книги из ГПНТБ / Воробьев, Е. М. Уравнения математической физики (некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона-Якоби и волновым уравнением) учеб. пособие

где

Л л л _ / ' ' * 1 * > 0

[О при X*-О

(38)

чтобы ревность 7)-(Xtt)- Ъ-о (Х,£) имела бы большую глад

чем решение 1y0(Xt)^&

задача имеет важное прикладное зна

крона того, является более простой, чем исходная

Примвр. Пуоть начальное уодовие (2-/) имеет вид

[и(0)](к)=Ш(*-$о(*))1

- У(Х),

причем, etc струнеC~f*«)

и

разрыв на поверхности

, задаваемой уравнением

Легко видеть, что <f€

W£ С&у . Пуоть второе начальное

условие будет нулевым:

2/ УО) •= о

(43)

Пуоть и№)

- решение вадачи Кони ( I ) ,

( М ) , (43). Можно пок

зать,

что элемент г/ft)

пространства

являетоя функ­

цией,

бесконечно дифференцируемой в окрестности любой точки пр

ранотва /£ *

, не лежащей на поверхностях

/у ft)

,

опреде­

ляемых соответственно уравнениями

где функции

А"±

(*А)

являются решениями следующих уравнен

Гамильтона-Якоби:

I

F

~ /Ч/=

°

Перейден к общему олучаю. Рассмотрим начальняе

условия

вида

fi/foj](*)

= РГх) сХ (r-S. СЮ)

m

г*'(<>)= о

<*5)

где Т

- фиксированное число и функция ^

бесконечно диффе­

такав, что

VS0(X)£ о

при £

(х) =

Г

. Тогда функции

является элементом пространства

. Метод

конструкти

ного построения функции

Z/0

ft)

, удовлетворяющей условию, что

% /t) - U{tj £ \\£ *'(£%

где

£'?ki

2/ft).

- решение задачи

Коши ( I ) ,

(44), (45) основан на следующей лемме,

которая сле

из формул;

§ I .

Лемма. Пусть функция 2/а

ft)

оо значениями в пространстве

такова, что:

2)

и. (о)-ф

z

W/^ffi";

' ;Г•.

3)

г/'о(0)

^

WS~'""

и пусть

ft)

- точное

решение задачи

( I ) ,

(44), (45) при

Тогда разность

& ft) ~ ZSoft)

принадлежит пространству V

Положим, /77 = I и рассмотрим функцию

2ra

(t)

fir.

ftJJftJ

=

VCtfJjCfr-S'O'A))

Предположим, что

^ с

С 7 ^

^

П

Р

И

А А " ^

Ц ft

6J^o

при Г ft 6)

=

Г

. Тогда

(**J

Подберем функции

^

и S

так, чтобы выполнялось условие

^ s f t ' J j

z

(*\(*/})

^ о

Эг?

? t

ЭХ

M

+ Y^J

f

- A S ( X J ) ) = О

(

Определение. Уравнение (47) называется характеристическим

для волнового уравнения

( I ) . Уравнение (48)

называется уравнен

переноса для волнового уравнения. Поверхности вида

S (*,*)=

Cs*^,

где S ( X j t )

- решение уравнения (47)

называются характер

тиками волнового уравнения.

SjO'eJ'f.W

(50)

Задачи Ковш для системы Гамильтона,

отвечающие задачам Кош

и (V9t)

(roj

«мест вид (#92)t (so)

&

" "

//У

4>f* ft) £) - Г1

b5f е/У/±

. 2¥

-

~р; Щ/Р, (о/

м ~ - ^ г '

J

(52)

/vs.j

3 X

. oft ^

(х(t (tj) t <т;), troJ=o,

I

(55)

где

- произвольные гладкие функции.

Положим

где 5V

- решение задачи Коши (49), (50), а функции

опре­

деляются формулой (55). Для завершения построения функции

ft

остаетоя выбрать функции

так, чтобы были

удовлетвор

ны условия 2), 3)

леммы настоящего параграфа. Положим в формул

г J56)

6 = 0

\

получим

fa. го)]ft) = й*Ж^г*1

Jfr-S.<*>)t

^

3>fXfx.*X*)

,

"к кек

-f- '

<—

- у

при

ё = о , Следова- • .,

тельно,

условие

l/0 (oJ-^-o

будет выполнено,

если положить

(*J

+ &fx)J=

УМ

(58)

Вычислим производную функции

Z/„ (t-J

при

ё = О

[teo'(o)p) = /

/

^

fx)- <Z (*)J/VS.

(x)/jt'(T-S.CK))+

л

i = o

9c

v<-

Положим

(/)-<£(*)=:

Оf

(60)

у.ЪО-

4 о,

/eeroTj

у.е*" .

2>Хс

(63)

Обозначим через ZSfe) - точное решение задачи

( I ) ,

(48), (49)

при ^= о » а черев

Мв (6) - следующую функцию со значени

в ц/* /р")

M M - * / щ а т

^

f < J

J / 7 & m

Тогда

b/t*"

Итак,

"в

малой"

( т . е .

при достаточно

малых

£

функция

(t)j60

бесконечно дифференцируема во всех точках,

не лежащих на

поверхностях

S,

&*) = ' г

Можно показать, что этим жесвойством обладает

точное

решение

з а ­

дачи Коши.

§ 5.

Решения в

факторпространствах.

Полезно ввести некоторые новые математические понятия,

кото ­

рые облегчат обобщение результатов предыдущего

параграфа.

Пусть

X

-

линейное

пространство,

/ У

-

его

линейное

подпространство. Введем

следующее

отношение

эквивалеатнооти

С *

г

'

У

(64)

Задача. Доказать,

что

формула

(64)

действительно

определяет

отношение

эквивалентности.

Будем

обозначать

класс эквивалентности элемента

£еХ

через

Определение.

Факторпространством

называется множество

классов

/ 1 ^ 7 ,

снабженное следующими

операциями

сложения

и

умно­

жения на

скаляр:

интересует только алгебраическая сторона вопроса.

Рассмотрим подмножество Тс: S

Функций иэ J " ,

ряд

Тейлора которых имеет отличный от нуля радиус сходимости в

бой точке

X € £ *

с/ \ " .

/7/

( "

»ш0

о~ •

-

(б5)

Правую часть формулы (65) можно формально записать в виде

( 6 6

, v

Будем рассматривать формулу (66)

как определение оператора £>

на множестве Т7

^

\

Лемма. Оператор В

^

сохраняет норму в

Доказательство. Пусть

ty^T

, тогда

^*

<Р(к+4)=

= )Ь(х)

Пусть ftp

= $Р /•>-- ft'. Имеем

' Л С /

^

Отсюда следует,

что

3 н а ч и 1

что и требовалось доказать. *

плотно в

Задача. Доказать, что множество

•

Указание. Воспользоваться тем, что преобразование Фурье фин

ной функции - есть функция аналитическая.

^

В силу плотности множества Т

7

в

оператор 6

можно по непрерывности продолжить до унитарного оператора в

Т

- о/

, :

Обозначим ft=i Oft

. Тогда начальное условие (44) для

волнового уравнения ( I ) можно записать в виде

fit (*jJ(X)

=

eiS'"J*J

СГ)

. ' (44)

а функцию

можно представить в виде

^