книги из ГПНТБ / Каретников, В. Н. Основы вычислительной техники учебное пособие

Сущность симплексного метода заключается в на­ правленном обходе углов пространственного многогран­ ника до тех пор, пока функция С не достигнет экстре­

мального значения. Такой «обход» осуществляется пу­ тем так называемых жордановых исключений, состав­ ляющих основной аппарат симплекс-метода. Для пони­ мания этого аппарата достаточны знания основ линей­ ной алгебры. Для реализации вычислений по симплексметоду на ЭЦВМ имеются отработанные программы.

Кроме симплексного метода, разработаны также специальные методы решения отдельных типов задач линейного планирования, являющиеся в ряде случаев более экономичными, чем симплексный метод (комби­ наторный метод, метод потенциалов Канторовича и др.).

Нелинейное планирование

Во многих случаях при определении оптимальных вариантов конструкции машин и аппаратов, параметров схем, режимов работы технологического оборудования, производственных планов и т. п. минимизируемые (мак­ симизируемые) функции или функции ограничений, а иногда и те и другие, являются нелинейными. Такие задачи относятся к нелинейному планированию (или проектированию).

Математически эти задачи сводятся к определению переменных Х\, х2, ..., хп, при которых оптимизируемая

функция

р = р(х 1,х2, .... х„),

являющаяся нелинейной, имеет минимально (или мак­

и выполнении ограничений

Rs (x1, *2, ...,* „ )> О (S = 1,...,/г; k п),

где функции ограничений R s в общем случае тоже нелинейны. Здесь переменные хь х2, ..., х п являются

искомыми значениями конструктивных и других пара­ метров, оптимизирующих данную конструкцию, техно­ логический процесс и др.

Геометрическую интерпретацию задачи нелинейного планирования поясним на примере двумерного случая (рис. 17). В плоскости х,,х2 нанесены линии уровня

80

пустимых значений переменных (область 1). Наимень­ шее же возможное значение функция р(х\,х2) прини­

мает на границе области 1 в точке Е.

Обобщая теперь на общий слунай, можно сказать, что в рассматриваемом /г-мерном пространстве может быть построено семейство эквипотенциальных гиперпо­ верхностей или гиперповерхностей уровня, соответст­ вующих определенным значениям функции р. Анало-

Рис. 17. К задаче нелинейного планирования

гично можно построить граничные гиперповерхности, образующие в /г-мерном пространстве сферический многогранник, выделяющий в первом квадранте область допустимых значений переменных.

Решение задачи заключается в отыскании тех до­ пустимых значений переменных, которые минимизируют (или максимизируют) функцию р(х\,х2, ...,х„).

Отыскание таких решений сопряжено в общем слу­

81

Г Л А В А VI

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СТРУКТУРЕ АВМ

ИПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1.Понятие о решающем усилителе

Известно, что передаточная функция усилителя с отрицательной обратной связью определяется сопро­ тивлением и емкостью входной цепи и цепи обратной связи (табл. 8). Поэтому он может использоваться как

интегрирующий, дифференцирующий, масштабный или суммирующий усилитель и называется решающим уси­ лителем.

Так, при активных сопротивлениях во входной це­ пи R и в цепи обратной связи R a. с имеем усилитель с

передаточной функцией

Н ( р ) = - ^ = ^-К.

Такой усилитель называется масштабным. Если же во входную цепь параллельно включить несколько со­ противлений, то решающий усилитель будет суммирую­ щим (табл. 8). При включении во входную цепь актив­ ного сопротивления R, а в цепь обратной связи — кон­

денсатора емкостью С получаем интегрирующий усилитель.

Если во входную цепь включить несколько сопротив­ лений, то можно интегрировать сумму нескольких пере­ менных во времени. Если в решающем усилителе во входную цепь включить конденсатор емкостью С, а в цепь обратной связи — активное сопротивление R, то

получим дифференцирующий усилитель. Усилители, вхо­ дящие в состав решающих усилителей, называются опе­ рационными. Это обычно усилители постоянного тока

(УПТ).

Современные АВМ представляют собой комплекс решающих усилителей, снабженный системами для установки коэффициентов передачи, начальных условий, управления работой машины, питания и вывода ре­ зультатов решения.

83

2. Подготовка уравнений к решению.

Составление структурной схемы

Аналоговые вычислительные машины в наибольшей степени применимы для решения дифференциальных уравнений, к которым сводятся многие инженерные за­ дачи. Структуру АВМ и порядок решения задач рас­ смотрим на примере решения обыкновенных дифферен­ циальных уравнений с постоянными коэффициентами. АВМ, предназначенные для этих целей, состоят из ре­ шающих усилителей и дополнительных устройств, слу­ жащих для установки коэффициентов передач и началь­ ных условий, а также для управления машиной во время решения. Уравнения, решаемые на АВМ, явля­ ются математической моделью изучаемых физических процессов, поэтому заданное для решения дифферен­ циальное уравнение называют моделируемым уравне­ нием. Наиболее распространенным методом интегриро­ вания дифференциальных уравнений является метод понижения порядка производной.

Пусть требуется решить линейное дифференциаль­ ное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка:

у — постоянное число или функция време­ ни, т. е. y = f(t) .

Подготовка заданного моделируемого уравнения к решению состоит в приведении его к виду, удобному для решения. Для этого производную высшего порядка

Для получения производной нулевого порядка сое­ диним последовательно требуемое количество интегра­ торов (рис. 18). С помощью полученной схемы можно

найти все члены равенства (28). Для этого умножим первую производную на коэффициент а\, а нулевую

производную (искомую функцию) — на коэффициент ЯоПросуммировав при помощи сумматора полученные чле­ ны равенства с членом, моделирующим вынуждающую

86

функцию y = f (t) , и подав результат на вход первого ин­

тегратора, получим блок-схему решения задачи

(рис. 19).

Для практического решения задачи на АВМ состав­ ляется структурная схема набора, являющаяся основ­ ным рабочим документом. Структурная схема решения рассмотренной задачи показана на рис. 20. Она состоит из одного суммирующего, двух интегрирующих усили­ телей и усилителя перемены знака. Заменяя с целью повышения точности решения операции суммирования и интегрирования интегрированием суммы с помощью одного усилителя, получаем окончательную структур­ ную схему решения (рис. 2 1 ).

3. Составление машинного уравнения

После составления структурной схемы решения за­ писывается машинное (моделирующее) уравнение. С этой целью в операторной форме составляются урав­ нения, связывающие выходное напряжение каждого решающего усилителя с входным напряжением. Для

tu— машинное время.

Исключив из этой системы U\ и U2, получаем ма­

87

Рис. 18. Схема получения производной нулевого порядка

0J ОЛ«в

Рис. 20. Промежуточная структурная схема для решения уравнения (27)

Рис. 21. Окончательная структурная схема для решения уравнения (27)

где р — —— оператор дифференцирования, t — реаль- lit (

ное время, н сравнивая его с (30), видим, что оба урав­ нения подобны.

Обобщая, можно заключить, что для получения коэффициентов моделирующего уравнения (30) нужно иметь в виду, что коэффициент Ь:

1 ) при входном напряжении U0, моделирующем вы­ нуждающую функцию у, равен произведению коэффи­

циентов передачи решающих блоков, последовательно включенных между входом и выходом структурной схемы;

2) при напряжении U, моделирующем искомую

функцию, равен произведению коэффициентов передачи блоков, образующих замкнутый контур, на выходе ко­ торого действует напряжение U\

3) при напряжении pMU, моделирующем первую производную и равном Uh равен произведению коэф­

фициентов передачи блоков, образующих замкнутый контур, на выходе которого действует напряжение U\.

4. Масштабные соотношения. Коэффициенты передачи.

Начальные условия

возникает необходимость в масштабировании, для чего требуется определить значения х тах до решения задан­ ного уравнения и, сравнивая их с 100, подобрать масш­

При решении задач на АВМ в большинстве случаев машинное время равно времени протекания реального

физического процесса. Иногда же использование реаль­ ного масштаба времени приводит к некоторым неудоб­ ствам, например, процесс однократного решения на АВМ оказывается неприемлемо длинным или коротким. В этих случаях производят масштабирование по време­ ни, г. е. решение исходного физического уравнения происходит в «ускоренном» или «замедленном» темпе, однако изменения напряжений в АВМ остаются пропор­ циональными изменениям физических переменных.

Масштабный коэффициент по времени определяется из соотношения

к< = - г = 1 Т - (34)

*м Р

Нго величина выбирается с учетом частотных свойств модели, удобства наблюдения и регистрации решения.

Значения моделирующих величин согласно (33) и (34) находятся из соотношений:

(35)

Р* = Ь,р.

Подставляя эти величины в машинное уравнение (30), приведем его к виду

По аналогии с предыдущими рассуждениями легко показать, что при моделировании линейного дифферен­ циального уравнения третьего порядка получается ма­ шинное уравнение следующего вида:

90