книги из ГПНТБ / Каретников, В. Н. Основы вычислительной техники учебное пособие
.pdfлиний, различная квалификация обслуживающего пер сонала). При этом схема расчета останется в основном такой же, но значение t3 придется каждый раз разыгры
вать, и формула разыгрывания для каждой линии будет своя.
Бывают системы с ожиданием, в которых отказ вы дается не сразу: заявка хранится некоторое время t n
(время пребывания заявки в системе), и если за это время какая-нибудь линия освободится, то она обслу жит эту заявку.
Можно рассматривать системы, в которых очеред ную заявку принимает та линия, которая раньше всех освободилась. Можно учесть случайный выход за строя отдельных линий и случайное время ремонта каждой из них. Можно учесть также изменение плотности потока заявок во времени и многое другое.
Правда, для выполнения всех таких расчетов надо знать вероятностные законы функционирования отдель ных частей системы, проводя тщательные исследования отдельных элементов и хронометражные наблюдения, что удобнее и целесообразнее, чем проводить экспери мент в натуре.
Расчет качества изделий. Порядок решения задач по
расчету качества изделий рассмотрим на примере опре деления действительной толщины бетонной обделки тоннеля. Известно, что действительная толщина моно литной бетонной обделки тоннеля не совпадает с той, которая получена при расчете и принята в проекте. Причина этого — несоответствие получаемого на прак тике поперечного сечения тоннеля в проходке его про ектным размерам. Величина отклонения действитель ных размеров от проектных зависит от целого ряда
факторов. К ним относятся |
диаметр шпуров (d), |
рас |
положение шпуров в забое |
(А), глубина шпуров |
(/), |
угол наклона оконтуривающих шпуров (а), тип ВВ |
(q), |
|
схема взрывания ((), изменчивость свойств пород |
(/) |
|
и другие параметры. |
|
|
Качество же крепи в данной задаче определяется перерасходом бетона на 1 пог. м. тоннеля (V), являю
щимся функцией перечисленных параметров:
V— f(d, А, I, a, q, (,...). |
(6) |
Можно попытаться оценить пределы |
изменения V, |
выбирая для всех параметров «худшие» значения. Одна
70
ко далеко не всегда известно, какой набор параметров будет «худшим». К тому же, при большом числе пара метров такая оценка окажется сильно завышенной: маловероятно, чтобы все параметры одновременно ока зались наихудшими. Поэтому при решении этой задачи целесообразно все параметры и величину V считать
случайными величинами и попытаться оценить матема тическое ожидание MV и дисперсию DV. Величина AIV — это среднее значение V для всего тоннеля, а ве личина DV показывает, какие отклонения V от MV
будут встречаться на практике.
Вычислить аналитически V невозможно. Правда,
это можно сделать экспериментально, промерив разме ры готовой выработки по всей ее длине. В стадии про
ектирования это исключено. |
этого нужно: |
|
Применим метод Монте-Карло. Для |
||
а) знать вероятностные |
характеристики |
всех парамет |
ров; б) знать функцию f |
(уметь вычислять значение V по |
|
любым фиксированным значениям й, Д, I...). Будем счи
тать, что функция / известна.
Вероятностное распределение параметров можно по лучить экспериментально, путем наблюдений. Это рас пределение чаще всего оказывается нормальным. Тогда схема расчета будет весьма простой: разыгрывается значение каждого параметра, затем по формуле (6) вычисляется значение V. Повторив этот опыт N раз и получив значения V), Va, •••, Vn<можно считать, что
(при больших N во второй формуле можно заменить
/V— 1 на /V).
Расчет надежности заключается в том, чтобы оце нить среднее время безотказной работы изделия при из вестных характеристиках безотказной работы всех его элементов.
Если считать, что время безотказной работы каждо го элемента tK— фиксированная величина, то вычис лить время безотказной работы t изделия просто.
Например, для изделия (рис. 14), в котором выход
71
из строя одного элемента влечет за собой выход из строя всего изделия, получим
t = min(t\\ t2\ U U) ■ |
(7) |
Для изделия же (рис. 15), в котором одни элемент дублирован,
t = min[tx\ t2\ max{U\ t4)Js], |
(В) |
так как при выходе из строя элемента № 3 изделие бу дет продолжать работу на одном элементе № 4.
В действительности время безотказной работы лю бого элемента представляет случайную величину 0 К. На пример, срок службы электрической лампочки, равный 1000 часам, является средним МО величины 0.
Рис. 14. Схема изделия без дубли рования элементов
Рис. 15. Схема изделия с дублиро ванием элементов
Если известен характер распределения 0 к для каж дого элемента изделия, то МО можно сосчитать мето
дом Монте-Карло в том же порядке, как это было сде лано при расчете качества изделий. Для этого разыгры ваются значения величин 0*., в результате чего полу чают величины t K. Затем по формулам (7) или (8)
вычисляют значение случайной величины 0. Повторив этот опыт N раз, можно считать, что
где tj — значение /, полученное в /-м опыте.
Как ясно из сказанного выше, метод Монте-Карло основан на экспериментировании со случайными вели чинами, проводимом на ЭВМ. Окончательный результат получают путем статистической обработки результатов этого экспериментирования, поэтому все получаемые величины характеризуются не только математическим ожиданием (средним), но и гистограммой распределе ния со всеми ее параметрами.
72
О масштабах применения метода Монте-Карло
Метод Монте-Карло в настоящее время применяется при конструировании еще не достаточно широко. При чиной такого положения является, во-первых, незнание инженерами возможностей этого метода, а, во-вторых, недостаточная изученность вероятностных характерис тик всех элементов, входящих в существующие и проек тируемые изделия. Установление таких характеристик требует проведения большого объема исследований. Однако затраты на эти исследования могут быть оправ даны, так как, зная характеристики любых изделий, можно оценивать их качество. Кроме того, появится возможность оценивать изменение качества изделий при замене одних элементов другими.
Нет сомнений в том, что предприятия, изготовляю щие те или иные изделия, обязаны производить расчеты качества и надежности изделий и в технических паспор тах давать вероятностные характеристики всех элемен тов.
3. Математическое планирование
Математическое планирование — это новое направ ление прикладной математики, включающее задачи оп тимизации в инженерном проектировании, управлении и экономике.
При решении таких задач из некоторой совокупности возможных решений, удовлетворяющих наложенным ограничениям, требуется найти решение, оптимальное согласно некоторому критерию.
Основными разделами математического планирова ния являются линейное и нелинейное планирование.
Линейное планирование
Задачи линейного планирования сводятся к отыска нию таких неотрицательных значений переменных, ко торые минимизируют (или максимизируют) некоторую линейную функцию этих переменных и одновременно удовлетворяют системе ограничений в виде линейных равенств или неравенств.
Основоположником этого раздела математики яв ляется Л. В. Канторович (ЛГУ, 1938— 1940 гг.).
Чтобы понять сущность вопроса, рассмотрим неко
6 |
2521 |
73 |
торые типичные проблемы, сводящиеся к задачам ли нейного планирования (ЛП).
Оптимальное планирование загрузки станков. Пусть на заводе (или в цехе) имеется т станков, на которых
можно изготовить п различных |
типов изделий. |
|
Обозначим через fly ( / = 1, 2,..., п) |
месячное задание |
|
по выпуску изделий /-го типа. |
Для |
каждого станка |
задано максимально допустимое время работы в тече ние месяца bt (t— 1, 2, ..., т). Кроме того, известно вре мя ttJ, затрачиваемое на изготовление одной детали
/-го типа на t-м станке, а также стоимость обработки одной детали Ciy-. Требуется определить такой план за грузки станков, чтобы месячное задание было выполне но при минимальных затратах средств.
Обозначив через x it количество изделий /-го типа,
изготовляемое за месяц на t-м станке, приходим к сис теме п равенств
т |
(/= 1 , |
|
2, |
п) |
(9) |
Ъ х i j ^ a j |
|
||||
и системе т неравенств |
|
|
|
|
|
Е tijXijKbi |
( /= 1 |
, |
2, ..., |
т). |
(10) |
У=1 |
|
|
|
|
|
Месячные затраты С равны сумме стоимостей изго товления п типов деталей на т станках:
т /I
(П)
;=i j=i
Задача оптимального плана загрузки станков со стоит в отыскании таких величин х , которые миними
зируют |
функцию (1 1 ) и удовлетворяют соотношениям |
(9) и |
(10). Кроме того, нужно учитывать, что x tj не |
могут принимать отрицательных значений, поэтому к
ограничениям (9) и (10) должны быть добавлены огра |
|
ничения, называемые условиями неотрицательности: |
(12) |
х ч > 0 ( t = l , 2 , .... т\ / = 1 , 2,..., п). |
|
Решение задачи оптимизации сводится к определе нию т'Х.п неизвестных xtj .
Оптимальное планирование транспортных перевозок. Пусть т пунктов отправления связаны с п пунктами
назначения системой коммуникаций, и количество гру за, находящегося во всех пунктах отправления, пол ностью покрывает потребности в пунктах назначения.
74
В каждом |
г-м пункте отправления |
находится щ |
( i= 1, 2, т) |
единиц однородного груза, |
а в /-й пункт |
назначения должно быть доставлено bj |
(}= 1 , 2, п) |
|
единиц этого груза. |
|
|
Стоимость перевозки единицы груза из i-ro пункта отправления в /-й пункт назначения равна Сц . Обозна чим через Xij количество груза, планируемого к пере
возке из i-ro пункта в /-й пункт. Тогда общая стои мость С перевозки всех грузов
т |
п |
(13) |
С= S |
hCijXij . |
Кроме того, необходимо выполнение очевидных со отношений:
п
Zxy-C.di |
( i = 1, |
2, ..., |
/я); |
(14) |
||
т |
(у = |
1, 2, .... |
|
я); |
(15) |
|
Z x yK b j |
|
|||||
0 ( / = 1,2 , |
..., |
т; |
у= 1 |
,2, ..., п). |
(16) |
|
Если коммуникации, связывающие пункты отправле ния и места назначения, имеют ограниченную пропуск ную способность* то вводятся дополнительные ограни чения
/= 1 ,2 , ...,п), |
(17) |
где у ij обозначают пропускную способность |
коммуни |
кации между 1-м и /-м пунктами. |
|
Оптимальный раскрой материалов. По плану в шах те устанавливается 1000 деревянных трапециевидных рам крепи, каждая из которых требует cti заготовок типа А\, а2 заготовок типа Л2 и т. д. до ап и А „. Для
изготовления заготовок используют бревна опреде ленных размеров, предусматривают все возможные ва
рианты раскроя этих |
бревен |
и определяют величину |
||
отходов при каждом варианте по табл. 7. |
по |
|||
Обозначим количество бревен, раскраиваемых |
||||
варианту |
1, через Х\, |
по варианту 2 — через хг, .... |
по |
|
варианту |
i — через х 2, |
.... по |
варианту N — через |
x n - |
Тогда условие комплектности можно записать в виде |
|
|||
6* |
|
|
|
75 |
Т а б л и ц а 7
Вариант раскроя |
|
Количество заготовок |
|
Отходы |
||
л, |
А> |
|
Ап |
|
мя |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
Вариант 1 |
« и |
«21 |
|
« ш |
|
С, |
Вариант 2 |
«12 |
«22 |
|
т „ о |
|
с 2 |
Вариант i |
т и |
«21 |
. . |
« П1 |
' |
c i |
Вариант N |
т 1N |
« 2Л' |
|
т nN |
' |
C n |
ninx l+ m l2X2-\-...+ m li-\-...-\-m |
x N = |
1OOOai |
I |
||||
tn2\Xl-j-m22X2+ ...+ m 2i |
+ ... + m 2V х Л = |
Ю00а2 |
П8 |
||||
maix}+m п9х2+ ...+ т я1 Xi+...+mnN x N =1000a„.l |
|
||||||
При этом отход материалов |
|
|
|
|
|||
|
C — CiXi-{-C2X2-\-...-\-CiXl-\-...-\-CNXN . |
|
|
(19) |
|||
Таким |
образом, |
задача |
об оптимальном |
раскрое |
|||
сводится |
к определению |
таких |
неотрицательных |
||||
[xt> 0 ( i = 1,2, |
N) ] значении x v |
которые |
миними |
||||
зируют функцию (19) и удовлетворяют условиям (18). Общая постановка задачи. На основании рассмот ренных выше примеров можно заключить, что к зада чам линейного планирования относятся задачи мини
мизации (или максимизации) линейных функций вида |
|
С= 2 с , х {1 |
(20) |
в которых ограничения на переменные Х\, |
х2, ..., х п за |
даются либо в виде системы линейных равенств и не равенств типа
aux l - j - ai2x2 |
|
xn — b\ |
] |
|
|
..................................................................................................... ^1+ йК 2^2 + |
+ а*-п */.— |
j |
(21) |
||
|
|
||||
ак \ ъ |
2л:2+ |
... |
| ak+i, пхп^ Ь кЛ1 \ |
|
|
........................................................................ amiXv \ ат 2 х 2 \ - |
... |
■ • |
• ■ |
(22) |
|
| атПх п<Ьт; |
> |
|
|||
х i> |
0 (i'= l, |
2, ..., п), |
|
(23) |
|
либо только системой равенств (уравнений).
Всякую совокупность переменных, удовлетворяющих
системе равенств и неравенств |
(21)— (23), называют |
допустимым решением задачи |
линейного планирования. |
76
Допустимое решение, минимизирующее линейную функ цию (20), называют оптимальным решением.
Если все ограничения задаются только в виде сис темы равенств, то говорят, что задача линейного пла нирования задана в канонической форме.
Общая задача линейного планирования, в которой ограничения, наложенные на переменные, содержат как равенства, так и неравенства, может быть приведена к канонической форме. Такое приведение выполняют путем введения в систему ограничений дополнительных переменных, число которых определяется числом . не равенств. Так, в системе (22) после членов ак ц, ч х п и а тпх п добавляются соответственно члены + l y Kii и -\-\ут. Их знак определяется формой неравенства. Мож
но доказать, что всякое решение получаемой при этом системы линейных алгебраических уравнений, удовлет воряющее условию
У к л 1 > 0 ; . . . \ у т > о ,
соответствует определенному решению систем (2 1 )
и (22).
Геометрическое истолкование задач линейного пла нирования. Метод решения задачи линейного планиро вания удобно искать, предварительно определив ее геометрический смысл. Для наглядности обычно ограничиваются рассмотрением двумерного или трех мерного пространства.
Пусть, например, необходимо определить значения переменных х\ и х2, минимизирующих функцию
С= —Зх\—7х2 |
(24) |
|
и удовлетворяющих системе ограничений |
||
5 |
|
|
х2—Х\ > —2 |
(25) |
|
X] < 3 |
||
|
||
*2^4 |
j |
|
и условиям неотрицательности |
|
|
Х\ >0; х2 'У>0. |
(26) |
|
Рассмотрим на плоскости прямоугольную систему координат (х\,х2) (рис. 16). Неравенства (24) выделя
77
ют в этой плоскости .первый квадрант. Ограничения (23) выделяют в первом квадранте область допустимых реше ний (планов) — выпуклый многоугольник ОАВСДЕ. Среди допустимых планов необходимо найти оптималь ный план, т. е. ту точку в области допустимых решений, где функция (22) достигает минимально возможного
значения.
Соотношение (24) определяет семейство параллель ных прямых MN, M\N\, M2N2, ..., для каждой из которых значение С постоянно, причем с переходом
от линии к линии снизу вверх оно убывает. Как видно
Рис. 16. К примеру линейного планирова ния в двумерном пространстве
из рис. 16, оптимальный план выражается прямой M*N*, имеющей единственную общую точку с много
угольником ОАВСДЕ — в вершине В. Эта точка и опре деляет решение поставленной задачи. Заметим, что если бы линия M*N* совпала со стороной многоугольни
ка, то эта сторона явилась бы геометрическим местом совокупности точек, соответствующих оптимальному ре шению данной задачи.
В случае n-мерного пространства каждой его точке
соответствует |
совокупность п вещественных чисел |
(хи Х2..... хп). |
Условия неотрицательности переменных |
(23) выделяют в этом пространстве первый пространст венный квадрант.
Каждому неравенству из системы линейных ограни чений (2 1 ) и (22) соответствует плоскость в п-мерном
78
пространстве—-гиперплоскость, которая разделяет его на две части: совокупность точек, удовлетворяющих данному ограничению, и совокупность точек, не удов летворяющих этому ограничению.
Множество точек, удовлетворяющих всем ограниче ниям, определяет в пространстве n-мерный выпуклый многогранник с плоскими гранями, лежащий в первом квадранте, либо выпуклую многогранную область, ухо дящую в бесконечность.
Линейная функция (20) задает в пространстве се мейство параллельных гиперплоскостей, каждая из ко торых соответствует некоторому значению С. Заметим,
что коэффициенты |
функции (20) определяют вектор |
М = ( С и С2, ..., С„), |
перпендикулярный указанному се |
мейству гиперплоскостей и направленный в сторону возрастания С.
Пусть некоторая гиперплоскость семейства пересе кает многогранник допустимых планов. Передвигая ги перплоскость параллельно самой себе в сторону умень шения С, т. е. противоположно вектору М, можно
привести ее в такое положение, когда при дальнейшем смещении она уже не будет иметь общих точек с мно гогранником.
Предельная гиперплоскость, соответствующая опти мальному значению С, может касаться многогранника
допустимых планов либо в вершине (единственное ре шение), либо по ребру или грани (неединственное решение).
Методы решения задач линейного планирования. Задачи линейного планирования не могут быть решены классическими методами определения экстремумов функций многих переменных. Классические методы пригодны в том случае, когда экстремальная точка яв ляется внутренней точкой области определения функ ции, тогда как линейная функция достигает экстремаль ного значения на границе области.
В настоящее время разработаны методы решения общей задачи линейного планирования. Наиболее об щим и универсальным является симплексный метод, или метод последовательного улучшения плана. Хотя этот метод требует большого объема вычислений, но благодаря своей простоте он удобен для применения на ЭВМ.
79