния, чтобы с помощью подбора масштабов исключить как пе­ реполнение разрядной сетки, так и возникновение машинного нуля. Представление чисел в естественной форме используется в основном в специализированных цифровых машинах, где круг решаемых задач вполне определен.

На рис. 2.1 показано возможное распределение разрядов регистра числа в машинах с фиксированной запятой.

Рис :.i

Взнаковом разряде находится знак числа, при отрицатель­ ном значении используется код 1, при положительной величи­ не фиксируется код 0. В регистре (рис. 2.1) записано число —

0,101...01.

Вдругом классе цифровых машин положение запятой ука­ зывается для каждого числа — это машины с плавающей за­ пятой или с учетом порядков. Определение места запятой эк­

вивалентно представлению числа N через его дробную цифро­ вую часть Л;лр и порядок р.

Дробная часть N 4' называется мантиссой числа N. Обычно мантисса Л/дрпо модулю меньше единицы (j Л/лр |< 1) и имеет свой знак, соответствующий знаку числа.

Величина порядка р, представляющая целое число, опреде­ ляет положение запятой в мантиссе. Группа порядка р имеет свой знак, характеризующий направление движения запятой в числе. С изменением порядка запятая как бы «плавает» в изображении числа.

На рис. 2.2 показана возможная запись числа двумя груп­ пами: группой мантиссы Л/Др и группой порядка р ,в разрядной сетке машины.

18

Рассмотренная форма изображения числа в машине называет­ ся нормальной. Если первая цифра мантиссы ЛА’ Р равна еди­

нице < Л ^ Р< lj, то представление числа N в этом случае

называется ненорм ализов аниым.

Врезультате арифметических операций с нормализованны­ ми числами может образоваться число в ненормализованной форме

Л/, — 2р• /У,Лр,

матически за счет сдвига разрядов Л //1’ на к единиц влево и

ление чисел с порядками повышает точность вычислений в ма­ шине, так как сохраняется в разрядной сетке большое число значащих цифр. При сложении нормализованных чисел и ма­ шинах с плавающей запятой может возникнуть переполнение разрядной сетки, приводящее к образованию единицы слева от запятой. Такое переполнение устраняется сдвигом мантиссы на один разряд вправо и увеличением порядка на единицу. По­ добное приведение числа называется «нормализацией впра­ во». Переполнение более чем на один разряд встречается в ма­ шинах с плавающей запятой редко. Отсюда следует основное достоинство этих машин — широкий диапазон представления чисел за счет группы порядка.

Нормальная форма представления чисел усложняет, одна­ ко, реализацию операций в машине, так как становится необ­ ходимым выполнять дополнительные действия над порядками. Поэтому изображение чисел с плавающей запятой использует­ ся в универсальных цифровых машинах, где круг решаемых задач весьма разнообразен.

Некоторые ЭЦВМ могут (выполнять вычисления в нормаль­ ной или естественной форме, выбранной в зависимости от ха­ рактера задачи.

§ 2.3. Машинные коды

Исходные данные, а также промежуточные результаты в машинах могут быть положительными или отрицательными числами. Для изображения положительного знака использует­ ся двоичный код 0, для отрицательного — двоичный код 1, расположение которых примем перед старшим разрядом ман­ тиссы с отделением запятой. В числах с плавающей запятой