Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Воробьев, Е. М. Уравнения математической физики (некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона-Якоби и волновым уравнением) учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

3.76 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

11-
г	„	г*
где	- прообраз /~*		при отображении (tljЛ.ъ равенс

нули скобок Лагранжа непосредственно следует, что

Тождество (бб)	означает, что подинтегральное выражение в
вой части (б S~J является полным дифференциалом.
Теорема доказана.
Пример. Поверхность /J		, эаданная уравнением
/>=	S€	С"ft")	б*)

является лагранжевой. Действительно, в качеству глобальных динат на /1 можно выбрать р : при атом

На поверхности f 67j

/-			~
для любого замкнутого пути			'
Задача.	Показать,	что	для любого	замкнутого	пути /	на
лагранневой	поверхности,	непрерывного		стягиваемого	в точку

- 40 -

•	r
Условие Я -мерности поверхности //		в фазовом простран
стве,	локально определяемой уравнениями	можно записать
виде
	4t«)

. . . . .

•dot,
7>/°t fit)	- / ?
Эо(,

do(t

Й8 уоловия ^"«^ вытекает, что окрестность каждой точки по

верхности А	взаимно-однозначно проектируется на одну из
С2»	-мерных координатных плоскостей вида
1=	Р =	V*	У*'

Относительно лагранжевых поверхностей можно утверждать большее. Теорема 8. Для любой точки X лагранжевой поверхности

/I найдутся такая ее окрестность &Х и такая СХп Л - ная плоскость /7 в фазовом пространстве вида

что проектирование &х на /7 есть взаимно-однозначное бражение, обратное к которому бесконечно дифференцируемо.

Доказательство. Пусть в окрестности точки X поверхность А задается уравнениями

- hi -

причем / = (fit*')Р(<*<•)) . Обозначим;

				\7
Пусть	А	- блочная матрица, составленная из А и С							:
По условию />а/1^А = Я				.Из теоремы о неявных функциях с
дует, что для доказательства данной теоремы достаточно									ус
вить существование такой перестановки .							tn	чиоел
	.		, что система строк матрицы А					о номерам
<••••»*
	_	.	.	л"нейно независима. Если
fAfijS	= л		или гА/з^З=0		, следовательно,			Рй/т^С-^
то утверждение теоремы тривиально. Пусть							^А^/З^Р, обб
Без уменьшения общности предположим,						что первые Р			отро
матрицы S		линейно независимы. Пусть Aj					- матрица,		сост
ящая 18 А первых строк матрицы А						и	/>-ле	последних с
матрицы ?		. Если f*A/iJ Ах = /> , то теорема доказана.
Покажем, что предположение					PAfiJ	Aj		ведет в

воречию. Действительно, не уменьшая общности, можно предпол что первые /?.-1 строк матрицы А линейно независимы что квадратная матрица 2> = (о/;/) , составленная из первых

ст;ок матрицы Ал из первых	строк матрицы С ', нев
рождена. Тогда каждая строка матриц)} А		является линейн
комбинацией строк матрицы 2)		А"

42 -

При этой
=		* +	/7-Г.
Кроме того
y^t-f	= О	при	S
у*	_ 0	при	rrs?-zj	^)
Равенство нулю скобок Лаграняа в точке /				записывается
с' использованием	(?oJ	в виде;

где

Поскольку строки матрицы 2f линейно независимы, то из фз)

следует,	что	»
И далее
с другой	стороаы, учжта&ф^. н			, получаем и
• сл-t. - " /		4 8 0	ЧР01«орачи	* Теорема до"--
			- 43 -

Решение (is) задачи (з) , фу) определяет У6 еГо, 7уотобра нве J*^ лагранжевой поверхности

"	л-. h ? > \ ^	' u - ^ f }	(?<)
	на некоторую поверхность	/7
		'•у

Отображение £ "	/ ?	f^ft/f^,	определяет глобальные
координаты р'	на А	для любого
Теорема 9.	Поверхность		// * лагранжева. Доказательство.

V-

У'<

9?у />'У*,У)

Следовательно,	/,=¥'(tf'J
±Мgr) , миг)	щги-) шш.)

Теореиа доказана.

Замечание. Отображение ^ можно определить и в том случае когда начальная лагранжева поверхность не имеет специального ви

да •	А именно: нужно заменить ( ? ? ) на
/ "с {Р'/'Уб А '		1	функции Ф ¥	определяются как решения
системы Гамильтона;
safari	=		d#ftft).	/

//>= ¥>#/•)

удовлетворяющие начальным условиям

При зтом теорема 9, как легко убедиться, .'остается справедливой.

Пусть выполнены условия теоремы 5. Тогда для любого фикси


рованного & ^/~°, ?1/	отображения
является диффеоыорфизмпм. Следовательно,		при ё 6/Го 71/ проек
тирование лагранневой поверхности Ас		на плоскость

> = /> = • • • = /> = О

есть диффеоморфизм, иными словами, в качестве глобальных к

нат на Л	можно выбрать	^ j	...J f„
Если У&ф->ъ№ 6 € Г0,Г7			?'	то для
ТС-О, чтобы отвбражение (77)		было диффеоморфизмом,		необходим

и достаточно существование обратного отображения. Последнее спечено,например, если выполнены следующие условия

а) производные	1ЛГ°	ограничены при
б) для доотаточно больших		/
		где

тчаая положительная возрастающая функция, что Действительно, предположим, что существуют такие неравные

Рассмотрим следующую задачу Еоши

где

Еоли условия а) и б) выполнены, то аналогично тому,как вт сделано при доказательстве теоремы (l) , для решения задач можно получить априорную оценку, из которой следует, что данной задачи Коши существует при £ , ~§аш у

- k6 -


решение задачи	, то справедливо тождество
из которого дифференциальное уравнение			получаетоя о по
мощью дифференцирования по ^		. Заметим, что ./Y'yJ/'f' ни при
каком £ б	; в противном случае в силу единственности
решения задачи Коши мы имели бы			"j?"	, что проти
речит (?з) . Полагая в ( f o j		6 = О	получаем

Полученное противоречие доказывав! сделанное утверждение.

§ б. Лагранжевн поверхности А				и уравнение Гамильтона
	Якоби.
Пуоть Л		- лагранжева поверхность			и пусть при
i €ГЪ 717		поверхности /I	сохраняют свойство			поверхнос
ти И"	быть диффеоморфно проектируемой на плоскость
	/>	.-.=4-а
На каждой поверхности А			можно выбрать р.		в качестве
глобальных координат, т.е. /Iе			задается уравнением
Рассмотрим функцию
Пуоть	— множество тех и только тех точек					V	fc	*
для которых £		€ /~Oj ?1/ и	принадлежит обраву поверхности
' / } *	при проектировании ез на плоокость /у					—	"'	^^^
Теорема 10.		Криволинейный интеграл

- 47

для любого кусочно-гладкого замкнутого пум , непрерывн

стягиваемого в точку по -П-

Доказател^ство. В силу того, что поверхность?f~~-. лагра

Следовательно, достаточно доказать соотношения

Из определения функций			следует, что
Значит,
м	/	• , -	э/<-	эё	А
	't-щг)
С другой стороны,

Правая часть последнего равенства совпадает с правой


частью (f3) в силу системы Гамильтона и соотношений
= — —	. Теорема доказана, поскольку уравнение
разрешимо относительно			Для любого £	.принадлежащего
проекция поверхности		/ } *	на плоскость /° — о
Теорема I I . Пусть			Т- решение задачи Коши		(г)
Справедлива формула:		QT

Pt)

в виде'

где интеграл в правой части берется по любому кусочно-гладком


пути, лежащему в S2.	и соединяющему точки (£'о) и (Clj		71) .
Доказательство. Из теоремы 5 следует, что поверхность			А
задается уравнениями /V - — —		Значит, в данном
олучав И^Л^/Г^Т"/	• и любой замкнутый путь, лежащий в
непрерывно отягнваетоя в точку" по		, так что выражение

определяет некоторую функцию S(\ т)	н& &*У£~0,7'-/
При атом

	7	СУ.
Равенотва
(**) ш (if?) означают, что функция £	удовлетворя

ет уравнению Гамилыона-Якобм. Выполнение начального условна

очевидно. В силу теоремы б о единственности решения задачи К

для уравнения Гамильтона-Якоби функция S оовпадает с функцие

£, что и требовалось докавать.

Следствие.Выбеоем на поверхности Л некоторую точку

(р°/>°) • обозначим ее обрав при отображении^/Jr^epea

огда вшение г

' * Р задачи ( ) может быть эапноано

Q>*~(7M

- 49 -

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ