книги из ГПНТБ / Рассудов, В. М. Некоторые задачи термоупругости пластинок и пологих оболочек

H=-D(l

- V ) T ,

„ „ „

D

Eh

r\

E h 3

где

В =

- ,

'

D —

12 (1 — v-)

1 - v»

,

dS

0,

дх

ду

dS

О,

дх

ду

, dN2

,

7", +

2sS-\-tT2

= 0,

(17.

12)

дх

-г——h

ду

дМ{

,

дН

дх

'

ду

дМг

дН

N9

=

0.

ду

дх

+

Подставляя

в третье

уравнение

перерезывающие

силы

Ni, N2, найденные

из

четвертого

и пятого уравнений, имеем:

дх

ду

dS

,

дТ,

=

0,

(17.

13)

дх

ду

дх*

~

дхду

~

ду2

г

1

'

^

*

7, =

^ ,

S

7,

= ^

.

(17. 14)

1

ду*

дхду

2

дх'

V V я * - (г

f ? -

2 s - g - +

t^-\

= -

f (1 +v) V s

(Щ-

\

ay2

дхду

dx'

)

h

15)

(17.

д-е{

д3г.,

а!ш

/

d2w

0

d-w .

,

dsw \

п

dy-

Г'

3

Avdy

'г

dif-

2 5

дхду

1

\- t

дх*

= О,

c».v

V

'

"

1

\(r +

4t)w] —

а*-'

1

2

dif

'

2

d.v%

а.с

J

— ( L - v ) —

= a ( l - f v ) - a e "

ay

dx

d*v

,

1 — ч

d*v

,

1+v

d2M

a r /

,

„

,

—

\hr-\-t)w\

dy2

'

2

a ^

2

ал%

ду 14

7

J

- ( 1

- v ) ^ - ( S ™ ) = a ( l + v )

dy *

а*

4 7

4

' 7

V 2 V ' ^ +

[ r 2 + 2 v / - £ - f - ^ - f - 2 ( l - v ) s a ] a / -

+ - ^ - ) ] = - - a - ( l + v ) V 2 ( A 6 ) -

a ( l+ v ) A ( r + i

) Q m .

^

(17.

18)

V 2 e m =

0,

(17.

19)

V 2 ( A @ )

= 0.

(17.

20)

z=f(x,y)=AQ*+Alx

+

Aiy

+

4r(rQxZ

+

tQy%

(17.21)

где Л о, Л ь

Л2 , Го, u

• постоянные.

В этом случае

=

= г0>

ay

0,

. t - S L = t.

дхду

дх*

Дифференциальные уравнения

в

перемещениях

(17.18)

для данного случая с учетом

(17.20)

запишутся

так:

д'и

1 — у

д*и

1+v

d*v

,

,

, >

dw

• « ( l + v ) ^ ,

дх*

2

1й?

—

(ГпН-v t0 )

дх

,

1— v

,

2

дхду

1

0

0

/

дх

d'v

d2v

1+v

д2и

,

i

/ ч

dw

a ( l +

V>

дв„

7уТ

+ — - д

^ +

Т

с ^

у

-

~

(

7

Г о +

to)~d7

ду '

(17.

22)

V 2 4s™ + ~ (rQ2

+ 2 v rot0

+ t0*) w

_B_

I ди

dv

\ ,

D

dv

du

K ] d f / j ( dx / . v = u

v

=

[(2+v) *0

- r 0 ] _

+

(vr0

+

* 0 ) — +

" у

-v

д'

+ a j ' e f f l

d y - a j d ^ J ^ j ^ ,

^

=

V 2 V 2 0 .

(17.23)

о

и

о

После

подстановки

(17.23) в (17.22) с учетом (17.19) пер­

вые два уравнения (17.22) обращаются

в тождества,

а третье

уравнение приводится к виду

V 7 W

Ф + *

+

2 г Л

^ + , . • - £ - ) = О,

„

12(1 — v>)

(17.

24)

где п2 =

—

.

л2

Таким образом, после определения закона распределения

температуры в пологой оболочке решение ее термоупругой

задачи сводится к интегрированию дифференциальных урав­

нений (17.15) и (17.17) или (17.18), или же (17.24) с учетом

граничных условий. Приведем

наиболее распространенные

случаи граничных условий.

Для края оболочки

с нормалью

я, направление

которой

в дальнейшем будем считать совпадающим с направлением

осей

ох или ог/, граничные условия в нормальном направле­

нии могут иметь вид:

1)

край жестко заделан:

w = О,

=

0;

2)

край шарнирно оперт:

dn

те; = 0,

М„ =

0;

3)

край свободен:

.

.

.

,

М„ = 0,

N„+-^=0,

где — - .— производная

по дуге контура,

т. е.

и л и — .

оЬ

условия в

тангенциальном

дх

ду

Граничные

направлении могут

быть, например, следующими:

в

направле­

1 ) кран

может свободно перемещаться как

ничных условий

в тангенциальном

и нормальном направле­

ниях.

§ 18. Решение тепловой и термоупругой задач

методом суммы двух тригонометрических рядов [21]

Рассмотрим

пологую оболочку,

перекрывающую прямо­

угольный

план

со сторонами о и b

(рис. 8), у которой г =

= / - 0 , s = 0 ,

t = t 0 .

5 Заказ 2749

65

Пусть

при

х =

0

' в и = / , (у),

Дв =

/ 2 ( у ) ,

ири

х =

а

в „ = / 3 ( у ) ,

Д 6 = / 4 ( у ) ,

при

у ^ О

в т = / , ( * ) ,

А в =

/ С ( х ) ,

(18. 1)

при

у =

Ь

в „ , = / 7 ( л ' ) ,

Д.в =

/„(*) .

Запишем

решения уравнении

(17.19),

(17.20) в форме

оо

оо

в т (х,

у)

=

2 хП) (х) sin

4 - ^

т,(» (у) sin

,

ОО

м

Дв (х,у)

=

У

x f (*) sin

+ У .

< (У) sin

.

* - 1

ft=l

Ь

1

*

b \

,](/) =

mW ch —^- + a w sh

(н- =

1,2)

(18. 3)

Разложим

функции / ; (у), / 7 (х), входящие в условия-(18.1),

в ряды

6

а

4 ° ~ f J / / (У) s i n ^ ^

* У = " 7 J /

/ <*)s i *

( / = 1 , 2 , 3 , 4 )

(/ =

5,6,7,8)

"к i

к

— ft

b

Ч k

к > 4 k

1к

s h

а

ft«

— b

l

^

- l

f

Ch - f

ft*

/ ( 2 » =

a

*

,

< > =

45 >.

< >

= X(«>,

s h

ft*

—

X <7> -

X (?) ch - f

ft*

X f

-

X f

ch - J - ft*

л п ) =

:

*

•

_

* —

к

' f t

sh —b Ал

sh

— b

ft*

•

5)

(18.

при

х = О,

х — а

v — Тх — w = M i = 0 ;

при

у=0,

y = b

u=T2 = w = M2 = 0. (18.6)

о

О

U

K 2 + v > r o - ' o l

a ^ + ( ^ . + v « - ^ - = - е „ „

(18. 7.)

V s V 2 * = 0,

- | ^ - ( V 2 V 2 < 5 ) = - 4 - ( l + v ) A 6 ;

5*

67

tf4

^ ( т - ) ! ^ + ( х )

£

rf4

rfx4

'•о

rf*4

2

Art \4

] %

W =

0,

(18. 10)

dy

[a

I is*

\ а I

Ч»А 0/) =

0.

(18. 11)

Как

следует из вида

уравнений

(18.10),

(18.11), если мы

найдем

функцию

<?к(х),

то функцию

фА (у)

получим за­

меной х на у, b на а и переменой 'местами г0

и /о. Поэтому бу­

уравнение, соответствующее

(18.10), имеет вид

V -

кк V

toSk1

к- \а

Его корни

Sk I = ck -f-

sf t 2 = — (cA +

, sk3 = ek + ifk ,

= — ifik-ИЛ), sk5 =

ck~ idk, s f t 6

=

— (ck —

idn),

Sk 7 = ek — ifk> sk3 = — (ek — ifk),

+

nt2

n

I

VT.ak+bk

+

+

+ / 2 "

2

• fl*~^

. 2

v T .

s

(18. 12)

b I

у Y

— bk

VT

+

b

VI

\2

_ ак — bk

"1

- VT J

1/T{/^(T)4 ^-^ 16

* ( W o ) } ,