Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Воробьев, Е. М. Уравнения математической физики (некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона-Якоби и волновым уравнением) учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

3.76 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

где интеграл берется	по любому кусочно-гладкому пути на //
соединяющему точки / "	и X	. Определение функции £ коррект
но в силу (//</) . Пуоть (ty			№ и
Определим производящую функцию		g	формулой

Здесь - £ - ая компонента функции .Предотавляем

читателю в качестве упражнения проверить, что формула действительно определяет производящую функцию и что, определенны таким обраэом, производящие функции согласованы

2) Необходимость. Пусть ^ - действие на /f 1

e /

и- некоторая замкнутая кусочно-гладкая ориентированная

кривая на / ]			. Разобьем f		на отреэки
так чтобы для любого с							такая карта			C^^.j
так чтобы для любого с					существовала			/J-		C^^.j
что	С	ty/i;	• Обозначим через				начало отрезка / ] •
а черев		- его конец, так что
Пуоть
Рассмотрим: интеграл				...	*	V« "			J

/е

* if£

- 60 -

Ив определения производящей функции следует, что

Таким образом

]i^it	-
/ 7	с-А:// .

пусть г;,

^м^^^с^^м^^^)

Введен обозначение:

Предоставляеи читателю самостоятельно убедиться, что не зависит от (указание: воспользоваться согласованностью

производящих функций и определением преобразования Лежандра). Итак,

^ 21 />у = £ f <Г&) - lfif*j/= 0J

что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь семейство лагранжевых цн.а.гаоо'рааий

fA%tCo,rJ > ™ Л'~ ЛЛ* А - WW по тра

екториям гамильто'новой системы с гамильтонианом А/ (см. замеча ние посче теоремы 9). Пусть Л% V* ) канонический

- 61 -

атлас многообразен АТогда, если 7*				достаточно	мало,то
77	Z/	¥ )	" канонический атлао многообразия
Iе	л у>7^'',..#
»	Уб	€ f&Tj	-.Воли	/у - Двйотвив
на		(соответствующее атласу		, то сопо
ставив каждой карго			&t - J£ 27л канонического атдаоа многообра-
вне //		функции 5^	,.. / О ^
удовлетворявшув уравнении Гамильтона-Якоби
			/а	= - lie.	о.-ЭЬ
и начальному условию				V
и начальному условию
получим действие иа А, соответствующее атласу (Щь					Jyt =* /,.

Этот факт доказывается аналогично теореме 12. 8аметин, что урав (//<) рассматривается в области € £ 7~of ?1/

(Ь.	/U£fS."4'
а начальное условие	(//?)	в области	Z/a . Доказатель

ство существования • единственности решения такого локального ва рианта задачи Копи ничем не отличается от доказательства для "


бального11			варианта, приведенного в § 3, а именно: функция					5^,
определяется интегрированием обыкновенного дифференциального								урав
нения вдоль.траектории гамильтоновой оистемы.
	Пример. Положим			/7 = 1. Пусть А" - прямая /> =• - ^
Рассмотрим канонический атвао, состоящий ив двух карт: f								/I'
*	(Л,	¥г) , где		(ffj	= £ y>zf?J7>)=P		Очевидно,
#	Ф	"=//, ' / Л		К &) =	'	в	ячестве дей

ствия на yj ° можно выбрать; - 62 -

Пуоть /^fft/*)=

^ + Т

Решением системы Гамильтона

о начальными условиями

будет следующая пара функций:

Таким образом, многообразие / )		есть прямая, которая получа
ется из прямой И	поворотом по часовой стрелке на угол
Канонический аглао				f^l^J
существует при О^^^л;		при	£	~ ^ обрав прямой
при проектировании на пряную />		=• о	i	состоит иа одной т
Решая задачи Ноши

£ fa) = /

- 63 -

f/l*Jt

является ви

находим действие на И , соответствующее атласу (//$)

Решение задачи (//jj		не существует при £ ?			^	, в то
мя как решение задачи /1°			существует при £ z		jrf~	Это
ветствует тому факту, что хотя атлао				существует лиш
6	,' атлао,	полученный из (//#)		удалением карты (/I
существует уже при		с
	Рассмотренный пример показывает, что целесообразно ввест
некоторые "правила перехода" от действия,				соответствующего о
ному каноническому атласу на			/I } ъ действию,		соответству

другому атласу, при выполнении которых эти два действия с бы согласованными. Естественно потребовать, чтобы согласованн действия были связаны преобразованием Лежандра. Таким образ приходим к следующему определению.

Определение. Пусть на дагранжевом многообразии			А задан
2действия: Д;/,=/,...,//	«	/7
соответствующие каноническим атласам

Дейотвия f&ij и f SyJнааовем эквивалентными, если система производящих функций {^c'J &f^/J Д ~ ствием на /I

Пусть

	ССоГ?	овивисгво	лагранжевых многообра
зий, получаемых из А"'		сдвигом вдоль траекторий гамильто
оистеиы:'. / - /T Л	Пусть /-SjJ		-действие на И		и ^
- действие на И	, полученное иа f£!a/			с помощью	реше
системы задачи Коти (//б)/		Q/?J	Обозначим через У*
	- 64 -

клаос действий на

И &

эквивалентных

действию

У$УУ

Определение. Семейство

У<УУ

назовем

действием

на оемейотве

У^ Уttco,Tj

лагранжевых

многообразий.

Теперь мы можем обобщить постановку задачи Коти

следующим образом:

Обобщенная

задача

Коши. Пусть

лагранжево

много

образие,

класс

эквивалентных

действий

на нем. Найти

с е

мейство

лагранжевых многообразий

/Л^У

i получаемых

из

Сдвиг вдоль траекторий гамильтоновой системы с данным гамильто

нианом

/ 7

и действие

У У

на

этом

семействе,

удовлет

воряющее

условию

Приведенное

обобщение задачи

fyfe)

естественно. Дей-

сввительно, пусть

У&*У^)сег^'£г7

семейство

карт

на

причем,

г/*=/£^г/с<

;

Пусть

/^У6

ё £•/

£ j

~ семейство производящих функций

карт fl/^У)

- соответствующее

решению

/У У

обобщенной

задачи

Коши. Тогда

функция

является

решением

уравнения

Гамильтона-Якоби

Теорема

14.

Пусть

/ /

связно. Тогда решение

обобщенной

задачи

Коши

существует и

единственно. .

Доказательство. Для решения

УУ

обобщенной

задачи

Коши справедливо следующее интегральное представление. Пусть

ft/

(/У

каноническая карта

лагранжева многообразия

и S Т

производящая

функция карты

(^Уу* соответствующая

дейотвию

Уу

^ /

Тогда

- 65 -


Вдесь f7	- путь в fen •/		-	мерной пространстве ^	*
о координатами		(ftj .. у ?л	^ . ;	/ f ^соединяющий точки
а	некоторая константа,		определяемая из условия ^		° jr-Jf

Деили доказательства предоставляем читателю в качестве упражнения.

- 66 -

ГЛАВА I I I .

Функциональные пространства и неограниченные линейные операторы

Мы рассмотрели важный клаос уравнений в частных производны первого порядка - уравнения Гаыидадона-Якоби.Это были, вообще го воря,нелинейные уравнения. В дальнейшем мы будем изучать линей ные дифференциальные уравнения второго порядка. Такие уравнения описывают широкий клаоо явлений, для которых справедлив принцип суперпозиции: линейная комбинация двух решений снова являетоа р шением данного уравнения. Ряд общих овойогв линейных дифференц альных уравнений изучает теория линейных неограниченных операто ров в банахов IX пространствах.

§ I . Функциональные пространоява

Рассмотрим множество непрерывных ограниченных вещественных

или комплексных функций с общей облаотьв определения _ Q £ . На этом множестве обычным образом вводитоя структура линейного про ранотва. Определим нор?лу функции ^- форк/дой,*

Полученное линейное нормированное пространство функций обомачмн Q f_Q_) . Пространство С является банаховым, его полнота вытекает иэ того, что сходимооть функций по норма (I) является равномерной сходимостью. Согласно известной теореме анализа, рав


номерно	сходягааяоя последовательность ограниченных непрерывных
функций	имеет пределом ограниченную непрерывную функцию. •			р
Банаховы пространства		(S2-)	(?>г' -пело**-Q-^R
открытое множество) определяются аналогично
Самоопределяется формулой:

- 67 -

да J = ( j i , J 2 ) . . ^ ' » ) , l j	I - S	J,' , D =	-ЩГ^и
Элементами пространства С	Ц 2 )	являются те функции -f-

определенные и К pas непрерывно дифференцируемые на_Г2- ,дд

0 0

которых l l - ^ l l l O ^ j <

§ 2. Пополнение линейного нормированного пространства. Процесс пополнения линейного нормированного пространств

является общим и удобным способом построения банаховых п ранств.

Пусть 5Z - произвольное линейное нормированное простр Определение I . Назовем две фундаментальные последовател

т и ^ ^ ^ и {У„| элементов из Э^. эквивалентными, если

при П —»• Таким образом в множестве всех фундаментальных последовате

тей элементов пространства 2 ! введено рефлексивное, симме ное и транзитивное отношение, т.е. отношение эквивалентност (транзитивность этого отношения следует, из неравенства тр ника: если и У ? и - ^ Н ^ О , то

Введенному отношению эквивалентности соответствует разбиение множества фундаментальных последовательностей элементов из

- 68 -

на классы. Пусть *о£ - соответствующее множество классов. Введем

на	отруктуру линейного нормированного пространства следую
щим образом.
	Определение 2. Пуоть	- скаляры.
Линейной комбинацией &.(P~LJ$ У		называется клаоо	, состоя
щий из всех последовательностей,		эквивалентных последовательности
	где Ш б 9	, ( 1 Л } ^ ,

Нетрудно проверить корректность этого определения, т.е.

фундаментальность последовательности (^^п+^Уи}			и независи
мом! клаоса )С	от выбора конкретных последовательностей { f n }
I { У л } " и У	*	Y соответственно.
Определение 3t		Пусть ^^JZTh -^^]-&(р. Норма ^ опреде
ляется формулой
		Я—оО	(3)

Предел в правой части равенства (3) всегда существует, так как 18 неравенства

III % II-U ^1\%^п,Я (*)

следует фундаментальность числовой последовательности -^Ц Wt)ilJ Легко проверить корректность определения (3) я тот фак^," что норна (3) удовлетворяет соответствующим аксиомам.

	Определение 4. Последовательность {'f^		называется стационар
ной,	если
	Теорема I . Пространство	банахово. Линейное многообра
зие	* классов эквивалентности, содержащих стационарные

последовательности, изометрически изоморфно^ пространству о£ и

х) Два банаховых пространства Bi ,Вх называются изометрически изоморфными, если существует биективное линейное отображение

/ Ы г - В ,

такое'

4 1 0 .Uu\\e>^\iuf&slueBj

- 69 -

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ