книги из ГПНТБ / Воробьев, Е. М. Уравнения математической физики (некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона-Якоби и волновым уравнением) учеб. пособие
.pdfЗдесь пространство ( Ь Л г Д 3 ) |
-пространство скоросте |
|
точек сплошной ореды. |
|
|
2. Уравнение минимальных поверхностей. Рассмотрим простра |
||
венный контур t |
, однозначно проектирующийся на плоскость |
|
Пусть <2) - область в плоскости |
, ограниченная проекци |
|
контура £ . Поставим следующую задачу: ореди воех поверхност X = f ( r ^ ) , (jf,^) € 5 ) f оодернащих контур ё , найти пове ность с наименьшейплощадью. Можно показать, что разыскива
поверхность ? = В (х,у) долина удовлетворять уравнению:
Применяя преобразование Лбжандра к этому нелинейному уравнен приходим к линейному уравнению второго порядка
0
, ( < + f ) Ц + &ц % \ + ( , + а > & =
3.Уравнение Гамильтона-Якоби.
Рассматривая в этом уравнении |
как параметр и применяя пр |
|||||
разование Лежандра к функции U |
я пространственным переменн |
|||||
находим . |
|
|
• |
ч„, .. |
|
|
Определим |
j-t |
> |
|
|
||
^ + |
dt |
+ |
f |
• l h |
a r . a t ~ ^ |
дцд± f - a*t |
Таким образом |
&±~~ |
dt |
.-• Итак, уравнение Гамильтон |
|||
йкоба щи цре,обрааоэа.цйи Яешзда водш. перехода? i урамеаие
Гамильтона-Якоби; \
4. Рассмотрим следующую геометричёокую^адачу.Определить поверхность и = ц(*,^) (и^о) такую, чтобы площадь згой поверх ности, располояенная над произвольной квадрируемой областью 2) в плоскости была пропорциональна ( X - коэффициент
пропорциональности) объему цилиндроида, ограниченного сверху по - |
|
верхностью Ч = ц (r,ij) и проектирующегося в область 3) |
. Из уо |
задачи следует, что |
|
J) |
3> |
|
В силу произвольности области Q |
получаем, что |
|
Применим в полученному уравнению преобразование Лежандра
Перейден в атом уравнении к полярным координатам
Полученное дифференциальное уравнение по оущеотву нвляетоя обык новенным дифференциальным уравнением. Решая вто уравнение, нахо дим _ .- ,
где eft] - произвольная функция. Отыскание интересующей нас фуш
:
ции u(*,^) , есть уже ал. < - \ .чеовая задача, овя8анная. во-мйв
с
- 31 -
говоря, о решением трансцендентных уравнений.
5. Преобразование Лежандра тесно связано о фундаментальн понятиями механики сплошных сред. Пусть состояние среды хар
ризуется векторным полем U = £Uj,U2 , Uj) . Это поле интерпре руется как поле смещений в механике твердого тела и как ростей в механике жидкостей и газов, С каждым таким полем тензор -е^ , который называют тензором малых деформаций в
твердого тела и тензором скоростей деформаций в случае жид или газов
Этот тензор, очевидно, является симметричной частью диффере
поля U . Так как косооимметричесная часть дифференциала d'*
соответствует бесконечно малому вращению , то € ^ - характер
ют искажение формы объема при деформировании. Тензор € у . я ся кинематической характеристикой движения среды. С другой с ны, в механике сплошных сред вводятся динамические (силовые) рактеристики, связанные с процессом деформации. Именно, выдел всего объема, занятого средой, некоторый внутренний объем, в ханике сплошных сред предполагают, что на поверхности этого ленного объема S можно задать такое распределение поверхно сил ~Г(М,"5г) , что движение выделенного объема будет тождес
движению этого же объема под действием окружающей его сре
Вектор Т(М,и) |
называют вектором напряжения. Предположим, |
|
что он зависит лишь от точки М ^ |
и от нормали |
|
поверхности «5 |
в точке М . Основной закон механики спло |
|
ных сред (изменение количества движения равно импульсу все ствующих оил) приводит к тому, что вектор Т(м,п) может представлен в виде
т ; ( м л О / = £ « у И ' у
-.32 -
где ТГ= (ин,Ьг,Из). Тензор 6[j называют тензором напряжения. Конкретные модели сплошных сред вводятся заданием связи межд и Slj. . Один из наиболее распространенных видов этой связи дующий. Вводится скалярная функция f ( ^ i j ) такая, что
Функцию ~f называют диссипативным потенциалом в механике жидко тей и газов и упругим потенциалом в механике твердого тела. Вве функцию -f *(бд) по следующей формуле^
Функцию | \ ф называют потенциалом напряжений. Мы видим, |
что па |
||
(в^ >^(в^)) |
двойственна по Лежандру паре (^ij, - f (бу)) |
• |
9 1 0 |
двойственность и определяет два возможных подхода к анализу кон кретных задач в механике сплошных сред: кинематический, связанн
о определением тенаора |
"6 у |
в точках области, занятых сплош |
средой и динамический, |
связанный с определением тензора Ё>у в |
|
ветствующих точках. |
|
|
Остановимся теперь на связи между уравнениями Гамилмона-
1
Якоби и вариационным исчислением^.
Рассмотрим функционал |
, определенный на вектор-функци |
4(t)=(ti(t) |
|
а(г) = |
(65) |
"^о |
|
х) В этом пункте мы предполагаем, |
что читатель знаком с элемен |
вариационного исчисления, например, в объеме первых глав кн И.М.Гельфанда и С.В.Фомина "Вариационное исчисление". В посл дующем материале курса ссылок на зтот пункт нет
- 33 -
c
Здеоь под мы понимаем вектор-функцию fy'ltf-falft),..* > l'h(^
Вбольшинстве задач вариационного исчисления экстремали функци 17(4.) должны удовлетворять уравнениям Эйлера :
i - l F ^ M . t ' l |
l - F ^ t ^ ^ l r f i |
(£»i,.-3h) ( б 6 |
Система уравнений (66) |
представляет co6ofc систему уравнений вт |
|
рого порядка. Покажем, |
что ее можно переписать как гамильтон |
|
систему. Действительно, |
рассмотрим пару (р>^) |
двойственную |
<r
по Лежандру к паре ( t'>f ) , считая "t и ^ - фиксированны параметрами. Тогда
Используя свойство инвариантности первого дифференциала функци можем написать, что
.. OX • j T-t i t I
Принимая во внимание первое уравнение в (67) и производя соо ствующее сокращение в (68), находим
Приравнивая коэффициенты при соответствующих дифференциалах, на
ДИМ. гаочт |
, |
, |
J „I |
|
i H = |
_ 4 f , F ^ - H ^ , M p r i i |
( 6 9 ) |
||
|
|
t |
|
|
Кстати заметим, что последнее |
равенство в (69) непосредственно |
дует из "инволютшзности преобразования Леаандра. Итак, систем |
|
(66) можно переписать в виде |
|
dpсЫ
Следовательно, действительно, используя преобразование Лекандра нал удалось систему уравнений Эйлера представить в виде сист
-• Гамильтона. Отметим, что используя функции' Гамильтона функциона можно записать в виде
|
d ( 4 , p ) = f ( n M ; - H ( u , p ) ) « |
|
|
|
( 7 0 ) |
|||||
|
Здесь искомыми'являются |
2п |
функций $ft)j|»(iO |
|
.Непосредственной |
|||||
|
проверкой легко убедиться в том, что уравнениями Эйлера для |
|||||||||
|
онала 3 |
в форме (70) является система Гамильтона. Итак, е |
||||||||
|
|
экстремаль функционала 065), которая в моменты време |
||||||||
|
"to и'^i |
проходит через точки 1* ><£ |
соответственно, |
то |
||||||
|
^ f t ) i Р ft)= fvj.' - является |
экстремалью функционала (70), |
т.е. |
|||||||
|
является решением системы Гамильтона. Наоборот, если мы для с |
|||||||||
|
мы Гамильтона решим краевую задачу |
«jft*)— |
|
, ЧХ^()~Я* , |
||||||
|
вектор-функция (ift) - экстремаль для функционала (65), проходяща |
|||||||||
* |
через две точки <£ |
и |
в моменты "te |
и "ti соответственно. |
||||||
|
Фиксируем точку <\. • и момент времени to."у и рассмотрим |
|||||||||
|
извольную точку Ч- в момент времени t |
. Предположим, что |
||||||||
|
рва каждую точку Я |
|
при каждом '"t>"to |
проходит единствен |
||||||
|
непрерывно дифференцируемая экстремаль функционала (65), выходя |
|||||||||
|
из точки 1° в момент времени "to |
, Kpoue того, предполагае |
||||||||
|
. что при стремлении (Я - соответствующие экстрема |
|||||||||
|
ли сходятся друг к другу равномерно вместе с производными |
|||||||||
|
порядка. Подставим экстремаль, проходящую черев точки <JC, |
|||||||||
|
ибйнЗы^бШйЧ»,* |
в функционал (65). Ыы получаем функцию |
||||||||
|
i S t i i * ) |
. Покажем, |
что |
|
удовлетворяет ураЕненп^ |
|||||
* |
Гамильтона-Якоби с функцией Гамильтона, фигурирующей в функцио |
|||||||||
|
(70). Вычислив 5'ц |
. Для этого фиксируем "t |
а раесиоэре>: |
|||||||
|
две точки Ч и «J. + |
^Ь" |
,й.йярвкалн,: |
проходящие чероэ »'?а |
||||||
|
ки, обозначим |
к %Ы*- |
„ Здесь ^ |
) |
s H , V ' |
^ |
||||
-* 35 -
* |
= |
F |
|
* |
|
] |
|
^ F |
i - L n |
|
+ |
|
0 ( l M , ) |
|
|
< |
|||||
"to |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Равенство |
(71) есть сокращенная запись |
|
И |
|
|
равенств, получ |
|||||||||||||||
и |
(71), когда в качестве u<J. |
берутся |
|
|
|
Y'= •*>•••> *\) |
|
||||||||||||||
Деля (71) |
на Д£), |
и переходя к пределу при |
|
а£-*-С , |
|
получа |
|||||||||||||||
|
|
|
|
h |
* |
^ |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(72) |
|
Фиксируем теперь точку ^ |
|
и рассмотрим два момента време |
|||||||||||||||||||
и ±+ д-t |
|
.Пусть ifi) |
|
и £J.("*)экстремали, проходя |
|||||||||||||||||
щие через точку Ч |
|
|
в моменты времени "Ь |
|
и -t+ л! с |
||||||||||||||||
ветственно. Здесь |
под |
|
<{Д"^) |
мы понимаем вектор-функцию |
|||||||||||||||||
при |
"to^'T'^'t |
|
и линейн ,ую вектор-функцию |
при " t |
£ |
"t-t-At |
|||||||||||||||
с направляющим вектором |
|
|
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 ( t l t + A t |
) - S U , t ) = J |
F K i + ^ , i , + s |
' |
< |
t |
, |
) |
J |
* - / ^ |
r |
' * ' ^ |
J , |
|||||||||
|
|
|
|
|
"to |
|
|
|
|
|
|
to |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(73) |
|
- j |
|
[ pj - |
|
J L F;] |
% d t |
+ |
^ |
|^ t 4 F(t, l l * ) ( * J ) * + |
+ |
|
°( |
|
|||||||||
В силу экстремальности вектор-функции Ц. НО |
и так как вслед |
|
предположений о зависимости экстремалей от |
Ч |
и ~t |
о/At) |
|
|
из равенства (73) непосредственно вытекает, |
что |
|
Si = F (t, г,i') -FJ. • = - и (t, p)
m
Из равенств (72), (74) ыы находим, что
Таким образом, действительно, S |
- решение уравнения Гамил |
тона-Якоби. В геометрии функции Sfq^) |
называют геодезическим |
расстоянием, в оптике эйконалом. В рассмотренном выше случае н
чальная точна ((t°)^b) |
была фиксирована. Можно было бы рассм |
|||||
несколько более общий случай. Именно, |
рассмотрим в h+ J - |
ме |
||||
пространстве |
(<t,"t ) множество точек JVj^ |
|
|
|||
. -fc-t(S,,...,SK ) |
|
|
|
|||
|
1 |
= 2.1 Si,... |
|
|
|
|
S — fSi,...,Stc) |
- принадлежит некоторой области к |
-мерного |
|
|||
пространства. |
Далее, рассмотрим экстремали функционала (65), |
од |
||||
конец которых принадлежит множеству М |
, а другой находитоя |
|||||
точке (ifi) . Подставляя эту экстремаль в функционал (65), |
мы |
|||||
получаем функции Sfat't) |
, удовлетворяющую уравнению |
Гамильтона- |
||||
Якоби. Для того, чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотрет функционал (65) на множестве траекторий, имевших общую начальну
. точку о выбранной экстремалью. Таким образом, мы приходим опя к задаче с фиксированной начальной точкой в пространстве
следовательно, |
S(q^) |
- решение уравнения Гамильтона-Якоби. Пуст |
||||
например, |
М |
- множество следующего вида Л/./^- г^о» I е |
. |
|||
Предположим далее, что если точки [Ц.^ |
принадлежат некотором |
|||||
компакту Кс |
l l h + |
' |
, то для любой экстремали' чД^О |
с ко |
||
в точке |
|
|
|
|
Приэтих предположения |
|
очевидно, |
что S(4,t) |
удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби |
||||
1
и нулевому начальному условию. ( Р^ДД ) - непрерывная функция своих аргументов). Аналогичным обраэом можно придти к построени решения задачи Коши для уравнения Гамильтана-Якоби в случае о
"* начального условия. Действительно, рассмотрим функционал; |
|
|
s i o - S c i i W J + j V i t . i . i ' j j t , |
( ? 5 ) |
|
где Sf (<].) |
- непрерывная функция |
|
Воя&мем М то же оаыое, что и в только что рассмотренном ре. Далее, предположим, что экстремали функционала (75) удовл ворят тем же ограничениям, которые были указаны в пример ходи обычным образом от функционала (75) к функции Slit), мы получаем, очевидно, решение эадачи Коши для уравнения Г на-Якоби, о начальным уоловиеш
Изложенная выше свявь между вариационным исчислением и ура Гамильтона-Якоби позволяет находить решения.этих уравнений ( ноотн,решения задачи Коми), используя траектории гамндмоновы оиствм.
- 38 -
|
|
|
ГЛАВА |
I I . |
|
|
|
|
ЛАГРАНЖВВЫ ПОВЕРХНОСТИ. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2Ь |
|
|
Рассмотрим 2# |
- мерное евклидово пространство |
А |
. Бу- |
||||
дем обозначать первые /? |
координат точки ХС * |
|
черва |
||||
Л •»•'•'/>» |
* |
п о с л е д н и е л |
координат -черев /> .,^/>„ |
|
|||
|
|
|
t |
|
|
||
Рассмотрим некоторую /7 |
- мерную поверхн^ь /\ |
в простран |
|||||
стве А1*7 |
, которое впредь будем называть фазовым. Пусть У* |
||||||
существует такая окрестность 2/х точки Х€ Л |
в |
А** |
|||||
что часть //01/х |
поверхности // |
имеет уравнения |
|||||
где |
- локальные координаты. |
|
Функции (63J |
считаем бесконечно дифференцируемыми. |
|
Определение. Поверхность // |
называется хвгранжевой ыш |
|
лагранжевын многообразием, если |
скобки Лагранжа |
|
|
2 |
• -j" |
|
равны нулю. |
Y^j £ = *, j • |
|
|
Задача. Доказать, что условие /<Э, f\m ,-0 |
не зависит от |
||
выбора локальных координат. |
|
|
|
Теорема 7. |
Пусть / ~ |
- замкнутый суть на |
А , целиком |
лежащий в некоторой окрестности 1/х а непрерывно стягиваемый в точку. Тогда
г
Доказательство. Очевидно, что
- 39 -