книги из ГПНТБ / Каретников, В. Н. Основы вычислительной техники учебное пособие

Если начальная запись программы произведена в восьмеричной системе счисления, то для записи каждой восьмеричной цифры отводятся три участка — каждая восьмеричная цифра записывается в виде трехзначно­ го двоичного числа, т. е. в двоично-восьмеричной систе­ ме. В результате восьмеричные цифры будут записаны на перфокарте следующим образом:

□ ■ аз в в 97

Для пробивки отверстия на перфокартах служит специальный прибор — перфоратор. Он снабжен кла­ вишным устройством, взаимодействующим с системой

пуансонов, осуществляющих пробивку отверстий. При нажатии, например, клавиши, соответствующей деся­

непосредственно с машиной начинается только с нача­ ла ввода готовых перфолент.

В настоящее время имеются машины, ввод програм­ мы в которые осуществляется непосредственно печата­ нием на специально встроенной печатной машине. При этом программист использует привычную десятичную

20

чение корня, > больше, с меньше и т. д.), обще­

можно вводить коррективы. Результаты расчета печа­ таются автоматически. Появление машин такого типа знаменует новый, более высокий уровень развития ЭЦВМ, так как их широкое и успешное применение возможно только при простых формах взаимодействия человека и машины.

Запись чисел в ячейках памяти машины

ЦВМ по способу представления в них чисел под­ разделяются на машины с фиксированной запятой и машины с плавающей запятой.

В машинах с фиксированной запятой применяется естественная форма записи чисел — в виде последова­ тельности цифр, разделенных запятой на целую и дроб­

ными цифрами 1, 2, 3, ...). Некоторое постоянное коли­ чество цифров'ых разрядов отведено для хранения це­ лой части числа, остальные цифровые разряды пред­

разрядами для хранения целой части и восемью разря­ дами для хранения дробной части числа. Обычно ячей­ ка памяти машины содержит около сорока цифровых разрядов.

При изображении положительного числа в знаковом

Применяя машину с фиксированной запятой, нужно всегда помнить о возможности переполнения разрядной сетки. Во избежание этого все величины, входящие в решаемую задачу, необходимо заранее умножить на

масштабные коэффициенты — множители, подобранные

21

таким образом, чтобы в процессе вычислений разряд­ ная сетка не переполнялась. Подбор масштабных коэф­ фициентов весьма трудоемок. Для облегчения подбора коэффициентов в большинстве случаев запятая фикси­ руется перед первым цифровым разрядом ячейки, сразу

Зной Цолая иасть Дм>5иао ч а с т

!'В|( 1 I 1 I 5 I о’ || ОI ( I 1 I ОI ОI I I ОI о

о 1 Г з Г Г,ТТ 1 т а и и и а

Рис.. 2. Схема ячейки памяти машины с фикси­ рованной запятой

после знакового разряда, так, что в ячейке могут быть записаны только правильные дроби, в которые должно быть превращено любое число. Таким образом, диапа­ зон положительных чисел, который может быть запи­ сан в ячейке памяти таких машин, сравнительно не­ велик. Например, в ячейке, изображенной на рис. 2,

будет представлено в виде нуля.

Отличные от нуля числа, воспринимаемые машиной как нуль, называются машинными нулями.

Применение машин с фиксированной запятой со­ пряжено с необходимостью использования масштаб­ ных коэффициентов, что затрудняет работу на них.

Машины с плавающей запятой лишены этого недо­ статка. В них каждая ячейка памяти, кроме знакового и цифрового разрядов, имеет еще некоторое количество дополнительных разрядов, показывающих положение запятой.

В ячейке машины с плавающей запятой число N за­ писывается в виде произведения мантиссы пг на осно­ вание принятой системы счисления в степени р. Пока­ затель степени р называется порядком числа N. Знак

мантиссы записывается в знаковый разряд ячейки, а мантисса — в цифровые разряды. Первый разряд ука­

22

зателя служит для хранения знака порядка, а осталь­ ные его разряды — для хранения абсолютной величины порядка (рис. 3). Таким образом, числа записываются в следующем виде:

N=m-IQP,

Рис. 3. Схема ячейки памяти машины с плавающей запятой

Если выполняется условие

двоичной записи содержит всегда единицу. Нормализованная запись чисел снижает погрешность

в их изображении (после запятой нулей не бывает, поэтому значащие цифры могут занимать все цифровые разряды).

Рис. 4. Схема записи числа + 1010010,11 в ячейке памяти машины с плавающей запятой

Диапазоны чисел, представляемых в ячейках памяти машины

Самое большое положительное число, которое мож­ но записать в ячейке памяти машины с фиксированной

23

запятой, имеющей п цифровых разрядов для целой ча­

сти числа и и цифровых разрядов для дробной части, равно

N max =2"—2 - \

Самое малое положительное число, которое может

хранить такая ячейка,

N min= 0... 0,00... 01,

или

Таким образом, диапазон чисел, представляемых в ячейке памяти машины с фиксированной запятой, опре­ деляется неравенством

2~v< | N | <2"—2 -' .

Самое большое положительное число, которое мож­ но записать в ячейке памяти машины с плавающей за­ пятой, имеющей р цифровых разрядов для изображе­ ния абсолютной величины мантиссы и р разрядов для изображения абсолютной величины порядка,

или

Nmax~ ( \ —2 |1)-22?- 1 .

Самое малое нормализованное число, которое может хранить такая ячейка, следующее:

W«j«=0,10 ... 0- 10- ’ - ' = 2-1 .2-2Р+1 = 2 - 2Р,

или

N, — 9 - 2 ?

^min "

Таким образом, диапазон чисел, представляемых в ячейке памяти машины с плавающей запятой, опреде­ ляется следующим неравенством:

2~2Р < | N | < (1 - 2 - ^ ) .2 2Р-1 .

24

Пусть ячейка памяти машины состоит из 43 ячеек («Стрела»). При запятой, фиксированной после знако­ вого разряда (п= 0, о = 42), диапазон представляемых

чисел был бы

очень маленькую дробь, обеспечивающую практически любую точность счета. Такой диапазон чисел является достаточным для решения любых задач.

В случае применения машины с фиксированной за­ пятой при использовании всех 42 разрядов ячейки для представления целой части можно изобразить только тринадцатизначное десятичное число. К тому же в этом случае нельзя было бы изображать дробную часть чисел. При задалживании некоторого количества раз­ рядов для дробной части предельная величина целой части будет значительно меньше.

Из приведенного примера видно, насколько шире диапазон представляемых чисел для машины с плаваю­ щей запятой, чем для машины с фиксированной запя­ той.

Широта диапазона представляемых чисел для ма­ шин с плавающей запятой делает ненужным исполь­ зование масштабных коэффициентов. Правда, следует помнить, что это преимущество достигнуто за счет присоединения к каждой ячейке дополнительных раз­ рядов и усложнения правил выполнения арифметиче­ ских операций, т. е. за счет усложнения конструкции

иувеличения ее стоимости.

4.Арифметические действия над нормализованными

числами

Как отмечалось выше, в машинах с плавающей за­ пятой применяется нормализованная запись чисел. От­ мечалось также, что правила выполнения арифметиче­ ских операций при этом усложняются. Рассмотрим эти правила.

25

Сложение (вычитание) двух нормализованных чи­ сел выполняется следующим образом. Сначала вырав­ ниваются порядки этих чисел, т. е. число, порядок ко­ торого меньше, денормализуетея так, чтобы его поря­ док стал равен порядку второго числа, после чего ман­ тиссы обоих чисел складываются (вычитаются) по правилам сложения (вычитания) чисел с фиксирован­ ной запятой. Сумма (разность) мантисс принимается за мантиссу суммы (разности), а порядок большего по абсолютной величине числа — за порядок суммы (раз­ ности). Результат нормализуется.

Умножение (деление) двух нормализованных чисел осуществляется следующим образом: умножаются (де­ лятся) мантиссы. Произведение (частное) мантисс при­ нимается за мантиссу произведения (частного), а сум­ ма (разность) порядков первого и второго чисел — за порядок произведения (частного). Результат нормали­ зуется. Например, в десятичной системе:

1) 0,125 -10 -5 + 0,37-10”3 = 0,00000125 +

+0,00037 = 0,00037125 = 0,37125-КН»;

2)0,37 • 10 -3—0,125-10 -5 = 0,00037— —0,00000125 = 0,00036875 = 0,36875 • 10~3;

вдвоичной системе:

1)0,101 • 10-10+ 0 ,1 11 - Ю-100 = 0,0010100+0,0000111 =

=0,0011011=0,1101-10-10;

2)0,101-10100—0,11101-1010 = 1010—11,101 =

=110,011 = 0,110011 • 10й;

3) 0,110001 •10100Х (—0,10011001 •10- ") =

=—0,01110101001001 - 10> = —0,11101011001001;

4)(—0,110111 - 10-10) : 0,101 = —0,1011 • 10~10.

Аналогичным образом выполняются арифметиче­

ские операции над числами в восьмеричной, шестнад­ цатеричной и других системах счисления.

Выполнение всех арифметических операций на вы­ числительной машине сводится к операциям сложения.

Это достигается путем применения специальных кодов: прямого, обратного и дополнительного.

Прямым кодом двоичного числа

представленного в форме с фиксированной запятой, на­

26

зывается целое (к-\-п-\-т)-разрядное число (/с>1),

определяемое по формуле

представленного в форме с фиксированной запятой, на­

знаковыми, а остальные разряды — цифровыми. Дополнительным кодом двоичного числа

a= ±a\(i2...an, dn+i, а п+2, •••, йп\т,

представленного в форме с фиксированной запятой, на­

27

знаковыми разрядами, причем коды с двумя знаковыми разрядами называют модифицированными.

Используя обратный или дополнительный код, опе­ рации вычитания и сложения чисел с различными зна­ ками можно свести к простому сложению кодов чисел.

При алгебраическом сложении двух двоичных чисел с использованием обратного кода положительные сла­ гаемые представляются в прямом коде, а отрицатель­ ные— в обратном и производится арифметическое сум­ мирование этих кодов, включая разряды знаков, кото­ рые при этом рассматриваются как разряды целых еди­ ниц. При возникновении переноса из разряда знака единица переноса прибавляется к младшему разряду суммы кодов (такой перенос называется круговым). В результате получается алгебраическая сумма в пря­ мом коде, если эта сумма положительна, и в обратном коде, если она отрицательна.

При алгебраическом сложении двух двоичных чисел с использованием дополнительного кода положитель­ ные слагаемые представляются в прямом коде, а от­ рицательные — в дополнительном и производится ариф­ метическое суммирование этих кодов, включая разряды знаков, которые при этом рассматриваются как разря­ ды целых единиц. При возникновении переноса из разряда знака единица переноса отбрасывается. В ре­ зультате получается алгебраическая сумма в прямом коде, если эта сумма положительна, и в дополнитель­ ном коде, если эта сумма отрицательна.

Таким образом, операция вычитания, рассматривае­ мая как алгебраическое сложение, может быть замене­ на операцией преобразования прямых кодов отрица­ тельных чисел в обратные или дополнительные и про­ стым арифметическим сложением соответствующих кодов чисел. Если результат получается в обратном или дополнительном коде (алгебраическая сумма отри­ цательна), то в случае необходимости он может быть переведен в прямой код.

В качестве примера покажем алгебраическое сло­ жение чисел (+ 10101) и (— 1001) с использованием обратного кода. Положительное слагаемое 10101 пред­

28

[10101]п* =010101 (Л=1, п = Ъ).

Отрицательное слагаемое представляем в обратном

коде [ 1001] обР = 1Ю110 (й = 1, п = 5) . (Здесь мы пред­

варительно произвели сдвиг второго двоичного числа для выравнивания цифровых разрядов ( п = 5), дописав

нуль между цифровым и знаковым разрядами). Производим арифметическое суммирование получен­

разряда. Поэтому при арифметическом сложении полу­ ченных кодов единица переноса из знакового разряда не добавляется к младшему цифровому разряду, а отбрасывается.

Умножение на вычислительной машине обычно сво­ дится к последовательности операций прибавления множимого к сумме уже ранее вычисленных частных произведений и сдвига получаемых сумм вправо на один разряд. Код множителя разряд за разрядом (на­ чиная с младшего) подается на элемент схемы, прове­ ряющей наличие в поданном разряде 1 или 0. Если в данном разряде множителя стоит 1. производится при­ бавление кода множимого к сумме, стоящей в сум­

маторе. Затем производится сдвиг новой суммы впра­ во на один разряд. Если в данном разряде множителя стоит 0, прибавления множимого не производится, а лишь выполняется сдвиг кода сумматора вправо на один разряд.

Деление на вычислительной машине сводится к че­ редованию операций вычитания делителя из делимого или из остатка от предыдущего вычитания и сдвига остатка влево на один разряд. При этом разряды част­ ного получаются последовательно, начиная со стар­ шего разряда.

29