Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Воробьев, Е. М. Уравнения математической физики (некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона-Якоби и волновым уравнением) учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

3.76 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

где интеграл в правой части (Sf) берется по пути, лежащему

: г .

В качестве пути интегрирования в интеграле (гу выберем пут оостоящий из отрезка

и произвольного пути ^		, лежащего в /7			-мерной плоскости
и соединяющего точки /Тг; ^				и ^ ^	• Вдоль пути ^
•	П 0 8 1 0 И У		'	'

.'•'••>."

• •

^ последний интеграл в (^5^3 беретоя вдоль пути, лежащего на Покажем, что интеграл

равен интегралу в правой части формулы фо) . В самом деле,

Далее/	О % У/	по определению
'функции /7. ^/У^ф)'^А^^^о		определению
поверхности А&	и
WKrJ J	1Шлй I

•м -

в силу системы Гамильтона. Доказательство завершено. Равенство ^fy*) « ^Ср.'^ я п о л УЧ б Н Н О в следствие

теоремы I I выражают основной результат теории уравнения Гамиль на-Якоби. А именно: решение задачи Коши f t ) , (г) эквивалентно на

нию семейства лаграажевых поверхностей /1*			(при этом нужн
еще знать значения отображения		хотя бы в одной точке
§ 7. Преобразование Лежандра.
Определение. VOGIKOH/У		функции J ^ "	,определенной
в окрестности точки	, называется класс функций, каж
дая иэ которых совпадает с	^	в некоторой окрестности точк

р.. Пусть функция v/ бесконечно дифференцируема в окрестности точки

Тогда отображение		нН§р£ ^
обратимо в некоторой окрестности точки		/ ° ° ~ ~	/ ^
Определим в окрестности точки />а	функцию У		по формуле

где £ fioj -бесконечно дифференцируемая вектор-функция, опреде ленная неявно в окрестности точки JD" формулой

Определение. Преобразованием Лежандра называется отображе

ние, переводящее росток		/*7д/	в росток f^ V^C^-jJ	fj?
мы будем пользоваться			^^ р'J^fpjy =
	обозначением

Замечание. Данное определение корректно, так как еоли

функции Г и 7^	оовпадавт		в окрестности точки ^		, то
У Г(р)= VJ^fp)	л	Функции Г, 9~		совпадают в некоторой
окреотнооти точки		Р	?~rf)
Замечательной особенностью преобразования Лежандра являетоя
его идемпотентность:

Zfzfr.tfJ'

В оамои деле, пусть <Z fc?J						ZfefJ	=
Докажем прежде воего,			что	А '= // ^ /	J ,	_	. .
Действительно,
/' = д- гсо = д . (/) +				Яф-&0 -£ */ гОЮЩ-				%
Очевидно, что		=• о	Следовательно,		VГ{f	{/>))^ 7Г(у,) =
так что равенство (33J			принимает вид		=	ft-
Пусть		- вектор-функция, определенная неявно в окрес
ности точки р		формулой
		?rem))-1
гак что
Совершенно аналогично тому,				как было получено равенство (3$)
получаем,	дифференцируя			, следующее тождество,			справедливое
для веет	^	, достаточно близких к			^	•'
		V ГГгГф)		=}•		-	got)

ос

Полученное тождество по определению @ >) функции /> озна чает, что

так что		fpty)	s	у?Г/>ф)		e	£	^
Подотавляя		(foj)	в (/о/)^				и пользуясь формулами Ф?)
приходим	к тождеству			Jrfj')	- ?ffj		»' справедливому при воех jfc"
достаточно		близких к		^	, что	и требовалось доказать.
Замечание.Разумеется. можно						рассматривать преобразование

Лежандра лишь по части аргументов преобразуемой функции, рас

сматривая остальные аргументы как параметры. При этом удобно с тать, что преобразование Лежандра дейотвует на ростки функций, зависящих от всех аргументов (как тех, по которым производится

преобразование, так и параметров). Такое преобразование Лежанд мы будем оаото-использовать в дальнейшем.

§ 8. Преобразование Лежандра и уравнение Гамильтона-Якоби.

€

Рассмотрим функцию , где ре£*,* * Пусть с£ означает преобразование Лежандра по переменным £

( £	рассматривается как параметр). Обозначим:
2	fS/ftOj
Найдем связь между производными — ^		и	— ^

Ив формулы (в и идемпотентности преобразования Лежандра одеду что

А . *ш>

Пуоть функция S удовлетворяет уравнению ft) .'

Тогда из (/оъ) следует, что функция *Г . удовлетворяет му уравнению Гамильтона-Якоби:

где


Выбирая для гамильтонианов А/ и // стандартные обозначения
аргументов и их порядок так, как это сделано в		/ е > ? , по
для уравнений	•одну и ту ае систему Гамильтона:

o/t	э/> j	a/t	Э£
Поставим для уравнения		задачу Коши:

В соответствии с принятыми нами стандартными обозначениями а

ментов функций £	и /У будем считать,что начальному условию
(/о$) отвечает лаграняева поверхность й				, определяемая ура
нением:	^	9£f/>J	.
,	7 ~	<?/>
Поверхность- А"	' : диффеоморфно проектируется на плоскость
Пусть при £ufbjTJ		для лагранаевых поверхностей й , полу
чаемые из А.	сдвигом вдоль траекторий системы Гамильтона,
ответствующей гамильтониану //.-			а:=/<ш	(см.замечание


после	теоремы 9), отображение проектирования //£ на плоскос
•Q = о		такае есть диффеоморфизм,		причем
Тогда	7^	- решение задачи (/об) ,		^о<?) существует и име
ет место формула			ft,*)

где Tefo^J вдоль пути интегрированиями функция ^ С ^ )

определяется условием В частности, справедлива^формула

Здесь

fy'/0*) - кажаяЛашбудь точка многообразия	/ /		/е			j^Cf
и интеграл в (*^&) берется вдоль пути,лежащего на				А
	диффеоморфно				про
Лемма. Пусть лагранкева поверхность А		,	(^Я,"	^Л=

ектируется на плоскость = О и любой замкнутый контур на

непрерывно стягивается в точку. Тогда существует такая функция

, что уравнение поверхности /1		есть
Доказательство. Пусть /> = ^Ср)	-	уравнение поверхности
Пользуясь тем, что поверхность А	лагранжева, легко убедиться

ео 1 Ь

втом, что "у fy)^/ полны" дифференциал. Функцию

можно определить,например, формулой


Если условия доказанной леммы выполнены и, кроме того,							поверх
ность А	диффеоморфно проектируется на плоскость jf~o						„ ^
существует также такая функция j$A			, что поверхность опрэдзт;-
ется уравнением		__
(Соображения, по которым мы поставили знак				з этой фарку
стану- .;;гч з		ладен параграфе),	фукацйи £	и" j	1	" oe;v.

о точностью до произвольного постоянного слагаемого. В качест мокно выбрать функцию, которая получается из - о пом преобразования Леяандра:

Функции

и £ 4

называются производящими функциями поверхнос

ти И .

Теорема х2. Пусть А

- лаграняева

поверхность,

диффеоморф

проектируется на плоскооти

^ о

и /5-<?

, причем любой з

нутый путь на

непрерывно стягиваем в точку. Пусть пр

d ё /~O^J

поверхности А

~У£А"

обладает тем яе сво

ством.Тогда

существуют два таких оемейства,

производящие

фун

поверхностей

, что

где J?

преобразование Леяандра по первым

переменным;

б) функции

и S

являются решениями уравнений Гами

тона-Якоби

(t)

соответственно.

Доказательство. Пусть

—» X

(fi)

(Р)

две производящие функции поверхности А

, связанные

преобразо

нием Леяандра:

f-SbfJ-

°?{£,

^ при

/> -

V6a

(fij

Тогда в качестве искомых фикций £	и S	мокно	выбрать
ние задачи Ноши (/) , (2) и решение задачи Коши			соотве
ственно. Доказательство утверждения

а) оледует из единственности решения вадачи Коши для ур ния Гамильтона-Якоби и того, что {So,^} ^ cff^^f-}

при р =		Cfi)
							*)
§ 9. Канонический атлас лагранжевого многообразия. '
Обобщение постановки задачи Коши для уравнения
Гамильтона-Якоби.
Пусть	А	- лагранжево многообразие, X £/I					- некоторая
точка этого многообразия. Пусть						- открытая окреот
ность точки X		в фазовом пространстве				к	, причем часть
= _£} О/I		многообразия А			задаетоя уравнением
*. ягс-ш			„у cg:J">, s-<,•••,"•
			S		с - у, . .. j /?.
Определение. Пара			(fy	называется картой многообразия
Семейство (tyy		^A^es		карт	многообразия А называется
атласом этого многообразия,				если
Согласно теореме 8			/7		существует такая карта ( tX
лагранжева многообразия А				, что Хё I/		и	& - /	есть ото
бражение проектирования на плоскость вида (б$)
Определение. Назовем атлас					/ ^ j , %ах\е£			лагранжево
гообразия	//	каноническим,		если
	е & любой замкнутый путь, лежащий в							непре
рывно стягиваем в точку по Z/,

х) В данном параграфе мы предпочитаем вместо термина "лагран поверхность" использовать термин "лагранжево многообразие", который был ранее введен как синоним первого.

б) £ $ отображение есть проектирование на плоокооть вида (6$) .Карты, входящие в каноничеокий атл назовем каноническими.

Ясно, что любое лагранжево многообразие обладает канонич ким атлаоом. В оставшейся части этого параграфа для простот

дем предполагать, что рассматриваемые лагранжевы многообразия

ют канонические атласы, состоящие из конечного числа карт

заведомо верно для компактных многообразий) и без дополнител оговоров рассматривать только такие канонические атласы.

Пуоть ( 2 ^	(faj - каноническая карта лагранжева много
образия / /	, причем


-	o.-t		ил*,-,',;)				'
Навовем производящей функцией карты				У)	такую бесконечно
йяфференцируемув функцию	<Sa	,	, определенную на &-j>				~^^<г)
ртровцяруошув функции		,	определенную на			у

я ЧТО

Легко покавать (ом.лемму предыдущего параграфа), что произво щая функция любой канонической карты существует и определена о сочностью до произвольного постоянного слагаемого.

Пусть (fya	tya) и Z/y	fyj	- две канонические
	многообразия / }	,	и t5^, - производящие
карты лагранжева	V

функцию этих карт. Пуоть

" Ъ.-,

у * *

- 58

Назовем производящие функции S. и					согласованными,
если для любой точки				Z/^/lZ^,	ростки i^i/nJ	У#
я f-Sy,	S ^ ( X	) / получаются друг из друга с помощьюпреобразова
ния Лежандра по переменным,				не совпадающим в правых чаочях^фя^з)
Пример. Пусть А=3 ,				С % =	(ftj ?г /оJ
^Ja'ff^J	=	($*,fi	/%)	Производящие функции^ Sj,		и <5>
будут согласованными,			если в окрестности любой точки
ft"	^	выполняется
				равенство
г д в и (Yi ?з		Я	/	определяются на системы урав-;*
нений


Определенно. Пусть / I			- лагранжево многообразие, обладаю
щее атласом	УС —	(Ц* Уа)^ = ^ ..0 //		Систему производящих
функций £4 ^	= ^...ЛА/		карт атласа УС	назовем действием на
многообразии	А	, если любые две производящие функции не
8той системы согласованы.
Теорема 13. Действие			на лагранжевом многообразии существует
тогда и только тогда, когда

для любого кусочно-гладкого замкнутого пути/^ на многообразии А

Доказательство. I ) Достаточнооть. Пусть условие (//У) выпол

нено. Без ограничения общности можно предположить, что А связа но (в противном случае доотатс^о построить действие на каждое

связанной компоненте многообразен А		) . Пуоть	-проивЕОЛьЕ??
точка многообразия А и S - функция на А			, определенная
формулой;	Sfr)=
	К" ~ 59	-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ