книги из ГПНТБ / Рассудов, В. М. Некоторые задачи термоупругости пластинок и пологих оболочек

w

=

О,

дх

•0.

( 6 . 1 )

В данном

случае из

(6.1)

с

учетом

(5.5)

и

(5.6)

имеем:

kn

a

kit

-\

а

kit

а

кт,к~

8 sin —

sh

—

—

ch - г -

л

= —

ь" /1 ,

^ л п

2

ft

2 г

/»

2

Ь

2

А/г

а —

(1 + v) Д 0 •

а

а

(А*)»

sh

kit И

kit

Ъ

b

i

kit

sh

a

kit

a — ( 1

+ v ) A 0

sin

^

в

(2

sh

b

As +

—b

k-

sh

ch

х sh

sh

COS бжу

1— v

6 2 /

Ь

b

b 2

b

6

(6.

3)

M 2 *

(*,(/) =

!

-

sin

Ал

a

k*. ^

a

2

a

a

~b~~2

b

k [ъЪ

*=ьз, ...

b

Ait

, 1 +

v

,

a

Атс

knx

kit

,

a

b

x sh

~b ~2~

(6.

4)

Результаты

подсчетов

значений

w *, M i * , M2*

в

центре плас­

тинки для v = 0,3 и различных отношений сторон

— помеще-

ны в таблице

2.

b

Таблица

2

а

1

1,5

2

Ь

w*10»

1,58

4,91

7,98

Mi*

- 0 , 0 6 4 2

0,116

0,139

м2*

- 0 , 4 0 4

0,068

0,465

§ 7. Пластинка, у которой два края шарнирно

оперты, два края

свободные,

при постоянном перепаде

температуры

Пусть краяу =

+

—

шарнирно

оперты,

а

края* == +

—

2

2

свободные, т. е.

п р и . * = + —

— -

+

V

-

—

-

- —

1 + v

ДО,

( 7 . 1 )

2

дх-

ду2

h

д&

+ (

2 - v ) - ^ - = 0 .

дхду*

йл

а къ

a kn

а Arc

Ak = - a

б2

( l + v ) A 6

l 8 l „

T

( I + , ) s h

T T - ( l - v ) T

T c h 7 7

—

(Ал)'

( 3 + v ) s h — -Ал — (1 — v) — An

Ал

а Ал

8 sin

< ' - ^ т т

(3+v) sh —

Ал — (1 — v) —

Ал

о

b

Мл*(х,у)=

1 + —

3,...

A [(3+v) sh —

Ал — (1 — v) 4 " Ал]

b

6

• < K ' - i )

. n f

1 — v) —

.

ch

ch kr^X

b

2

b

2

(1 —

*

s

h

__

— s h

i c o s — —

(7.

4)

'

6

6

2

«

1

6

Значения величин

ay*, Mi*,

M2*,

подсчитанные

по формулам

(7.2), (7.3), (7.4),

для

центра

пластинки

при

v = 0,3 и

для

разных отношений

сторон

—

помещены

в

таблице 3.

b

Таблица 3

а

1

1.5

2

b

1И*103

12,3

12,7

12,8

М,*

0,343

0,120

0,0366

Af2*

0,681

0,825

0,903

Пусть

при

у =

± ~-

выполняются

условия

(5.1),

а

при

*

=

_ J

L

**, =

(),

^

= _ - ^ ( 1 - И ) Д в ,

( 8 . 1 )

2

дх1

h

при

х

=

—

и>=0,

—

= 0.

(8. 2)

К

2

дх

Для этого случая

8

'

^

* '

M

I u

8 s i n — —

ch s

о

o

2

6

2 ,

, д

Ате

1 \

вн = - a

v ( 1 + v ) Л в , ~ т п ;

г~ ^ с 1 1 ^ г ^ ~ т •

#

. » а

« я

6

2

2 У

sh 8

*

?

Ал

а

Ал

п

* / 1 1 \ л Q

16 sin —

ch —

—

,

. а Ал

1 \

2

6

2

Ч- =

« — О + v ) Д 0 •

.. ,3

•

—

г—

fa*chrr-r,

s h и

-—

6

2

А*

f\k

в Ал

1

гл

I»

,

. . ,-,

16 sin —

ch —

2

—

2

'*

6

2

Л

д (Алр

.

a

An

sh

*

2

где

,

о fe / а ,

о

а Ал /

а Ал

+

ch

—

— —

( —- Ал — sli

— - А-

-2sh=

2

s i

6

2

6

2

I

6

6

b

\

а

кг.

а

Ал

- - c h

6

2 J

*

2

2 — - А л — s h

3 — Ал

b

b

Прогиб

и

моменты определяются по формулам

(5.3),

где .

в данном случае

ОО

а

sАл

6

12

•2Л- = 1, 3....

1сл

sin

2

f

,

Алл

,

c h

3

6

—

®*

у). =

-

—

4 * c h

—

+

—

п г

h '

•пь ch

6

2

— —

2 У 6

'*

2

\ *

Ь 2

а

_а_ _Ал

S

h

6

2

( c t h - J - ^ L c h - ^ +

s h ^ ) l ) c o s

2 I 6a

4 i '

\

b

2

b

b

(8.

oo

3)

a.

kit

•2ft=l, 3,...

— -

,

,

Алл:

,

cha

,

2

M^(x,y)

=

.

2

-I

b

—

hk

ch

—

A

6

„

а

АЛ

s h 3

6

2

1

a

kit

/

. - a

kn

т

1

Tsh Алх

4

J _ _6_

о

Ал

' Г

т т

-

)

1—v

Kit

a

sh

/

,i

а

Ая ,

къх

, .

kxx

b

2

~

2

{

cth

b

sh

b

Ь ch

—

a

kr,

2

b

sh

b

2

I ,,

а

Ы

.

kxx

,

.

kxx

\cth

2

b

ch

b

+

sh

b

COS

sh 1

b

(8. 4)

•S

2

oo

—

c h

sin

,

. kizx

.

1

2

^ 2 *

(*,

y)=\-

2

f

b

—

hftch —

-

—

k

b

„ a

k-x.

Значения да*, M i * , 7W2*, подсчитанные по

формулам (8.3),

(8.4), (8.5) для

центра

пластинки при v = 0,3

и различных от­

ношений сторон

— ,

приведены в таблице 4.

ь

Таблица 4

а

1

1.5

2

Ь

w*103

3,92

7,31

9,65

0,158

0,173

0,125

ЛГ2*

—0,0243

0,387

0,672

ко, т. е . — — > о о , то М^-УО,

Л/2 *—Э- 1 - Следовательно, моменты

b

м 2 ^ о ,

- > « — д а -

д в = д е 0 - ^ )

(9. 1)

где Д 9 0 =

const.

Предположим,

что все четыре

края

пластинки

шарнирно

оперты, т. е.

при х =

± ± -

w = 0,

4

т

= - - 7 - 0 - И ) Д 9 о - Ь

(9 . 2 )

2

дх*

h

о

при

0 - 0

w = 0,

—

=

0;

( 9 . 3 )

npny

= b

w

= 0 ,

~ r

=

-

— ( 1 + ^ А в 0 .

(9 4)

If

h

Зададим прогиб в виде

оо

(х, у) = ^

«р, (х) sin

*

f

-

—

(1 +

v) Д0 О {£.

- byj,

где

(9.

5)

n

( * ) = ^

c

h

-

^ + D ^ s . h

***

ь

'

-'

b

Решение

( 9 . 5 ) автоматически удовлетворяет

граничным

ус­

ловиям ( 9 . 3 ) и ( 9 . 4 ) ,

а постоянные

Ak, Dk

следует

опреде­

лить из

граничных

условий

( 9 . 2 ) . Для

этого-разложим

функ­

ции

-

—

(1 + v ) д е 0 | / , ~

(1 + N ) А в 0

f 4 - -

ЪУ) в РЯДЫ

ф

У Р ь е

по

синусам

O O

-

^

( l

+

v ) A e 0 v = 2

J L (

l +

„ 4 e . ( i - » » ) - 2 h

sin

kity

где

ft=l

2 a

A90 COS йя

R

kith

a

_

2 а

Д в 0 й 3 COS ка

k

~ .

(kr.fh

Тогда после несложных вычислений получаем

^ = « - ^ ( i + v ) ^ e

2 cos

kit

A , = 0.

0

ft

ch •а

Ал

7

2

ОС

ji /

ч

. 2 ж ч

COS kn

, knx

k-y

w (*'y)

= + ~ У

— Т ^ Г C H

— S L N

ь "

^r(*,</) = 0 - f</)\ - 2 m ч

cos k-n.

, Ых .

b

a Ait

6

k ch

Для центра пластинки

(x =

0,

у =

— J

имеем:

оо

•2* - ь з . . . .

со

6

2

, 1

2_ Ж

'

S ,

" T -

' 1

2

Ж

1

5 | П ~ 2

2

1

я

/

J

а

kn

2jkmA

k ch

ft=i,3,...

b

2

no

Ал

-

_

,

sin

M 2 * « = l - - ± - ^

.

a

2

Arc

ft=i.3. ...

k ch

b

2

без

разрывов и изломов на линии

ее

соединения

с ребром

Х =

А'О (шириной ребра при выводе

общих

соотношений пре­

небрегаем) должны выполняться условия:

при х=х9,

w+ =

w- =

w, -^L^

^—

= &,

( 1 0 . 1 )

дх

дх

где

w± —прогибы

точек

срединной

плоскости

пластинки,

до—прогиб

нейтральной оси ребра,

•&— угол его

закрулива-