книги из ГПНТБ / Нейман, Ю. М. Сферические функции и их применение учебное пособие для студентов III курса геодезического факультета

-

21 -

Рассмотрим пока лишь сомножители,

содержащие только

Я ,

т .е .

ОолГ' Я •

>

где

/тг. +

/ъ . До­

пустим, что т .^

есть

число четное.

Тогда

Co'S

■S-Сйг. Я

~ ~

Я )

г '

есть

некоторый многочлен степени

tn, + m t

относительно со i /£.

Из тригонометрии известно, что любую степень

и,л л

можно

только косинусов целых кратностей

Л

.

Так,

Со Я л = х / / +■ и> j 2 Л ); ьуЬ*Л =

з , ? -г- 3

,? J ;

Со } 7 /? = ~«r f C o b 4 Л *- 4

л + 3 )

и .т .д .

Поскольку для различных одночленов одной и той же сферичес­

кой функции степень

Ш,

+

пьг.

принимает целые

значения

от

0 до

FL

,

то

число

членов с

косинусами

различных кратнос­

тей

угла

Л

в

правой

части ( 2 .3 .2 )

будет

П +

I , т .е .

Cc i

H./J ,

Со h (н- о л , -

v

Co-J 2 Л ,

Co b A j

Со'Ь О .

Аналогично доказывается,

что

среда всех

одночленов

правой

части

( 2 .3 .3 ) , у которых

Шз.

число четное,

будет ровно

гь

членов

с синусами

различных кратностей углов

Л

,

т .е .

ЬЛст, и. Л у

f a

- 1)

Л )

■ ■

■ >

2. Л. ,

Pt-'к. Л .

Таким образом,

число различных тригонометрических одночленов в

правой

части

( 2 .3 .3 ) ,

каждый из которых содержит либо

только ко­

синус, .либо только синус целой кратности угла

Л

,

равно

П + I + гь

= 2

/г + I , т .е . как раз

числу

основных сферичес­

ких функций

tb -го порядка. Сделав

в

правой части ( 2 .3 .3 ) при­

ведение

подобных

членов

относительно

синусов

и косинусов

целых

кратностей

Л

,

да сведем (2 .3 .3 )

к

такому

виду

Я) ~ fo

Q) +

&J- СсуЪ/I •+•...+• f *^Сггдg) ■C&6h./? +

...

-f~ fit4 fcvh Q) ■

И. .

Здесь

$ с (и>4& ) (

с

=

0 ,1 ,

2 ,

. . . ,

2

n

. ) - некоторые функции

от

с<Л> В

.

Рассматривая формулу

( 2 .3 .3 ) , можно придти к

выво­

ду,

что эти функции суть либо

многочлены

ги -ой степени отно­

сительно

СсЛ &

(если

т,

+ Мз. - число четное),

либо много­

члены

(

п,

-

1)-ой степени относительно

ш

О ,

помноженные

на -К-и. 9

(если

т .

-

число

нечетное),

причем f-

О — I ,

2 ,

СС .

Обозначая функции

/ ,

,

./?,

, . .

•,

более

обще­

употребительными

К =

0 ,

I ,

2 ,

. . . ,

П,

,

мы и при­

ходим к утверждению теоремы 2 .2 ,

Пример. Рассмотрим сферическую функцию

(

в

,

/2

) , полу­

ченную на стр.

19.

Подставляя в

ее

выражение

г Л

-

ir

( t

*- <^-s г

yin? Л = ~к0~ СоЛгЛ );

Я ■

Я = ~t

2- Л

, подучил

Я.)

~ (Яс У2'*-1' 9 "z (j +

Z Л) + Л,

2 Л.) +

+ Лг. Cts-'S &

+■ еГ <3.j -УСиСО- ptix. 2 /? + Л.

<9 ^e*-J0 • / £

ч_

+ бс**

УС^х. ^

■ kT'O £?■ ' К

бс в УСЪхС $

+ Я CL,

О Г Ciz УЛ ^

+ ^ . ч

С&-Л Л

f

jr О.о LLixC О -

CL, iL hfO ) ■Col 2 ft -I-

+(CLsr

р е и . # .

{^ )

^

+•

6 c i £ c ^

g?J

1 2 ^ Z si

—

~

Q (jXz

~ 3" й с

— ;x

6c,^)

+•/^~ &«.

+

"i‘ C -,)]

+

+ Ci ч f y2\x~ 9

• cc>0

^

^ f

~z ~CL <?

CL t^f t "

^

L/i

■*■G. г/'£*-*''■ O' £<^

&)•

Я

z~ CLi //-

<»'j" &J •

1- 2 я .

енты,

стоящие перед косинусами, буквами Апк ,

а перед

синусами,

буквой

В пк , к

=

0 ,1 ,

2 , . . . , п,получим окончательно

Я) —Аго '

^

в) ч- Аг,’ Pj~ 1(tcrl G) • £<хЗ /?■+■

te'bZ A + 6*. • PS’Cc^Q)-

^

+

+ &z±' Pp

в) • ***-И. 2. y? .

Итак,

U A(&, Я )

представлена в виде линейной комбинации

2 П. + I = 2 -2 +

1 = 5 основных сферических функций.

Следствие I .

Всякая

сферическая функция

гъ

-го

порядка

может быть представлена в виде

ГУ

(2 .3 .4 )

и ^ С в ,Я )~ 2 _

в)1Л'*МкЛ +

к*]'

где А пк

и B , fc

суть

2 п + I произвольных постоянных.

Например, рассматриваемая нами только что сферическая функ­

ция 2 -го порядка может быть записана, очевидно, так :

М*г. (&, Я ) =

+

Р Р ’ Си,-) е ) [ А „ ^ Я + 6 „ ^ я ] +

( 2 .3 .5 )

рр°с<~* в )[А г ь с ^ г Я +-

и ^ г я ]

• =

Z.

-

2 _

P z K)(u A i9 )[A iK f o l k

Л +

■

- 24 -

ровке

теоремы 2 .3 .2 . Наиболее удобная

запись при этом является

( 2 . 3 . 4 ) . Но конкретный вид функций Р !^ > (со-5 6> )

нам остался

пока

неизвестен, и мы переходим к выяснению этого

вопроса.

§4. Присоединенные функции Лежандра

Поскольку сферические многочлены

UL», (х ,

у , Z

) гар­

тоже должны удовлетворять уравнению Лапласа,

но только записанно­

му в

сферических координатах

р

,

& , Л .

Соответствующий

вид уравнения ( 2 .2 .1 )

таков:

А __/ о * .2 ь а ) * _ J ___

9

/,.■

„

э и .),

j ___ __

( 2 .4 .1 )

■»Я К эру

ян .в ' 'ъе1к/И'в '

ъв) V ‘61 эд 4

= о .

Но

W h(x ,

у , г

)

еще и однороден, а потому,

как уже отмеча­

л ось,

объемная сферическая функция всегда представляется как про­

изведение

р

на поверхностную сферическую функцию двух

переменных

Ы ^ (

в

,

/2

) .

Этот факт позволяет из (2 .4 .1 )

поверхностная сферическая функция

U.*. ( <9 , А )•

I

Э___у

, ^

) )_____

'У и .^

+

U.VX.G

Э ©

А в /

' ъл*'

(2 .4 .2 )

т П. ( п +

=■^

Действительно,

рассмотрим первое слагаемое

из ( 2 .4 .1 )

-

А Гр ~ Е ^ ^ ( р >

u ^ ( e ,/? jj= n -p

■и^(в.Л)}

-A— f p г

'Щ г) = ^ + '/ .я '• ^

л )

■ър ( Р

- 25

-

Второе и третье слагаемое левой части уравнения ( 2

.4 .1 ) также

ли­

нейны относительно

р " '

и п о эт о в можно сделать

сокращение

на

Итак,

сферическая функция

Ь с (

G , /2

)

есть

решение

( 2

.4 .2 ) .

А потому в силу теорем

2 .3 .1

и 2 .3 .

2 ,

это

решение всег­

да

есть линейная комбинация одночленов, каждый из которых есть

произведение некоторой функции от

9

(эти функции мы будем

угла

Л

. Этот факт

позволяет из (2 .4 .2 ) получить дифферен­

циальное уравнение, которому

удовлетворяют

только функции Р:

~ j r ] p

= О .

(2 .4 .3 )

Здесь для удобства дальнейшего под

0

понимается Со* в ,

т .е .

О

= со 5 Q

, а К - любое целое число от

0 до гь .

Обыкновенное дифференциальное линейное однородное уравнение

2 -го

порядка

( 2 .4 .3 ) называется уравнением

Лежандра.

Решая его

при различных целых К и

ГЬ

, мы и получим искомые функции Р^к ?

Сначала положим К = 0 .

Тогда

( 2 .4 .3 ) имеет вид:

0 ' ° г)

~ 2 ^

+ h b ( H + ,J p = ° ■

(2 .4 .4 )

_ / ____

с £ п-Сог- , Г

(2 .4 .5 )

Р * V )

oLd

z ' t b l

-

26 -

где

r t

= G,

I ,

2 ,

3 ,

. . . »

причем О! = I .

Мы не будем останавливаться на этом более подробно.

Можно непосредственно

убедиться, что Р^, (

<)

) есть

много­

член, причем содержащий только

четные степени

v*

,

если ri

- четно

и только

нечетные

степени

0

,

если

П-

нечетно.

Эта многочлены называются многочленами Лежандра,

а формула (2 .4 ,5 )

- формулой Олинда Родрага.

В частности,

по формуле Родрига имеем

(ср .

со

с т р .7 ):

'-N

£

II

Р

W

« J

Р ( д ) = - ^ 0 -

**

r - $■

При больших

п

полиномы Лежандра удобнее получать по

другим формулам,

о которых мы упомянем позднее.

Если в

( 2 .4 .3 ) К £

0 ,

то можно доказать, что его частное ре­

шение удается

всегд а

представить

в виде

Р ^ ( 0 ) - 0 - ? ) ^

и,

о

.

( 2 .4 .6 )

Можно непосредственно убедиться,

что

Р ^

(

•)

)

при любом п

есть

многочлен степени

1Ъ

лишь в том случае,

если

К число

четное.

Бели же К нечетно,

то

(

0 )

есть

многочлен

( п, - 1 ) ^

степени,

помноженный на

\j I -

0 ^ .

Поэтому

в общем случае

( 0 )

многочленом назвать

нельзя. Их называют присоединенными

функциями Лежандра

п. -ой степени и

К - г 0

порядка.

По ( 2 .4 .6 ) имеем,

например:

Pf'Y'Jj

-

3

г

;

-

з -

з i;*/

-

/ т г

^ -

-f-

J

;

P ^ Y $ )

- is\ ) -

\sO'

V V' V

;

/S' -

t ^ v

' ■

£ ■

В заключение

напомним, что,

как

следует из

теории

линейных

линейно

независимое

от -первого. Такие

частные решения уравнений

( 2 .4 .4 )

и ( 2 . 4 . 5 ) , соответствующие решениям

( 2 .4 .5 )

и ( 2 . 4 . 6 ) ,

принято называть функциями Лежандра 2 -го

рода и присоединенными

функциями Лежандра 2 -го рода соответственно.

Оба вида этих функ­

ций трансцеэдентны и нам в дальнейшем не потребуется.

Итак, мы установили явный вид функций Р ^ к ^( 0 ) ,

определяю­

щих

в

свою очередь

вид основных сферических функций согласно

теореме

2 .3 .2 .

Теперь следствие из теоремы 2 .3 .2

можно дополнить

следующей фразой: в

разложении ( 2 .3 .4 )

Р ^ ( с о З б >

)

=

Р ^

( 0 )

есть

при К = 0

полиномы Лежандра,

определяемые,

например,

форму­

лой Родрига ( 2 .4 .5 ) ,

а при К = I ,

2 ,

. . . ,

П-

-

присоединен­

ные функции Лежандра, определяеше формулой ( 2 . 4 . 6 ) .

§5.

Свойства полиномов

Лежандра

Непосредственно

из формулы Родрига

( 2 .4 .5 )

вытекает,

что

( О

) есть четная функция одной переменной,

если

гг,

-

число

четное;

нечетная Функция,

если

п,

-

нечетно.

-

29 -

Тогда

х „

- j - Z F ^ - O ' £ £ г р - 0 ~ с О 1

( 2 .5 .1 )

Bo

d Y r - O '

) " .

о

К < П,

поскольку

0

= i l

L

являются корнями кратности

п.

для функции ( 0* - I )" - ,

а

потовд о т

должны быть и корнями (кратности

а

-к)

производной

к-го порядка от «той функции.

Учитывая «то,

перепишем

чп.

В

Z .

~1

cL

2

•и / ht I

с £ д м~

Обрати» внимание,

что, по

сравнения с

искомым выражением для

,

порядок производной первого

сомножителя подынтегральной

функции уменьшился на I ,

а порядок производной 2 -го сомножителя

увеличился на I . Применяя еще

п — I

раз интегрирование

по час­

тям,

при каждом из которых будем учитывать

( 2 . 5 . 1 ) ,

получим,

оче­

видно,

X .

-

& !)

-

/ /

А .

п I

•

aid

Но ведь

m < гъ

,

а потому производная

(

т

+

п.

)- г о

порядка

функции (

О4 - I^paBH a,

конечно, нулю.

Отсюда

=

0 , что

и требовалось доказать.

____

Следствие I .

Норма полиномов Лежандра

! Р л ( 0

) |

*