книги из ГПНТБ / Воробьев, Е. М. Уравнения математической физики (некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона-Якоби и волновым уравнением) учеб. пособие
.pdfПодставляя (55) в (54) получаем для функции |
задачу Коти |
+ (56)
дт* L dp |
dp J |
Функция i , очевидно, удовлетворяв! (56) и в силу единственн ти решения этой задачи Кови совпадает о. Таким образом, мы доказали, что любое решениеS О задачи ( I ) , (2) удовле
воряет следующему обыкновенному дифференциальному уравнению вд траектория системы Гамильтона:
|
|
- H ( . t l t ) ) P ( - t ) , t ) |
^ , |
о ) = 5 о И . |
, в силу теоремы |
и начальному условию5 (« л 1 |
— ^ог |
единственности решения задачи Коши для обыкновенного диффере
ального уравнения и предположенной единственности решения ура ния x=y(x",-t) относительно JT решения задачи ( I ) , (2
единственно.
Задача. . Найти решение задачи Коши:
При каких Т существует решение этой задачи в промежутке Решение. Очевидно, данная задача есть задача Коши для
нения Гамильтона-Якоби с вамильтонианои Н (х^ п) =
Соответствующая система Гамильтона имеет вид* - 20 -
P |
1 |
(57) |
d-t ~ |
dt |
Решение системы (57),• удовлетворяющее начальным условиям
e C S b |
p |
( t j _ |
f c h ^ = - * |
с |
|
(59) |
|||||
|
(i) = |
x° |
(60)
Таким образом, траектории существуют в целом. Однако это не о начает, что существует в целом решение рассматриваемой задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби, так как янобиан
обращается в нуль при t = i |
. Это соответствует тому фанту, |
|
что формула |
|
|
* = — |
|
(61) |
дающая решение уравнения -x=-x°i + А'0 |
-не имеет смысла при |
|
-£ = 1 . Формула (40) дает решение задачи Коши при "t & (c;i)
о
На видим, что ^ ^ l y t ) o = > при "fc-* 1 . Следовательно, решение данной задачи Коши не существует при ^"Ь-1
В заключение этого параграфа покажем, как, зная решения ура нения Гамильтона-Якоби, можно находить решения системы Гамильтона
Определение. Система решений И — чЧ^^и) •+• к уравнения
- 21 -
Гамяльтона-Якоби называется полный интегралом, если
Докааем, что если U - полный интеграл Гамильтона-Якоби, система уравнений
определяет |
2п |
- параметрическое семейство решений системы Гам |
|||
тона. Действительно, продифференцируем уравнение J ^ = ^ £ п о |
|||||
и уравнение |
J ^ + H (*,fc , g ).= D по dL |
. Тогда |
|||
' У * |
h |
у |
- i l l |
- «1*.*- П |
|
at da1 |
|
2_4 |
ахк(*а1 |
dt- |
|
Вычитая из одного уравнения другое и учитывая, что а*Х \ £ находим:
д± ~ dp*
Далее, дифференцируя уравнения ^ £ г - />i |
по t и уравнение |
|
Гамильтона-Якоби по х1 |
, получаем: |
|
Хотя, вообще говоря, уравнения с частными производными предс ют собой "более сложный" объект для изучения по оралнению с системами обыкновенных дифференциальных уравнений, однако, в к кретных задачей может случиться, что полный интеграл уравнен Гамильтона-Якоби легко находится. Это позволяет в данном слу определить полную систему решений гамилмоновой системы.
Пример. Задача двух тел. |
Рассмотрим движение двух матери |
ных точек с массами w^w^ |
, притягивающихсяflpjr к другу по |
кону тяготения Ньютона. Положение точек будем характеризовать их радиусами-векторами
• ^ j . (d)= V." Для системы материальное точек можно ввести
центр инерции. Движение центра инерции определяется как движение материальной точки с массой, равной сумме масс, с начальной ск ростью, равной геометрической (векторной) сумме начальных скорост точек системы; под действием силу., равной геометрической сумме сил, действующих на точки системы. Для двух точек центр инерци
^tc(t) определяется следующим образом:
Поскольку суммарная сила в задаче двух сил равна нулю, то це инерции движется равномерно и
Итак, мы получаем уравнение, связывающее fyfe) и |
№ |
Найдем второе уравнение для векторов |
. Уравнения дви |
жения имеют вид |
|
m^, = - J ? w H V ^ |
тЬт^ м |
- 23 -
Умножая левый столбец на ИПц, |
, правый на Mi |
, и вычитая |
||||||
одного столбца другой и обозначая ^~^~^г |
, получаем |
|||||||
Полученное уравнение для 1ft] |
|
описывает движение материаль |
||||||
точки с массой т + W |
l |
|
в поле центральной силы К =— . ^ |
|||||
Покажем, что это движение является плоским. Так как |
||||||||
(в силу уравнения |
^ |
|
коллинеарен |
|
) , то |
|||
Цожно считать, что |
|
с |
с |
|
t) |
t 1 а к как в противном |
||
случае радиус-векторf |
^ |
описывает |
прямую линию. Предпо |
|||||
^^ () * ^'( ) |
J |
|
|
|
||||
жим, что система координат выбрана такой, для которой: |
||||||||
I?("t)x I ' / t ) ] -dk |
|
f |
где k |
|
единичный o/>m |
По оси 0«f . |
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х |
1 ; = : |
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
У |
|
|
тз: =C. Умножая первое ур |
|||
ние на -Г |
, второе на ^ |
и вычитая из одного уравн |
||||||
гое, находим |
|
|
— |
0 |
. Следовательно 7(t) = 0 . |
|||
Итак, движение происходит в плоскости ЛЧУ |
. Будем счит |
|||||||
что^i(t) = (х |
у |
ft)) |
. Вводя функцию Гамильтона |
|||||
н= |
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение для |
можно переписать в виде системы Гамильто |
|||||||
х= Hp |
|
р=-Нг |
|
|
|
|
||
- 24 -
Соответствующее уравнение Гамилмона-Якоби имеет вид:
5 i + ^ S > S j ) = - 2 L
Или переходя к ноиярным координатам |
будем иметь |
Для решения системы Гамильтона достаточно найти полный интег уравнения Гамильтона-Якоби. Для нахождения полного интеграла в пользуемся методом разделения переменных, который хотя и не етоя универсальным, однако оказывается эффективным в ряде ко ных задач. Именно ищем решение уравнения Гамяльтона-Якобн в
Подставляя эту систему в уравнение Гамилмона-Якобн ш определ
функции ~fi |
, находим |
|
Л. |
Таким образом, траектория |
в параметрическом виде тако |
^ Т ^ Ш & ^ Г |
(63) |
cp_if г — i £
?
Вычисляя интеграл в уравнении (64) и вводя обозначения
- 25 -
находим
Таким образом, точка движется либо по эллипсу (££l) |
, л |
|
параболе |
, либо по гиперболе (£>-i) . Уравнение (6 |
|
определяет движение точки по траектории в зависимости от Итак мы нашли . Зная "«о (±)я ад легко определя
: * |
- t |
|
|
§ 4. Преобразование Лежаядра. Уравнение Гамильтона-Якоби |
|||
и вариационное исчисление. |
|
|
|
Рассмотрим функцию И - переменных ц(х1}„.и(х) |
t |
||
определенную в некоторой окрестности точки |
. Используя |
||
функцию, введен новые независимые переменные |
-«j £п |
, |
|
формулам ^ " t ~ ^ \ (с —4,•••*") |
. Будем предполагать,ч |
||
эта система равенотв разрешила относительно переменных «Г/,.
Далее, введем функцию <l>(hi-"ibO |
, связанную с |
и(х) |
||
следующей формулой ; |
|
|
|
|
Переход от независимых переменных X |
и функции u ( r J |
к |
||
менным У |
и функции w(jO |
^азывают преобразованием Лена |
||
Пара |
называется двойственной по Лежандру к паре |
|||
(-X(a(.^)j |
i' Локальное> существование |
преобразования Лежанд |
||
вытекает из теоремы о. неявных функциях. Именно, преобразов
х/ Переменные X и \ |
имеют различную геомерическую природу. |
Если * являются коятравариантныи вектором, то ^ является |
|
риантным вектором |
.Однако,оставаясь |
райках одной и той же системы координат,мы нокем рассма
и 1
* £ как точки двух экземпляров пространства ft* .
аандра в некоторой онреотноети точки * |
определено, |
если U |
|
непрерывно дифференцируемая функция и d e*t || И^Ц. |/ Ф 0 |
в неко |
||
рой окрестности точки |
. Определим с*^. |
|
|
Так как U^- = ^ . *о О) ^ - Xt
Последняя формула показывает инволютивнссть преобразования Лежан
т.е. парой двойственной по Лежандру к(|, |
будет пара |
|
(х,и(х)) |
. Как мы видели, преобразование Лежандра определен |
|
локально. |
Однако, когда функция и("С) — выпуклая, |
то преобразов |
ние Лежандра существует в целом. Это преобразование для выпу функций называют еще см. стр. 24, преобразованием Юнга. Оно определено не только для функций, но и для выпуклых фун лов в локально-выпуклых топологических пространствах. В этом а те преобразование Лежандра находит применения в динамическом п раммировании, теории приближений и т.д.
Введенное преобразование Лежандра имеет простую геометрич кую интерпретацию. Приведем ее для простоты в, случае функций
независимых переменных. |
|
Рссомотрим в пространстве uix>l} |
некоторую поверхность |
ц= и(х,у) и предположим, что аежду точками поверхности и касательными плоскостями к ней имеет место взаимно однознач соответствие. Тогде, записывая уравнение плоскости в пространст в виде и-£х - + и > - О ш видиыt Ч 1 0 величин^ !"> ^
полностью характеризуют поверхность |
и=и(*^уЗ . С другой сто |
ны, уравнение косательной плоскости |
, проходящей через точку |
Ч Г |
|
•ЛУ/ ( >У) |
имеет вид: |
где U, х i у |
- текущие ь., .„йааты аочки на каоательпой ндсю |
кости, Очевидно, что параметры ^ ^ ( K f c j овяаанн с глр4
- 2.7 -
ристиками касательной плоскости формулами;
которые и определяют преобразование Лежандра в случае двух н симых переменных. Совершенно аналогичная геометрическая интерпр ция может быть дана преобразованию Лежандра и в случае h - зависимых переменных. Отметим, что преобразование Лежандра в сл двух незавиоим-т переменных невозможно, еоли в рассматриваемой ласти каждая касательная плоскость касается поверхности по пр линии. Поверхности 4 = ц(х><^) , обладающие таким свойством, н зываются развёртывающимися поверхностями. Например, конические поверхности - развёртывающиеся. Таким образом, для функций первой степени однородности не существует преобразования Лежанд Можно доказать, что развертывающиеся поверхности характеризуются условием;
Задача. Пусть d-e"t/| U |
|| Ф О в некоторой окрестности |
||||
точки |
...,*„) .Определить clet f( U)'Jv || Б точках |
(Ъ,-Л*) |
|||
соответствующих точкам окрестности и |
|
|
|||
Задача. Доказать, |
что если det ||4jr.jyll**! |
0, |
то в со |
||
ответствующих точках |
•**) £ |
|
|
|
|
где £l=det\\u>t!ljll , U = |
Леф^Д^-алгебраическое |
||
дополнение элементаш $ с ^ |
в матрице \\ |
f;II |
- ал |
гебраическое дополнение элемента |
в матрице |
f j u r v-fl |
|
Преобразование Лежандра часто оказывается полезным при исследо вании решений дифференциальных уравнений с частными производным Рассмотрим несколько примеров применения преобразования Лежандр
- 28 -
I . Основное уравнение газовой динамики;
= u u u r
где *Р - потенциал поля скоростей : ^ ( '< *> i) = U fc», 2,*
Это уравнение является следствием следующих физических предполо жений: а) уравнения неразрывности (закон сохранения массы)
+ ditfJ рТГ = 0, гдеJ р '- плотность среды, at '
которое в стационарном случае принимает вид:
б) потенциальности поля скоростей U — <jr
с) адиабатичности и иззнтропичности движения, что приво дит к условию j>— f fp) , где р - давление в точке J"
д) отсутствия вязкооти у рассматриваемой среды (жидкости или газа). При этом предположении и в силу предположений б),о основные уравнения движения сплошной среды, возникающие из ос го закона динамики сплошных сред, который состоит в тон, что менение количества движения некоторого объема, занятого сплошно средой, равно инпульсу действующих на втот объем внешних оил, допускают интеграл (интеграл Кошя-Лагранжа) , показывающий, что
Иэ перечисленных 4-х физических гипотез и вытекает основное уравнение газовой динамики. Применяя к этому нелинейному уравн преобразование Лежандра, мы приходим к линейному уравнению
- 29 -