Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Рассудов, В. М. Некоторые задачи термоупругости пластинок и пологих оболочек

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

3.96 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 164 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

ния. Здесь и в дальнейшем значок плюс приписывается ве личинам, относящимся к правой полосе пластинки, значок минус — к (величинам левой полосы. К геометрическим усло виям (10.1) необходимо добавить еще статические условия. Для их вывода воспользуемся принципом возможных пере мещений [24], согласно которому при равновесии упругой системы вариация 6 V = 0 , где V — потенциальная энергия де формации пластинки и ребра жесткости (считаем, что внеш ние силы отсутствуют).

С учетом гипотез Кирхгофа-Лява для каждое из полос пластинки потенциальная энергия запишется в виде

Vn «

i - J J j [о ± ( £ ) ± +

<?,

±]

dxdydz.

(10.

Здесь в соответствии с

(2.1), (2.2),

(2.9) и

(2.11)

( ^ ) ±

ег—

а®,

( е у ) ± =

^ - а е ,

{вху)'- —

еху.

(10.

•.

дг1»±

даю±

д*1£)~

„ ,

х ±

х,,-

х±

, 0 (х, у, z) =

дх"-

ду*

дхду

К ' J }

а напряжения определяются .формулами (2.10).

| ^ + v ^ - a ( l ^ v ) 6 ) ,

1 — V

у —

l e ± + v e ± - a ( l + v ) e ] .

(10.4)

2 (1 +

A '-v>

Подставив

(10.3),

(10.4)

в формулу (10.2)

и проинтегрировав

по z,

получаем:

V « ~ T D

Я 1 (

х * +

* 2 ± ) 2 ~ 2 ' ( 1

~ v ) ( у *

' ^" ~ т ± 2 )

A a A e ( l + v ) ( x ± + X±) + - ^ a ^ 0 2 ( 1 + , ) ] d x d > ) .

( Ю . 5 )

Потенциальная энергия .ребра жесткости с учетом его де формации изгиба и кручения имеет вид

1 / р = 4 Г [ £ / V + c r » + 2 a - ^ - Дв0 *3 + « 2 - ^ - Д в 0 г ] Л / ,

~ 7		(10. 6)
где с — жесткость при кручении,	ho — высота ребра,		/ — мо
мент инерции его поперечного сечения, Д80		— перепад	темпе
ратуры по толщине ребра.
При идеальном тепловом контакте между граничными
плоскостями пластинки и ребра	во всех	точках контакта

должны быть равны температуры, а также тепловые потоки через эти плоскости, т. е.

					' е = е 0 .						( ю . ч 7 )
						дх		дх '
где	во — температура в					точках		ребра. Считая,		что	темпера
туры		пластинки		и ребра		по	толщине		меняются	по закону
в	=	— Дв,		в 0	= —	Д в 0 , из		условий (10.7)		получаем
					Д Э 0 - - ^ Ь Д 6 .						(10. 8)
							Л
	Потенциальная энергия деформации всей упругой										системы
			V =		V n + +	Vn+		Vr		-	( 1 0 . 9 )
Вычислив			6V с учетом' (10.1),					(2.14)	и приравняв эту вариа
цию нулю, получим
				ь_
			Х$	2
		IV =	—	J	V дх*	^ + 2		1		2-)bw-dxdy-
			J	J	V дх*	т	дхду		ду* I
			a	b
			2	2
			а_ Ь_
			2	2
					— —	+ 2		1	— )bw+dxdy~\-

дх*

дхду

дуг

" 1

дм:

•2

дН~

I dw

дх

ду

\bw--M~\b

дх

дМУ

дН+

(

дх

дМ.Г

дН~

I dw

- j -

ду

дх

ду •)]

<Ш2 +

<ЭЯ+

(

dw+

+ 2 -

Ас

\EI

ll^+JLmbbw-cZ-bl^

v <V 1

dj/«

ду

[дх

)

dy +

Л0

/ dw

— 2M+ bw+

[

'a •

x э

У- ±

2Ь

(10.

10)

Двойные интегралы в формуле

(10.10)

равны нулю в силу

уравнений

равновесия

(2.16),

часть

контурных

интегралов

и ряд

других

слагаемых

обращаются

в нуль вследствие

гра

ничных условий (2.18),

(2.19),

(2.20)

и условий

закрепления

угловых точек.

С учетом этого (10.10) запишется в виде

	дМ+	. „	дН+	dy +
	дх			dy +
	дх			х=х0
+	дМ\		дН~ \	I dtv
+	дх	+ 2	) t	a - « r « -~д~х~ х-х0

+ [/?/(* , +	- 2 - A 6	0 )	8 ( J j L )	-	+	f	й„	bw	+
L	Ло		\ ду	I	\ ду		й„	ду ]
				2
	4- сто				0.			(10.	11)

b_ x=x,

Так как вариации бш, 8, / dw произвольны и независимы,

то. равенство (ЮЛ П) имеет место только тогда, когда на ли нии ребра жесткости выполняются условия [15]:

п р и д :=Хо

Ж + - Ж Г		= с - \| 5	т ,	( 1 0 . М 2 )
		dxdf'
			дгМ0
			dyi
где
дМ±	дЯ±			а
/?± = — L	+ 2 — - , М 0		= - Я /	+ — Ав0 ),

3 Заказ 2749

а на концах ребра (х=х0, (/ = ± - ^ - j еще следующие соотно шения: в случае шарнирного олирания

i ! H L + J L A e 0 = 0,

(10. 13)

в случае свободного края

ду*	Л	ду* ^ h	0	ду	к	'
	0		0		к
и кроме того,
	^ = с - ^ - = 0 ,	если 8		^	^ 0 .

§ П . Пластинка, подкрепленная ребром жесткости,, все четыре края которой шарнирно оперты, при постоянном перепаде температуры

Проведем теперь исследование деформированного состоя ния пластинки, подкрепленной ребром, идущим по линии х — = 0 , при постоянных перепадах температур ,в пластинке и реб

ре Д9 = const, Дво=const. Дифференциальные	уравнения рав
новесия полос пластинки имеют вид
^ i + 2 ^ ± + i ^ i = 0 .	о м )

дх* дх^дуз dyi

Пусть все

четыре'края

пластинки

(рис. 5)

шарнирно

опер

ты, т. е.

. при

х=

—

да± = 0 ,

j?EL

__±-

(1+у )Дв;

( П - 2 )

~~ 2

дх*

. при

у =

- -

щ»± =

—

( l + v ) A 9 .

(11 . 3)

С учетом

симметрии

условия

на ребре жесткости

запишут

ся в виде:

прих = 0

w+(y)

= w~(y)

= w{y),

dw+ (у) . ^

dw~ {у)

дх

..34

	d2w+(у)	_ dn-w~(y)					( П . 4 )
	дх2	~~	дх*	'
	d*w+'(y)		d3W	(у) _	E I	d"w
	дх*		дхз		D	ду* '
Кроме	того,	как	указывалось		выше,		на краях пластинки
в точках,	где закреплены			концы ребра,			должны выполняться

при шарнирном

опиравши также еще и следующие условия:

при

х =

О,

у = ±

(И-

ду2

Л0

Дифференцируя

первое

соотношение

(11.4)

по у

дважды,

имеем для всех значении у, включая и у — ± —-,

d2w+

d2w~

d2w

„

, „ s

ду2

ду*

ду2

(11.

Из

(11.3)

следует,

ч т о - ^ ^

= - ^ ^

= — —

( l + v ) A e , a H 3

}

ду2

(П.5)

имеем

Ло

Д6

ду*

Тогда на основании

(П.6)

получаем

A 0 o

( l + v ) А де.

( П .

Соотношение (П.7) отличается от соотношения (10.8) нали чием в правой части множителя ( l + v ) . Но по существу он должен отсутствовать, если выводить выражение для изги бающего момента ребра Мо, исходя из второй формулы

(2.14), пренебрегая кривизной ребра ^ , умноженной на

v, по сравнению с кривизной д w , т. е. фактически учиты-

ду2

вая ширину ребра, как это сделано при определении жестко сти ребра на изгиб. Таким образом, следовало бы брать

м о - - Е 1 \ ~ + т 0+ - )Д©о"

ду2 Л0

Поэтому в дальнейшем, будем

считать,

что

(11.6)

выпол

няется

на

основании

условия

(10.8). Решения

уравнений

(11.1),

удовлетворяющие

условиям

(11.3), запишем

ви

де [17]

{х,у)

= 2 <tf (*) COS

^f-

(1 +

v) де

ft = l,3,...

(11.

где

?±(x)

= A z c h

^ + B

± s

^ +

x ( c ±

c h k

Произвольные постоянные	A t , B k , С*,	D k , найден
ные из условий (11.2), (11.4), равны
A~ = At, B*=-Bt,	C*=-C+,	D~ = D+;

	= - a - b - ( \ + v) Д6				32 sin	— —	Ch - i - - ^ L ,
Aj	= - a - b - ( \ + v) Д6						Ch - i - - ^ L ,
*	Л				(Ал)3 ДА		6	2
					8 /* sin	Ал
	= - a —	(1 +		v) Д0	8 /* sin	— -	_ ch —	— ,
Br	= - a —	(1 +		v) Д0		i	_ ch —	— ,
*		ft			( A * ) 2 A f t		6	2
					Ал
				8 /* sin
Cr = a i i ( l + v ) A 6					.	L - c h — A
ft	ft	1	7		АлД*		6 2
					8 /* sin	Ал
D + = - a i l ( l + v ) A 0					8 /* sin	—
D + = - a i l ( l + v ) A 0						^- s h —
ft	A	4	1		Ал ДА		6	2 '
' где	ДА = 8 с Ь 2			— —	+ / * A w ( s h — f o r - —				focY
I* = ILt	ДА = 8 с Ь 2			— —	+ / * A w ( s h — f o r - —				focY
Db	R			b 2		V	6	6	/

Прогиб и изгибающие моменты находятся, как и .ранее, по формулам (5.3), где для .центральной точки

	ОО		Ал
	32 W " - *	si n	2	.	a kit	. 1
W =	iti^JV	i	Аз Д А	Ch	6	2h — .8
	ft =	i

	00	krt
	s	i n	T				sh
				й	2	1—v	sh	2
	ft=l			й	2	1—v	6	2
	ft=l						(11.9)
	0 0		—				(11.9)
16	si n		—			v / . _ * !	L s h	_ i . * l ]
16			? - ( 2 c h
M.*=l			? - ( 2 c h
	ft=l	АДА	I	6	2	1—v		b 2 J

В таблице 5 "приведены .значения ш* для квадратной плас тинки в ее центре при v = 0,3 в зависимости от параметра /*, характеризующего жесткость ребра на изгиб.

				Таблица 5
J*	0	0,01	0,1	1,0
да*102	7,36	7,38	7,61	9,13

1 Как видно из таблицы 5, значения ш*, входящей в выра жение прогиба, с возрастанием /* увеличиваются. Такое по ведение пластинки, подкрепленной ребром жесткости, нахо дящейся в указанном температурном поле, объясняется сле дующими причинами. Рассмотрим отдельно поведение ребра жесткости и пластинки. Если ребро жесткости не связано с пластинкой, то его прогиб в любой точке под действием ука занного перепада температуры будет равен:

	ab^
В центре ребра ад(0) =	Лв0 , отсюда w* 102 = 12,5 и не за-
висит от величины /*.	8 Л 0
висит от величины /*.
Соответственно для пластинки, не подкрепленной ребром
жесткости, в ее центре	wa* 102 = 7,36. Таким образом, ребро

жесткости прогибается в центре больше, чем пластинка. При малой жесткости ребра основное влияние на совместную де формацию пластинки с ребром оказывает пластинка и значе ние прогиба такой пластинки близко к значению прогиба пластинки без ребра. При большой жесткости ребра главную роль на деформированное состояние упругой системы играет ребро жесткости и значение прогиба такой пластинки в ее центре приближается к значению прогиба ребра.

§	12. Пластинка с ребром жесткости, у которой
два края шарнирно оперты, два жестко заделаны
или свободные, при постоянном перепаде
температуры
Пусть на	краях		у = ± ~		выполняются		условия (11.3),
а края х =	+	~	жестко заделаны, т. е.
при		х =	±	,	„ dw±	г,	(12. 1)
				<ш± =	0,	= 0 .
					дх

Перепады температур в пластинке и в ребре жесткости по

стоянны

Д0 = const,

Дв 0 =const .

Решение

уравнения

(11.1) и

в этом случае также имеет вид

(11.8), только

произвольные

постоянные At, Bt, Ct, Djt

находятся m условий (12.1).

Прогиб

и моменты

выражаются

по

формулам

(5.3), где

для

центра пластинки ад*, /И,*, Ж 2 *

определяются

формулами

со

sin -

t ,

a k*. .

kit

kit \

w~ -

•(Sh

• ch

ft=i

2 /

Mi*

kit

\4-ч

kit

—

1—v

к = 1

1 6 —

/*((№)'

s h

—

kit

sin

Мя* = 1

kit ,

kit .

ft=l

_ j

_ i ± L s h ^ _

16 —

(hi:)2

—

)

(12.

Здесьl-м

AU) =

s h — Ы + —

I 6

2 /

Если края	х =	± —				свободные,	то	вместо	условий
( 1 2 . 1 ) должны выполняться				условия
.	a	d2w±		.		d2w±	а	. , , Л
		дл?	+	{	2	_ v ) - ^ i	=	0.	.(12. 3)
		дл?				dxdtf

В этом случае значения величин w*, Mi*, М2* для центра пластинки определяются следующими формулами

и г =

—

Л = 1

— ( I —

c h -

kiz

•2-

f ( 3 + v ) s h

оо

sin

kit

д fe .

(1—v)

ch •

P-

—

2ch

1 — v

6 2

;

6 2

Are

sin

• { ( v - l ) s h - 2 -

M 2 * = l + —

а йт;

/ T T„

6 2

c h

T —

(1—v)

' b

где

Д0) =

(3 +

v) sh — Jfeit -

(1 - v) —

ktc

— — - 4 c h 8

/* * 1 , ( l - i - v ) 2 sh 2

—

J •

(12.4)

- v

[

6 2 .

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 164 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ