книги из ГПНТБ / Воробьев, Е. М. Уравнения математической физики (некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона-Якоби и волновым уравнением) учеб. пособие

для каждого К можно выбрать такое число /7К

,

что

Vm>nK

II Ч>Л?-ifin™If * Kd

(Г)

Рассмотрим кдасо

фе. <3?*, содержащий последовательность

Эта последовательность фундаментальна и &т ИФ] —^РII=0

Чтобы убедиться в этом, обозначим

с

класо,

содержащийf^j

онарную последовательность | Ч^^\ Уп*^i

Иа

^

следует

//Ф<_<р(«Ц

в й т „ t p n < * >

/ /

(

6 )

;

Поэтому

Следовательно, последовательность {Фп**} Фундаментальна.

Из

неравенства (б) вытекает неравенство;

'

// ^ ^ / / 9 > - < Р ' ^

а из неравенства следует, что Vs>0

при p>-p(S,K)

Полнота пространства

доказана.

Из предыдущих раооуждений ясно, чю еоли ф €

ьС ^-предел

фундаментальной последовательности,

то существует

последователь­

ность ^ЯР^^/" | сходящая к

с =

, такая, что VKР'содер-

разом,

' плотно в

Следующее отображение ^Zf ~—JC f

язляетоя,

очевидно, изоморфизмом и изометрией:

приближена в среднем непрерывной на IL

функцией. Это означае

что пространство Ь%

(I2-) совпадает о пополнением пространства

LA2 <К)определенных и непрерывных на IL

функций, имеющих

конечную #орму;

Таким образом получаем определение пространства

§ 3. Соболевские

пространства

Рассмотрим линейное пространство S

бесконечно дифферен­

цируемых на R

функций

У

, удовлетворяющих условию .

Vp±,~'.,pn;и

SUP

\&^nnl\

. \ м ф ° ° т

т.е. убывающих со

воеии обойми

производными быстро» зябок отри­

цательной отвпеян

|Х|

при

М;**

. В час;.

•••*?-„

ц у Л = J1

? % ) Г - д и ! к ? Ы Л к ,

а з )

где Л 3 ? "77;г

и авеэдочка означает комплексное сопряжен

Определение. Соболевским пространством VJ^lR.

) называ­

ется пополнение пространства S

по норме^(12).

Задача. Доказать, что пространство

-гильбертово.

Пространство

мы будем также обозначать символом

данным в § 2, поскольку всякую непрерывную функцию

о

тегрируемым на R

квадратом можно о любой точностью приб

в среднем финитной функцией F^-S

. Мы не останавливаемся

казательстве этого факта.

Формула (2) имеет смысл и в тон случае, когда

/с"

-

отрицательное число. Рассмотрим линейные пространства

S

( С ~ натуральное) функций У , предотавимых в виде

У=(-Ь+1)*Ч>,

V e

д .

( 1 3 )

Покажем, что для всякой функции

У £ S1^

функции

о

чай С=1

.Пуоть {-Д + 1)У> =(-ДтА)Ц> Тогда для функ

}~У-\р

имеем

(~й+1}} = 0

(14)

Из (14) следует, что Sj%)(~bHyU)elx

~0

J .оовпадает о пространсткнг D

Действительно,

пусть

» Покажем, что

У =*(-А+1) У, Очевидно, достаточно докавать это для

На инвариантности

S

относительно*преобразования Фурье, суще

отвования

F

, определенного на S

в равенства {18) сле-

дует,что в качестве У

можно взята г V

» гае

В анализе доказываются следующие свойства преобразования

Фурье функций ив

:

j

1)

Существует Sобратное преобразование F

, опредеден

•ое на

S

• причем

^ « ^ - ^ / е 1

^ ^

( 1 5 2 )

2)

J

J

А

=

fE(ty(p)J*(Fyj(ptip

£"

Rh

( 1 6 ) -

(равенотво Пароеваля)

3) Пусть Dj

- оператор дифференцирования

по J

-ой ко

динате, Uj

- оператор умножения на j

-ю координату.

Тогда

-LDjF^Fuj,

{11-0

UjF

-

IFDj

ci7

Ив последнего свойства непоЬредственно следует,

что

Определение*

Пространством

называется

пополне­

ние пространства

,5*

по норме;

Задача. Доказать.

.' (Ц"} .. <ояно от.т;.чес-снить с

Итак, оператор -Я" определен и, в силу изонетричнооти,

не­

прерывен на плотном подмножестве ^

пространства Wz. (R,

J .

Следовательно, преобразование Фурье р

может быть по непреры

ности продолжено на вое

( & П )

!

Fy&GmF%

,

(23)

/7-» ос

где { y^J-

- произвольная последовательность элементов

из S

,

оходящаяоя к

У <S

( £ . " ) •

^

Определение. Изометрический оператор

определенный формулой

(23), называется преобразованием Фурье в

Корректность этого определения очевидна. Продолжая по непре­

рывности оператор, определенный на 5" формулой

(15), видим,

что

оператор

F

имеет обратный оператор

W*(R.n)~*

W^lPf')

Действительно,

обозначая чере,. /

непрерывное

продолжение

ода*-

ратора (152) на. V z Y £ * V . имеем V

S

раторав^, F и F

, отсюда следует, что FF^J'

FF-J.

т.е. F ~F

Таким образом, справедлива

Теорема 3.

Преобразование Фурье F'. Wz

(£.")•— W^(R

является изометрическим изоморфизмом.

Примечание.

Пусть У>{х)-£ Wz7z%

4 S .

§ 5. Двойственность

пространств Wz &)*

(R.^) ,

Теорема 4. Пусть /

е W/feV, f €

^f^JJ//)

последовательности функций из S t сходящиеся к J-

и у?

соответственно. Тогда существует предел

К

on

при J

, что я требовалось доказать.

Замечание. При к = 0 , T # e . -f £

,

Ц ( К * )

интеграл (25)

оовпадает о интегралом Лебега.

^

Предложение I . Справедлива оценка:

| J f W » | « W » l < l l - f l l ( y « l l * l l c - .

( 2 6 )

Я*1

Доказательство. Пуот»

*5 Э "f| -* "f, 3 Э

У

1а неравенства Кошн-Буняковокого следует

| J f W y ( x J j . | = u r a |

J V ^ W J r k

— >

.

Предложение 2,.

Яри фиксированном

интеграл (25

определяет ограниченный линейный функционал на пространстве W£

Доказательство.

••'

Ограниченность данного линейного функционала следует из

(26).

Определение. Пусть * € W,"(Rh),

W^M,

S ^ ' - f ,

'

-w

Назовем интегралом произведении Функций f

» f

пространств

. Обобщить равенотво Пароеваля (16)

на му-

чай, когда #

€ < ( H w )

, f

б W/"

( f t h )

Теорема 5. Пуоть Ф

- ограниченный линейный функционал ва

®f(R")

.Тогда 3

Ь €

,

€

Ф(«)= J 4

^ W ^

9^

' W ) -

О"*"

'

( 2

8 )

Доказательство. Пуоть

x

х

Jl/*) . Тогда

Ь « - J P ^ ) ' l J W I ' J * = J i » w i ' - b - l » l l , b ,

ц ц

Функционал *Р

порождает линейный функционал

на

определенный на плотном множестве З с

^(R^)

формулой^