книги из ГПНТБ / Воробьев, Е. М. Уравнения математической физики (некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона-Якоби и волновым уравнением) учеб. пособие
.pdf§6. Решение уравнения переноса.
Вэтой параграфе мы получим формулу (55) ( для индекса "+
пп
доказательство для индекса - |
совершенно аналогично; в дальней |
||||
индеко "+п |
всюду опускаем). |
|
|
||
В § 4 на траекториях гамильтоновой системы (51) наряду о |
|||||
параметром zf |
был введен новый параметр т . Система (51) мо |
||||
жет быть записана в виде |
|
|
|||
* |
|
' Г |
, |
|
(68) |
X (о) =/0j |
/>(о)= VS. (/о) |
|
|||
Лемма I . Пусть ^ „ - частное решение уравнения переноса, такое, что У ( о ни для одной траектории X
системы (68). Тогда его общее решение имеет вид
где функция <э постоянна вдоль траекторий системы (68). Доказательство. Уравнение (54) есть однородное линейное
уравнение первого порядна вдоль траекторий системы (68). Утве ние леммы следует из одномерности пространства решений линейн однородного уравнения первого порядка.
Лемма 2. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
£ = Р {хт) х = rxt/, |
xjt |
гс*т)= |
= МЪ&.-.ЖКУ) |
|
(б9) |
Пусть ее общее решение имеет |
вид |
|
У (Ко)j а |
£ |
( 7 0 ) |
Тогда имеет мест о*'формула |
|
|
2. J2J? =. о^гГГхг)/
- 130 -
Доказательство. Имеем равенство
эа, |
ЭЙ, |
|
|
|
|
э |
|
(72) |
|
|
|
Эй, Э4г |
Эй, |
|
|
|
|
7 |
то |
|
|
|
|
/ |
э<г™ |
(73) |
|
Подставляя (73) в (72) находим, что каждый детерминант в прав части (72) , в свою очередь, можно представить в виде суммы гаемых вида:
л.
|
Эй, |
|
|
|
|
|
Оif* |
|
|
|
№ |
|
Эй, |
|
|
|
|
|
Эй* |
|
|
|
|
Детерминанты (74) |
отличны от нуля лишь при £ -J |
и равны |
|||
в этом случае |
I |
• |
%У |
Лемма доказана. |
|
Mj/*=!/>(г,*) |
Я« |
|
|
||
Лемма 3. Если функция /* в (69) не зависитгаГ и |
|||||
дано (/>- ij параметрическое |
семейство |
решений (69) |
|
||
удовлетворяющее условию
- 131
то имеет место формула
|
Доказательство. Если функция |
не зависит от <Г и . |
||||||
выполнено условие (76), то общее решение системы (69) |
имеет в |
|||||||
Лемма сводится к предыдущей, если |
положить |
|
|
|||||
|
4 . - 4 |
^ = /...,/>-/ |
|
|
|
|||
|
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений |
|
||||||
|
aft,;= |
|
2 £ & ^ . |
> о/* |
= |
э* |
|
|
|
|
|
з/у |
|
|
(77) |
||
|
|
^ |
^ = */о; *Со) = о |
|
|
|||
Из леммы 3 следует, что якобиан |
= |
удовлетворяет |
||||||
уравнении |
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
У |
7 |
/ |
* = Х(*.Г) |
. |
|
(78) |
|
|
Лемма 4. |
Функция |
-к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
является решением уравнения переноса. |
|
|
||||||
|
Доказательство. Без уменьшения общности будем предполагать, |
|||||||
410 |
£70 |
- |
Тогда |
|
|
|
|
|
\ - 132 -
\
что и требовалось доказать. |
|
Теперь преобразуем якобиан |
: |
2 ft*J = |
2ft t) |
= |
ЯХ(&. |
(79) |
||
ХС/Лг) |
2>ftbt) |
Zftг) |
||||
|
||||||
Докажем, что проиэт^дния |
sdl постоянна вдоль траекто^»! |
|||||
системы ( 6 0 ) . В самом деле, в |
силу (77) |
в уравнения Гамильтона- |
||||
Якоби (^'Ji |
) |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
6**ftbV |
|
|
|
|
а, согласно (68) , ЭР |
|
_ |
|
|||
В силу постоянства производной |
вдоль траектории |
|||||
системы (68) |
ив (79) следует, |
что функция: |
||||
является решением уравнения переноса. Формула (55) доказана.
- 133 -
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
|
отр. |
Глава I . Уравнение Гамильтона-Якобв |
• • « 3-38 |
Глава П. Лаграакевы поверхности. . |
39-66 |
Глава I . Функциональные пространства в неограниченные |
|
линейные операторы |
67-103 |
Глава 1У. Волновые уравнения о постоянными коэффициен
тами |
104-133 |
Редактор Л.В.ОМВЛЬЯНСВИ
Л. Фб02»2/ Подписано к печати |
•/£ • й>> |
Иад. * 871 Тираж 500 Зак. |
Объем 8 ал. 5,5 уч.-иэд.л. |
Цена 17 коп |
|
Типография МТПИИЯ им.М.Торееа
