книги из ГПНТБ / Воронин, В. А. Теоретические основы процесса деформации переувлажненных почв гусеницами уборочных машин

3. Уравнения совместности (неразрывности) деформаций

Из уравнений Наши (15) следует, что шесть компонентов де­

деляются все шесть составляющих дефорлации. Из этого следует, что все шесть функций £i,£ij произвольно задать нельзя, между

н и ш должны существовать определенные зависимости. Для их опре­ деления необходимо из уравнений (15) исключить компоненты смеще­ ний U,\r,W . Получаемые при этом зависимости называются урав­ нениями совместности или неразрывности деформаций Сен-Венана. Опуская преобразования, приводимые во всех курсах теории упру­

§ 4. Уоловия на границе тела

Уравнения движения среды (16), неразрывности среды (17) и совместности деформаций (18) справедливы ддя любой точки внут­ ри тела. На поверхности же тела напряженное состояние определя­ ется связью между внешними нагрузками, действующими на границе

20

тела, и компонентами напряжений внутри тела возле граничной по­ верхности. Эта связь может быть представлена системой уравне­ ний:

Pnx — 6xC0s(rfx) + ^Гхуoos(n?y)+ fxeCQS(tCe)

Рпц в TyxCOSCM) + Gy сой(гСч) + ТУ2 cos( п% )

Рпь nTSKpas(n?x) + Ti4cos(rM!) + бг соэ(пГг)

на наружной поверхности тела, и характеризуют статические гра­ ничные условия.

На контуре должны быть заданы и кинематические граничные условия, которые могут быть как с континуальными (непрерывны­ ми) , так и дискретными связями. Эти связи могут быть односто­ ронними и двухсторонними.

В целом ряде случаев необходимо устанавливать динамичес­ кие граничные условия, которые в соответствии с условиями задачи могут характерасоваться на границе тела или скоростями переме­ щения, или ускорениями, или их производными для граничных то­ чек.

Глава П. ДЖОРМАДИЯ ПОЧВЫ. КАК ОБЪЕКТ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ СРЕДЫ

Все уравнения механики сплошной среды, приведенные е пре­ дыдущей главе, не учитывают конкретных физических свойств те­ ла и поэтому пригодны для описания движения любой сплошной сре­ ды. Отсутствие в этих уравнениях физических особенностей среды, задаваемых дополнительными уравнениями, не позволяет, как пра­

21

вило» решить задачу о напряженном и деформированном состоянии рассматриваемого тела. Очевидно, что и сама постановка задачи о напряжениях и деформациях абстрактного тела без конкретных физических его характеристик; лишена смысла. Следовательно, для определения напряженного и деформированного состояния рас­ сматриваемого тела необходимо установить его физическую приро­ ду, выявить уравнения связи его деформационных констант и рас­

смотреть их совместно с общими уравнениями движения сплошной среды,

§I. Обоснование деформационных свойств переувлажненных почв, как среды-

Исследование процесса взаимодействия гусеничных движителей Уборочных машин с переувлажненной почвой /7/ позволило уста­ новить, что вследствие малого значения коэффициента фильтрации почво-грунтов и незначительной продолжительности времени воз­ действия движителей на почву поровая вода не успевает отфильтроватьсд и лочви-грунты в этом случае представляют собою нес­ жимаемое тело, которое может деформироваться путем изменения Ф о р ш при практически неизмененном объеме.

В механике деформируемых сред /17/ изменение Ф о р ш тела под нагрузкой при неизменном его объеме в сочетании со способ­ ностью тела сохранять форму после снятия нагрузки принято

.отождествлять с пластической деформацией.

Вообще, при достаточно малых нагрузках переувлажненные почвы в период уборки урожая деформируются как упругое тело. Упругие свойства в этом случае обусловливаются некоторым коли­ чеством газа, находящегося в порах почвы и растворенного в во­

де, а также наличием растительного покрова. С возрастанием нагруз­ ки на почву в ней возникают области пластических деформаций, границы которых невозможно установить заранее. Возникающие при решении подобных смешанных задач (упруго-пластическая деформа­ ция) мтте?«атические трудности до настоящего времени не преодо­ лены, за искльчением отдельных простейших случаев /14/.

В связи с изложенным приобретает важное значение возмож-

22

ность упрощения в постановке задачи. Прежде всего, возможно использование допущения о несжимаемости среды, т.е. значение

модуля упругиетп принимается рагным бесконечности, что соот­ ветствует переходу от кривой деформации с упругим участком

ккривой деформации с одной лишь площадкой текучести.

Втакой постановке переувлажненная почва, как среда, мо­ жет быть представлена в схеме жестко-пластического тела. При этом тело остается совершенно недефоршруемым, пока напряжен­ ное состояние в нем не станет где-либо удовлетворять условию текучести и не возникнет возможность пластических деформаций.

Вто же время определенные части депортируемого те^а под дейст­ вием нагрузки, распределенной по ограниченной поверхности этого тела, останутся жесткими, и нужно найти такие решения в пласти­ ческих зонах,-чтобы смещения на границах пластических и жестких областей соответствовали смещениям жестких частей.

Деформацию почвы, как жестко-пластической среды, можно рассматривать в двух аспектах: исследовать перемещения точек среды в функции ее напряженного состояния и установить предель­ ное напряженное состояние среды, когда сколько угодно малый реет нагрузки приводит к потере равновесного состояния среды

иначалу перемещений в деформируемой области.

Первое направление в исследовании деформации почвы позво­ ляет решать целый ряд практических задач в условии пластическо­ го течения среды. Среди этих задач одной из важнейших являет­ ся определение траекторий перемещений точек среды е функции напряженного состояния. Получаемые в результате этого так называемые линии деформаций позволяют сравнивать теоретичес­ кую картину процесса деформации с экспериментальной на конкрет­ ном физическом теле'. Такое сравнение позволяет оценить воз­ можность применения к процессу деформации почвы методов и мате­ матического аппарата теории жестко-пластической среды.

Второе направление в исследовании деформации почвы - пре­ дельное равновесное состояние сруцы, плодотворно применяется в решении большого круга н° /чно-инженерных задач (определения несущей способности почвы, глубины колеи, зон деформирования

23

поверхности поля и др.).

Очевидно, что использование законов предельного равнове­ сия жестко-пластической среды в исследовании деформации почвы возможно только в том случае, если будет доказана правомочность применения к последней закономерностей деформации жестко-плас­ тической среды. Это доказательство может быть осуществлено, пак уже отмечалось, методами, являющимися областью исследования первого направле ия в изучении деформации почвы. Поэтому це­ лесообразно начать изучение общей теории деформации почвы под нагрузкой с исследования закономерностей пластического течения среды, чему и посвящена настоящая глава.

§ 2. Гипотезы и постулаты теории пластического течения

I. Деформируемое жестко-пластическое тело изотропно и одно­ родно.

2.Объем тела при пластической деформации не изменяется,

т.е.

Из этого условия следует, что тензор деформаций при плас­ тическом течении представляет собой девиатор.

3.Пластическая деформация рассматривается как состояние движения среды. Это положение предполагаем принятие за основу теории пластического течения системы уравнений, связывающих напряжения и скорости деформаций.

4.Девиаторы напряжений и скоростей деформаций подобны,

т.е.

6jc“ Scpср,»>xi|Дхи ДЛхв;

6tp, ‘The

^2* .^«(/бй-бср

5. Интенсивность касательных напряжений во всех точках среды постоянна, (условие текучести Мизеса), или есть опреде­ ленная функция скоростей деформации сдвига (гипотеза А.А.Илью­

24

поверхности» основные определяющие функции пластического те­ чения почвы достаточно полно характеризуются аргументами, ле­ жащими в одной плоскости, ортогональной к направлению движе­ ния машины. Это обстоятельство позволяет использовать усло­ вия двухмерной задачи и в случае деформации почвы гусеничны­ ми движителями, линейные размеры опорной поверхности которых являются величинами одного порядка.

Допустим, что двухмерным пространством, в котором проте­ кает деформация, является плоскость ХУ. Тогда очевидно, что

Полученное равенство матрии позволяет установить следую­ щие соотношения между компонентами напряжений и скоростей деформаций:

Для исключения из этих уравнений коэффициента пропорцио­ нальности У разделим их почленно и, выразив^x^i/^lyxчерез компоненты скорости перемещения V* и Vy » получим искомую

зависимость:

26

ранства.

Учитывая малые скорости деформации» принятые в предыдущем параграфе при выборе гипотезы условия текучести, а также незна­ чительность массы деформируемого объема по сравнению с действую­ щими внешними нагрузками, можно пренебречь объемными силами

Тахим образом, напряжения и скорости компоненты деформа­ ции в двухмерном пространстве определяются системой пяти Уравнений (25), (26), (27) и (28), которые содержат пять неиз­ вестных: бх,бчДху,Vx ,Vij . Однако непосредственное определение всех искомых величин из имеющихся пяти уравнений не представ­ ляется возможным, так как из трех величин 6*, Б у , Тху , связанных условием пластичности (28) только две могут быть независимыми переменными, а третья определяется из условий пластичности.

Из условия (24) следует, что сеч°ние тела плоскостью, пер­ пендикулярной к -ои 2 , является одной из главных площадок. Остальные главные напряжения .являются корнями квадратного урав­ нения, получаемого после раскрытия девиатора напряжений для

27

Уравнения (31) показывают, что при плоской деформации напряженное состояние в каждой точке при пластическом тече­ нии характеризуется наложением гидростатического давления бср на напряжения чистого сдвига Т щ а х . Графическая интерпретация этого условия показаца на рисунке 4.

^ис.^# Напряженное состояние в точке при пластическом

течении.

§ 4. Линии скольжения

Из условия пластичности (24) следует, что пластическая де­ формация наступает в том случае, когда в каждой точке тела мак­ симальные касательные напряжения достигнут своего максимума, равного величине К . Очевидно, что и смещения в теле будут

максимального касательного напряжения, называются линиями сколь­ жения.

Поскольку площадок с максимальными касательными напряже­ ниями в каждой Точке плоскости всегда две и расположены они относительно друг друга под углом Vz. > то в плоскости ХУ всегда должно тлеться два ортогональных семейства линий сколь­ жения.

Из. определения лг|"гй скольжения можно сделать вывод, что их положение и характеристики определяются полем напряжений, . которое для плоской задачи описывается тремя уравнениями (26)

и (28).

Рассмотрим характеристики линий скольжения.

Из курса сопротивления материалов /25/ известно, что

где o< - угол наклона к оси X нормали к площадке, на которой действует главное напряжение 64,(рис.5)

Из уравнений (28) и (30) следует

64- 6s

Как известно, площадки действия максимальных каса­ тельных напряжений делят пополам углы между главными площад­ ками. Поэтому справедливо соотношение (рис.5)

29