Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Нейман, Ю. М. Сферические функции и их применение учебное пособие для студентов III курса геодезического факультета

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

3.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

- 61 -

ется по шаровым функциям,но развитая ранее теория сферических функций оказывается вполне достаточной, т .к . шаровые функции по являются "автоматически".

Несколько слов об области сходимости рядов (4 .1 .8 ) и ( 4 .1 .8 ’ ).

Установить ее в самом общем случае, который изображен на р и с.8 ,

довольно затруднительно. Уверенно можно утверждать лишь следующее.

Пусть P j

есть точка тела

, наиболее удаленная от начала

координат

0 по

сравнению

со

всеми

остальными точками

-Q

, а

? 2 - наиболее близкая к 0 точка

-Q

. Тогда ясно, что

для

всех точек М {

, 9

)

пространства, внешних по отно

шению к сфере радиуса OPj

с центром в

точке

0 , будет вы

полняться условие

р '

и потому

соответствующий этому

случаю ряд (4 .1 .8 )

сходится и притом равномерно. Аналогично ттдня

сходимость ряда ( 4 . 1 . $ ) ,

соответствующего

условию

< р '

для всех

внутренних точек

сферы радиуса 0Рг =

Отмеченные

условия сходимости являются достаточными, а не необходимыми. По этому для каждого конкретного случая можно установить область

сходимости и более конкретно, но уже из проделанных рассуждений

ясно, что начало системы координат целесообразно помещать в гео


метрический		центр тела			J>?	, а	область сходимости при этом
установить		тем	проще, чем ближе тело					Q	к шару.	В идеале,
когда	Q		есть шар, область сходимости представляет
все трехмерное			пространство вне этого шара. Таким образом, с точ
ки зрения сходимости					сферические функции удобнее, конечно, при
менять для описания потенциала тел,							близких по форме к			шаровым.
В заключение коротко обсудим ту							погрешность		Л	, которая
возникает при			(часто	встречающейся			на практике)		замене	суммы ря-

дов < 4 .1 .	8 ) конечной	суммой сферических функций лерш х ;>?_
степеней.	Итак, пусть	в ( 4 .1 .8 ) и ( 4 . 1 . 8 ')

'гг Л У	9, А )	•^г~	У > ь
'V'm ~ / _ jo - M' А и	[&> Яу	•^г~	(4 .1 .9 )
			(4 .1 .9 )

Р с

L .

•Ь

Тогда погрешность

Z) ^

при

такова:

‘О

jc n"Ж ’.

С ^ >

)

^ r

‘ ■fi,(<#<>у

~ /^~

= _ l

'(Л*^7

ГЛ

о -

IT j 7

[fj ■

у) clh^ '

где

верхняя граница для

р ‘

, т .е . расстояние

OPj на рис.

с ? р .5 7 .

Но по

аналогии

выводе?.? формулы

( 2 .5 .4 )

следует, что

/ / 1 -

// ) -

( L Г "

(jj

t (<**у)<£. (f j

*1-- И ,

- т

Поэтому

яг но,

что

Д. ! - р-

/ " />

-S

€

Аналогично можно доказать,

что при

й.

.■и.

№ '

1'де

ЛА.

- общая масса

тела

а С - нижняя розница для Р

				-	63
то есть	расстояние		0Р2		на р и с.8 ,	стр .57 .
й так ,ш		имеем верхние границы для погрешностей формул (4 .1 .9 )
в ш д е :			( L / 0 )""'			j о	> Lt
л	^		р	-	ь	j о	> Lt
			р	-	ь
л	^ ^	м , -	Ь / е Г ”							(4 .1 .1 0 )
			Ь / е Г ”
			£ - Р
Если		- сферическая поверхность					( т .е .	масса	притягиваю
щего тела распределена по поверхности сферы радиуса R ) ,										а	на
чало координат поместить в центр						этой сферы, то		L	-	£	-
и потому:
					p v f L			( 4 . 1 . I I )
								( 4 . 1 . I I )
где верхние		знаки	соответствуют внешним точкам М сферы,							а нижние
- внутренним, р			4		Я.
Если же		- Л	-	шар ( т .е . масса распределена по всему							про

странству, ограниченному сферической поверхностью), а начало коор динат находится в центре его , то речь у нас идет в этом случае


лишь о точках М, для которых	р > R . При этом		(4 .1 . I I ) оста
ется в силе с верхними знаками. Видим, что при		р	—<► R верхняя
граница погрешностей неограниченно увеличивается. Из этого не
следует, строго говоря, что и сама погрешность		Л	тоже

увеличивается. Однако практически действительно с приближением к поверхности притягивающего тела сходимость рядов (4 .1 .8 ) ухуд шается.

- 64 -

§2. Разложение по шаровым функциям внешнего потенциала земного притяжения

Поскольку Земля есть тело произвольной формы, то для описания

ее внешнего потенциала будем пользоваться рассуждениями предыду

щего параграфа.

Предположим, что начало системы координат находится где-то внутри тела Земли вблизи ее центра (мы не намереваемся сейчас точно оговорить местоположение начала координат). Тогда в точке М( р , в , Я ), не принадлежащей телу Земли, потенциал VM , согласно теореме 4 . 1 . I . , может быть найден по формуле:

к - I		л) - z f *-[Z				(4 .2 .1 )
и т с		и « ©		К =
■Га » Co'S	/Z	+		к>	J
где коэффициенты АпК и ВлК определяются по ( 4 .1						.7 ) .
Подчеркнем,	что форма Земли и распределение					масс внутри Земли
( ci t-и. = $	( х	' , у '	,	? ’ ) ■ctfi.	) отражаются только на коэф
фициентах разложения к „			и В .
Таким образом,		коэффициенты А лК			и В№ являются важнейшими

характеристиками Земли и называются стоксовыми постоянными. Меж ду ними и внешним потенциалом имеется взаимно однозначное со

ответствие.
Рассмотрим подробнее сферические функции Х0 , X j,				Х2	и
соответствующие им стоксовы постоянные. На основании ( 4					.1 .5 ) :
Хр(е. Ю		Y)	rJ~b. = JJJ/- S/xl?!?)■<№“ ^		(4<2<2>)
Здесь	jQ -	тело Земли,	-ЛС - масса Земли.
На	основании	( 4 .1 .6 ) :

						— § 5 —
X I	/?J	=	' P, (t&ibi&J ■»				" Pj^to-i Bj - Cx-i Л
		-t- &n' P ,'			p/uvAii&J/- 5-£и.			/? .
Но	согласно §4,			raul		Pj	(«И. s>		) =	co-i &
P ,(,J( i ~3 9 )			—	s/' H-		e~3r	s	- f-^и. © .
Поэтому
X i	/? J	= X )e>- ^			& *'X - ^ н 9 - ^ Л				+ S„		/(.. (4 .2 .3 )
Теперь вычислим				постом »			AI0, AIJt Вп			по формулам (4.1.7).
Иглеем			з ■i		fjjp-utie'. $(xlу]t")dQ -jjjz'
	/1 /о		г ■/		fjjp-utie'. $(xlу]t")dQ -jjjz'
Координаты xQl yQ,					- «						.Я
Координаты xQl yQ,						вдентра массы тела, определяются, как
известно,		йормулшж:					Ilh'-SUQ				lifts-JS!
	Uft'SJQ					X	Ilh'-SUQ				lifts-JS!
X ,	Jjj S dQ					X				■ 7	= —S3^.
	Jjj S dQ						J\JScLQ				j j j u a
Поэтому								л
Поэтому			A,. = ?,\l\lJ.Q =
			A,. = ?,\l\lJ.Q =
						Л.

Аналогичные выкладки шшвшишт выразить А^ и Вд через массу Земли и координаты ее щшшпра масс:

Ajq ~ 'X "

ЛИ “	лг. - М *	(4.2.4)
Вц =	Ч„ - -X L ■

Подставляя (4.2.4} ж (4.2.3), получаем

Х ,(б,А )=М ,[г.-се*ъв irx.-ic-LBtrtA <-у. *ъ*.е-#»я).(4.2.5)

Рассуждал таким же о ^ р ш ,		можно убедиться,		что
	ЛоП° “■	_	^	(4.2.6)
где А„	= -(А + В) : А, В,	С -	моменты инерции Земли относительно
op	g

- 66 -

координатных осей X, У, ?

соответственно,

Наибольшее влияние на	V	оказывает постоянная A2q из
( 4 . 2 . 6 ) . Функция А20 Р2	(co -i	9 ) зависит от.широты" 9

и характеризует изменение потенциала, вызванное полярной сплюс нутостью Земли.

Остальные четыре присоедиенпые функции Лежандра, составляю

щие Х2 (	9	,	Я ) , зависят		от долготы и существенного влияния
на V	не	оказывают,		т .к .	Земля близка к телу вращения. Коэф
фициенты А2		1 , В21 и В22		определяют направление главных осей инер
ции Земли,		проходящих через			выбранное начало координат.	Если коор
динатные	оси		совместить	с главными осями инерции, то все		эти коэф

фициенты обратятся в нуль. Константа А22 зависит от различия мо ментов инерции Земли относительно осей X и У, лежащих в плоскости

экватора. Стало быть, А22 характеризует экваториальное сжатие Зем

ли.
Подставляя теперь в			( 4 .2 .1 )	результаты ( 4 . 2 . 2 ) , ( 4 .2 .5 ) ,
( 4 .2 .6 )	получаем разложение потенциала в таком виде
_	Ж	£ Z„ ■	& -I- Хс ' -it 1-г- в U> 1 Я + у . - i X - h tt- /?) +
_	+ - р -	£ Z„ ■	& -I- Хс ' -it 1-г- в U> 1 Я + у . - i X - h tt- /?) +
		С&Э г G		^ + 3 Со-3 & •'teh. & *
				( 4 .2 .8 )

- 67 -

Это разложение справедливо при произвольном расположении на

чала и осей координат в теле Земли.

Если предположить, что начало координат находится именно в

центре массы Земли (xQ= yQ= = 0), а координатные оси колли-

неары главным осям инерции Земли, то коэффициенты А£0, В£1, Ад, %1' ®22 в выражениях (4.2.4) и (4.2.7) оказываются нулевыми и потому ряд (4.2.8) упрощается

В следующем параграфе мы увидим, что разумный выбор системы

координат является стандартным приемом упрощения разложений по тенциала притягивающих масс.

Часто целесообразно в разложении (4.2.9) удерживать лишь

члены, характеризующие иарообразность и полярное сжатие Земли.

Для таких случаев имеем

		( 4 .2 .1 0 )
(Заметим, что во всех наших формулах, касающихся Ньютоновского
потенциала, опущен единый множитель пропорциональности в виде
гравитационной постоянной	f	).
В заключение напомним,	что,	если для описания потенциала Зем

ли используются ряды с конечным числом членов - скажем, сферичес

кие функции первых	т .	степеней -		то для оценивания верхней
грачицы допускаемой погрешности			2У	удобно пользоваться
простой формулой (4.1.II)
Z\„ < ж - —				(4.2.II)
Z\„ < ж - —		- *
	?	- *

- 68 -

Здесь -АС - масса Земли;

(L - радиус Земли;

р- длина радиуса-вектора оттай, для которой про

изводится оценка.

§3. Некоторые возможности для уиршщшия разложения

потенциала притягивающих тел

to уже видели в предыдущем параграфе, что удачный выбор сис

темы координат позволил несколько упростить разложение потенциала

земного притяжения. Сейчас мы коротко обеудигл те	ситуации,	в кото
рых предоставляются возможности такого рда-
Эти ситуации возникают - надо сразу «жаэать -	когда притяги
вающее тело обладает какой-либо геометрмвший и,	главное,	меха

нической симметрией, что и позволяет надлежащим образом органи


зовать систему координат.		Заметим, что если тело обладает только
геометрической симметрией,		а распределение касс в нем произвольно,
то никакого серьезного упрощения подучить ms удается.
Начнем с самой благоприятной ситуации, аюгда притягивающее
тело Q	обладает тремя взаимно пе\|иевдикулярными плоскостями
геометрической и механической симметрии.
Теорема 4,3.1. Пусть притягивающее те.» X?			таково, что

обладает тремя взаимно перпендикуляршпли ©ежи геометрической и механической симметрии. Тогда, если поместить начало координат в точку пересечения плоскостей симметрии, а за «оси координат вы брать линии пересечения этих плоскостей, от» сферические функции

(4.1.5) нечетных степеней обращаются в тшь л формулы (4.I.H),

- 69 -

дающие разложение потенциала произвольного тела, принимают вид

v „ (?, в, 2 )		= 2 L			р 1"-*'	х гп (в , я )		р	> l
			н»о	*
.	,	.	«о			Улп[9, я)			(4 .3 .1 )
						Улп[9, я)	‘•у*"' р <£-у
где	L	ж	В		- соответственно		верхняя и нижняя границы пере
менных р ' ,			т .е .		L	= (ОР^) и	<? =	(0Р2 )	на ри с.8 , стр .5 "7 .
	Мы не	будем доказывать эту теорему,						а дадим лишь некоторые

пояснения. Точка пересечения плоскостей симметрии есть , очевидно,

центр симметрии. В данном случае этот центр симметрии служит и

центром инерции тела

/ 2

а линии пересечения плоскостей сим

метрии являются также главными центральными осями инерции тела.

Таким образом, систему

координат мы выбираем с

началом в

центре

м асс,

а оси координат

суть главные оси инерции.

При этом плотность масс

(х',

у',

г '

) будет

четной функ

цией в том смысле, что

S ( - х\

= 3 (х ',

у',

? ' ) .

Заметим еще, что хотя 1рп( О

) и 72п(

)

отличны

от нуля, но их структура (4 .1 .6 )

в условиях теоремы 4 .3 .1

также

существенно упрощается.

Таким образом, притягивающие однородные кубы, шары, эллипсо

ида,

эллиптические цилиндры и т .п . характеризуется' притягивающим

потенциалом типа ( 4 .3 .1 ) .

Теперь рассмотрим осесимметричное тело,

т .е .

ситуацию, когда притягивающее тело

£ 2

обладает

геомет

рической и механической симметрией относительно некоторой оси.

Теорема 4 . 3 . 2 . Пусть притягивающее тело

таково, что

обладает геометрической и механической симметрией относительно

некоторой оси. Тогда,

если выбрать эту

ось

за ось

аппликат

систе

- 70

мы координат, а начало координат поместить б произвольную точку

этой оси, то формулы принимают вид

	ос
	••=*Z_	Р * 0)	F > L
	«,			(4.3.2)
^ ( р , в )	~		j°	'
	•у - о
Доказательство проводится аналогично выводу формул (3.8.1)					и
(3.8.2).	Вспомним,	что мы предвидели смысл теоремы 4.3.2 еще
в конце §5 гл.П. Полученные там формулы (2.5.9)				и (2.5.10)	явля
ются частным случаем формул (4.3.2).			В последних коэффициенты

Апо и с,ю являйтся некоторых® постоянных.®, характерными для тела

Таким образом, однородные пространственные тела, ограничен

ные поверхностью вращения вокруг какой-либо оси, имеют разложение потенциала типа (4.3.2).

Следствие. Если начало системы координат, упоминавшейся в условиях теоремы 4.3.2, поместить не в произвольную точку, а имен

но в центр масс, то в формулах (4.3.2)	полиномы Лежандра первой
степени будут тождественно равны нулю,	т.е. Pj(co& & ) = 0,

что и вносит дополнительное упрощение.

Этот факт мы обосновывали уже в предыдущем параграфе.

Заметим, что наличие оси симметрии тела можно интерпретировать

и как наличие бесчисленного множества пар взаимно перпендикуляр ных плоскостей симметрии, общая линия пересечения которых и есть ось симметрии. Поэтому, если у тела, клеющего ось симметрии, суще ствует еще и плоскость симметрии, перпендикулярная оси симметрии,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ