книги из ГПНТБ / Каретников, В. Н. Основы вычислительной техники учебное пособие

ных данных в искомый результат. Основой для по­ строения алгоритма служат обычно методы вычисли­ тельной математики. При выборе численного метода необходимо учитывать следующие особенности работы ЭЦВМ:

данных и вывода результатов;

3)ограниченную емкость оперативной памяти и большую емкость ВЗУ;

4)относительно низкую скорость обмена между от­ дельными видами памяти;

5) ограниченную представимость чисел;

6) возможность случайных сбоев в процессе работы

машины и необходимость контроля вычислений. Необходимо стремиться к тому, чтобы алгоритм ре­

шения состоял из отдельных фрагментов, связанных в последовательную цепочку.

Под программированием при решении задач на ЭЦВМ понимают представление алгоритма в виде по­ следовательности элементарных операций (команд), выполняемых машиной. Составление программы вклю­ чает следующие этапы:

1 ) разработку логической схемы;

2 ) запись программы;

3)распределение памяти машины;

4)кодирование.

Отладка программы на машине производится с целью выявления и исправления ошибок, допущенных при разработке алгоритма и в процессе программиро­ вания. Сначала производится автономная отладка по блокам, для чего каждый арифметический блок жела­ тельно оканчивать отладочной печатью. На печать вы­ водятся исходные данные, промежуточные и оконча­ тельные результаты. После автономной отладки присту­ пают к отладке логической структуры всей программы (комплексная отладка), которая включает проверку правильности передачи управления от блока к блоку и правильности обмена информацией между блоками.

На пульте управления ЭЦВМ имеется система устройств, позволяющая использовать при отладке про­

50

граммы ряд эффективных приемов: останов по записи, чтению и адресу, занесение с пульта команд и констант, передачу управления с пульта, работу в режиме оди­ ночных команд и т. д. Для упрощения отладки имеются специальные программы отладки (СПО).

Всякая программа решения задачи на ЭЦВМ долж­ на сопровождаться инструкцией, в которой описана последовательность действий при расчете.

Орасчете инженерных конструкций на ЭЦВМ

Внастоящее время в нашей стране для ЭЦВМ раз­ личных типов разработано большое количество про­ грамм для расчета инженерных конструкций. Созданы универсальные программы для расчета широких клас­ сов стержневых систем, являющиеся ныне неотъемле­ мым «инструментом» расчетчика при использовании распространенных типов ЭЦВМ «Минск-22» и «Минск-32».

Широко известна система СМ-5, предназначенная для статического и динамического расчета на ЭВМ «Минск-22» любых плоских стержневых систем со сте­ пенью статической неопределимости до 122. С помощью этой системы можно рассчитывать также некоторые ти­ пы пространственных конструкций, конструкций на упругом основании, конструкций с односторонними связями и некоторые другие типы нелинейно-деформи- руемых систем. В системе СМ-5 автоматизированы все

этапы расчета, время расчета составляет от 2 до 100 мин. Подготовка исходных данных требует затрат

квалификационного инженерного труда от 2 до 50 ча­ сов, в зависимости от сложности конструкции.

Другим примером может служить программа МАРСС-105 для расчета плоских и пространственных стержневых систем. Кроме них, по этой программе можно рассчитывать балки на упругом основании, пли­ ты и оболочки путем стержневой аппроксимации сплошной конструкции. Подготовка исходных данных для расчета по программе МАРСС-105 предельно упро­ щена, не требует специальных знаний по программи­ рованию и в большинстве случаев может выполняться средним техническим персоналом.

Для расчета плоских многоэтажных ортогональных рам предназначены программы СИДР-12 и КАРРА-5.

В Тульском политехническом институте разработа­ на универсальная программа для расчета подземных конструкций на ЭЦВМ «Минск-22». Подземная конст­ рукция (крепь, обделка) может иметь произвольное очертание и быть загруженной произвольной простран­ ственной нагрузкой (горным давлением). При расчете учитываются упругий отпор боковых пород и особен­

определяется с учетом не только изгиба, но и обжатия продольной силой и сдвигов. Исходные данные для рас­ чета содержат информацию о геометрических парамет­ рах крепи, жесткостях ее элементов, упругих свойствах боковых пород и внешних воздействиях на крепь. В ре­ зультате расчета выдаются эпюры отпора, значения всех внутренних силовых факторов в заданных сечениях элементов крепи, ее перемещения в этих же сечениях. Время подготовки исходных данных для расчета со­ ставляет не более 1 часа. Расчет на ЭЦВМ «Минск-22» занимает несколько минут (в зависимости от сложности задачи).

Приведенные примеры наглядно демонстрируют ши­ рокие возможности универсальных программ для рас­ чета инженерных конструкций. Использование ЭВМ позволяет существенно сократить продолжительность расчетов и, самое главное, проводить многовариантный счет, тем самым осуществить выбор наиболее рацио­ нального варианта конструкций.

Г Л А В А V

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ЭЦВМ

1. Приближенное представление функций

Постановка задачи

Вопрос о приближенном представлении функций (аппроксимации) имеет большое значение при расчетах на ЭЦВМ. Так, при обработке экспериментальных дан­ ных получаются значения некоторой функции для соот­ ветствующих значений аргумента и по этим значениям

52

нужно построить функцию. В других случаях бывает задана функция, которая имеет сложный вид — требует­ ся представить ее приближенно в более простом виде, иногда дано дифференциальное уравнение — нужно найти приближенное выражение его решения.

С приближенным представлением функции связаны другие многочисленные задачи. Например: вычислить приближенно площадь, ограниченную данной кривой, двумя ординатами и осью абсцисс; сложную периодиче­ скую функцию представить приближенно посредством

метров а, р, у,..., то задача сводится к определению этих параметров.

Кривой ошибок называется кривая, заданная урав­ нением у = \ { х ) , где A( x ) = f ( x ) —F(x). Если абсолют­

ные величины максимумов и минимумов этой кривой равны между собой, то кривая ошибок называется соглас­ но Чебышеву функцией, наименее уклоняющейся от ну­ ля. Однако обычно применяют методы аппроксимации

53

Для нахождения этой же функции применяется ин­

У а

А(/4

54

I

Интерполяционная формула Ньютона дает точный результат только в том случае, если в одном из столб­ цов таблицы разностей всюду получается нуль (это имеет место, если заданная функция — полином). Если значения разностей в одном каком-либо столбце от­ личны от нуля, но достаточно малы, формула дает при­ ближенный результат.

Обозначив ^~ТГ=11' представим формулу Ньютона в

виде

Практически сохраняют в правой части формул столько членов, чтобы при добавлении новых членов оставались неизменными те десятичные знаки, которые обеспечивают необходимую точность результата. При вычислении значений, относящихся к последним строкам разностной схемы, применяется вторая интерполяцион­ ная формула Ньютона:

i/(r+l)(u-|-2)

+3! А3Уп-з“Ь

где и= разности соответствуют случаю, когда

55

заданы значения функций ...г/_2, У- ь Уо, У\, Уг - для зна­

чений аргумента

В эту формулу входят значения функции у, примы­ кающие с обеих сторон к у0, поэтому она применяется,

когда аппроксимирующая функция должна давать дос­ таточно точные результаты для значений х, близких к

значению х0, лежащему в средней части разностной схемы.

Между разностями и производными имеются опре­ деленные зависимости.

Из формулы Ньютона получаем

Приближение функций по методу наименьших квадратов

Сущность этого метода заключается в том, что за­ данная функция f(x) аппроксимируется функцией F(x,a,li,...), у которой параметры а, р,... подбираются

так, чтобы интеграл

56

a

получил минимальное значение. Это приводит к сле­ дующим уравнениям для определения коэффициентов:

Приближенное вычисление определенных интегралов

Приближенное вычисление определенных интегра­ лов можно произвести по одной из следующих фор­ мул:

а) но формулам прямоугольников

в) по формуле парабол (формуле Симпсона)

i f ( x ) d x x --37- [Уо +-У«4-2(УагУ4+ ••• -ЬУл-г) f

( 4(yr f y 3-|- ... + y n_i)].

В этих формулах: «</?; п — число равных отрезков, на которые разбивается интервал [a, b] (в формуле Симпсона п — четное число); Х\, х2,..., х n- i — точки де­ ления интервала [а, 6];

57

x 0= a\ x n= b\ y , = f ( x t) ( t '= 0,1, •••, n) ;

Если в интервале [a, b] существует непрерывная вторая производная f" (х) и If" (х)/ <М, то при вычис­

лении интеграла / по третьей формуле прямоугольни­ ков абсолютная ошибка

(Ьх)-М,

а при вычислении по формуле трапеций

Л / < - ^ р - (Дл:)2Л*.

Если в интервале [а, Ь] функция f(x) имеет непре­ рывную четвертую производную и | f ' v(x) | -^N , то

при использовании формулы Симпсона ошибка

Приближенный гармонический анализ

При решении различных задач часто требуется раз­ ложить численно заданную функцию в тригонометри­ ческий ряд. Коэффициенты разложения в этом случае определяются по формулам приближенного гармони­ ческого анализа.

Формулы Чебышева. Во многих случаях (например,

вычисление коэффициентов разложения представляет трудности, функции заданы графически или в таблич­ ной форме) разложение в тригонометрический ряд основано на замене интегралов суммами.

Пусть период 2я разделен на т равных частей точ­

ками

58

Xq— 0, X\, X2t j

{ х ь= ~^Г~ Аля k = G’ *' 2' ■••’ m )

и значения функции f{xk) = f k заданы или могут быть

измерены. Тогда для вычисления коэффициентов суммы

f(x) — ao-\-aiCosx-{-a2COs2 x-^...-{-a «-icos (п—1 )* + +a„cos/zx+bisinx+;b2sin2x+ ...+ & n_isin (n— l)x,

превышает число коэффициентов, наилучшее приближе­ ние по методу наименьших квадратов дают следующие формулы:

ma0= 2 2 / ft; map= ^ f k zospxk \

кк

mbp = ^ f k ^ nPXk\ k = \ , 2, ..., т ■

Если ограничиться первыми тремя гармониками и если не требуется большая точность, можно вычислить коэффициенты разложения по следующей схеме:

/(х) = a 0+aicos.x:+a2cos2x+a3cos3x-f fr|Sinx+ + b 2sin2x+63sin3x;

ьз— / 3+ / 5— / 7+ /»— / 11);

59