книги из ГПНТБ / Воробьев, Е. М. Уравнения математической физики (некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона-Якоби и волновым уравнением) учеб. пособие
.pdfпо порыв ЦуЦг = |
J//<PP)E* o/i |
. |
(15) |
Задача. Проверять выполнение неравенства треугольника для норны (15).
Теорема 2. Пространство ^/.^ можно отождествить с прост
ранством // * , сопряженным к |
И К |
, поставив в^ соответствие |
каждой непрерывной функции J€ |
Н_К |
функционал J€. Н К , опр |
деленный на множестве непрерывных функций из /•/ формулой |
||
0 |
А" . |
f |
|
Доказательство. Функционал, |
j , определенный формулой (16) |
||
ограничен. Действительно, |
|
|
|
№ |
I №№](*)[у |
®] |
I £ |
° |
= /////М/ |
° |
° |
|
Более того, ///// |
- ////J |
, Действительно, |
определим функции |
|
£ |
оо значениями в у/* f/> "J формулой |
|||
Тогда JfC*)/^ |
= №)//w_k |
ш при атом |
|
|
так что
Остается покавать, что всякий линейный ограниченный функционал из пространства // * имеет вид (16). Скалярное произведение
НО -
имеет вид
По теореме Риоса-Фреве для каждого функционала j€ //^ найдется такая функция 2/ из пространства //_^ , что
для любой непрерывной функции У €. |
интеграл, стоящий в |
|||
правой части, |
понимается как |
|
||
где |
Ъ/уz |
2/ |
и УЪ£'у - последовательность непрерывных |
|
функций. |
Пусть |
Уу ft)= f-A+tft^-fe)- |
функция со значениями |
|
т.
так что |
у |
|
|
|
ал ч'хи |
|
|
||
/ Ф |
= |
^ |
fo/tjYm)j(*)r/y(t)JM°/« |
|
Так ъаъ/Уу ~fej/-//ty |
то последовательность |
'//// |
||
фундаментальна и определяет некоторый элемент^ У |
пространства |
|||
Теорема доказана. |
|
|
||
Еоли I/ |
непрерывная функция оо значениями / |
, |
||
то функция |
непрерывна и как функция со значениями |
|||
где А |
к . При этом, очевидно, что |
|
||
Поэтому при k't-M имеет место вложение //* <^ |
|
|||
Решение |
U задачи Коми |
( I ) , (2) с непрернь^ |
'"*аты) |
|
, построенное в предыдущем параграфе, является фу&.-.. :- * |
||||
прерывной как функция со значениями |
|
|||
|
|
- I l l |
- |
|
Следовательно |
|
|
Теорема 3. |
Решение задача Кои ( I ) , (2) , принадлежащее |
|
пространству fJt |
, единственно. |
|
Доказательство. |
В оилу линейности 8вдачн Коши нам доотаточно |
|
доказать, что решение |
Ъ/ задачи |
|
принадлежащее пространству /4^ , равно 0. Пуоть решение У
задачи |
(16) - дважды дифференцируемая функция оо значениями |
|||
/ |
» где /с£ i-1 |
. Из Об1) следует, что |
вто |
|
рая проиаводная функции 2/ |
Непрерывна как функция оо |
вначе- |
||
|
. Обозначим черев' £-> |
оператор, действувджй |
||
ив Мк-г по формуле
область определения которого » / £ ) |
оостоит ив таких дважды |
||||
дифференцируемых функций |
Ъ~ , что |
& (о) =• |
д~ Уо) ~ Oj |
||
I функция Ту* непрерывна как функция оо значениями в W |
|||||
Функция |
U |
удовлетворяет |
уравнению |
L М=о |
, Пусть 2г€2>(1)сНА |
в пуоть |
ьсг |
- дважды непрерывная дифференцируемая функция из Hi-*. |
|||
, удовлетворяющая условию ИГ(*Г)= lcr'fr)=0. Имеем:
- 112 -
Интегрируя два pasa по частям, получаем:
А"
у3 |
|
|
|
|
6 |
£» |
|
|
|
следовательно, оператор и |
является расширением оператора |
|||
*р- / j / |
^ ^ |
, действувщего по формуле |
||
|
TUTft) |
= ЬСГ'Ф -A |
Wft) |
|
с областью определения 2> (т) |
, состоящей из дважды непрерывно |
|||
дифференцируемых функций Ъ(Г |
, удовлетворяющих условию |
|||
Zd~{7')= |
'b<Jr'(7')= |
о . По теореме 12 гл. П задача сведена к |
||
доказательству теоремы существования для ведачи Ноши
Более точно: нужно показать, что для любой функции f |
из не- |
|
|||||
г которого плотного |
множества существует дважды непрерывно |
|
|||||
дифференцируемое |
(как. функция со значениями i |
) |
решение |
|
|||
задачи (17). Из результатов предыдущего параграфа следует, что |
|
||||||
требуемое решение задачи (17) |
существует, если Г |
- непрерыв |
|
||||
ная функция со значениями в |
Wife"). |
Осзаетоя убедиться,что |
|
||||
множество непрерывных функций оо значениями в |
плотно |
|
|||||
в пространстве |
Hg |
% иными словами, что '/*'i+i |
плотно в |
|
|||
Пуоть 6 ... - положительное число, У |
- непрерывная на /~3 УJ |
|
|||||
функция оо значениями в Wz |
. Покажем, что найдется такая |
|
|||||
непрерывная на |
Го/ |
функция j£ со значениями в |
W2 |
/, |
|||
113 -
Для доказательства последнего неравенства мы воспользуемся следу
ющим утверждением: если Jft), t££otTj |
- непрерывная функция со |
||||
значениями в банаховом пространстве |
& |
, то она равномерно |
|||
непрерывна, т.е. для каждого € т о |
|
существует |
5(<^^так, |
||
4 1 0 //JftJ-fftz)//* |
^ при |
- г ^ / ^ <f |
Для |
доказатель |
|
ства этого утверждения нужно дословно повторить рассуждения ив ной (доказывается в курсе математического анализа) теоремы Кан тора о равномерной непрерывности непрерывной на компакте функц
Выберем теперь $ |
настолько малым, что |
7*&*<)$tytfe"^4 |
|
при /tf |
—£г/X. S |
, Далее, возьмем разбиение отрезка 2~о 77Ji |
|
& = o<L |
^ tz A ... ^ ik = T для которого - ?г-£ ^ & . Пусть |
||
Р |
(*=1 *•••,*)§ъюя№. из пространства |
(£-") для |
|
которых //fftcj~p |
(tif/vV?Возможность выбора функ |
||
ций fc(>0 следует не плотности пространства |
£ w/t^) |
||
т.к. пространство +5* плотно в них обоих. Рассмотрим функцию
Очевидно, pftj - непрерывная функция из пространства //е Утверждение теоремы вытекает из следующих простых неравенств.
Пусть zf С |
6^, J |
Теорема доказана.
- 114 -
§ 3. Фундаментальное решение задачи Коши. Рассмотрим задачу
г/(о)~ <гб |
u'fo)=o |
(i9) |
Согласно формуле (5) ее решение имеет вид; .
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(20) |
Рассмотрим функцию |
Z/. (t) |
. Из формулы (20) следует, что |
||||
J/^^J - <j^(£j¥ |
|
|
» где |
- некоторый ограничен |
||
ный оператор в |
IVПолучим интегральное представление дл |
|||||
оператора |
(£) |
|
. Пусть |
|
. Тогда |
|
- ]Ш*)](*-г)УЦг)</у9 |
|
. |
|
|||
где ^ |
- обобщенная функция из Vv£ |
h) « опреде |
||||
ляемая формулой |
|
|
|
|
|
|
(*s)* |
[ |
Р |
= |
|
е'">* |
|
Аналогично тому, как в предыдущей главе было получено разложе $ - функции на плоские водны, можно ъъщчтг следующее рав
жение функционала- |
^ ( ^ ) н а |
плоские волцг |
|
|
|
r-fi-t |
|
|
J |
- Ju5 - |
|
|
|
|
|
(Я) |
Ан&лоI*ичдо |
|
|
|
|
[и. |
- 1 (W*) |
- |
J / * - |
(22) |
где |
|
|
|
|
Складывая выражения для |
^ |
н ^ . , получаем: |
||
|
|
|
|
(24) |
Р где |
|
|
|
|
|
|
|
|
(25) |
Из формулы (19), (24) следует, что J |
|
|||
|
$J0)= |
|
£ |
|
Ив формулы (19), (21), (23), (25) следует, |
что |
|||
|
(T'JO) = о |
|
||
Кроме того, функция фд |
удовлетворяет волновому уравнению. |
|||
Действительно, |
|
|
|
|
Вычисление |
второй производной функции |
дает: |
||
что и означает, что |
|
|
|
|
- Н6 =
4
Определение. Функция ^ называется фундаментальным решением волнового уравнения (нулевого порядка).
Задача. Доказать справедливость следующего представлений ра нения задачи Коши
|
|
|
(27) |
где |
|
|
|
|
|
|
(28) |
f<Tt, |
( * ) J ( X ) = J * * |
aPX) o/cJ |
(29) |
|
S"" |
|
|
Пользуясь формулами (24) и (27) , можно получить классические выражения для решения задачи Кош ( I ) , (2) в случаях ft= 1,2,3 Пуст> /? = 3. Тогда
Поотону |
JT 1ST |
• ° |
s~ |
- 117 -
Делая в последнем интеграле замену переменных - Я- 0 , убек даемоя в том, что <Я, (t) - <£_ (*) , так что
i о
S
Пусть <f£C(* ) имеем:
. Тогда, учитывая, что ,??0 |
, |
Пореждеи во внутренней интеграле к сферический координатах;
|
оо |
A* |
° |
оо
Сделаем вамену переменных |
Tt - f |
; |
получим: |
|
|
J/7- |
* ' r/x/J <f(x)o/x = |
J J, r |
( s |
- yj £(g)^.x> |
= |
saa что моано переписать равенство (31) в следувщеч виде:
£1 |
о |
(В2) |
Дедая в посведнек игаегреле замену перекенншс tf - S |
в ни* |
|
$бгрнруя на частян, |
приходив к формул? |
|
- Ш -
где SI ^ |
- двумерная сфера в £ 3 |
радяуоа с центром в нач |
не координат, о/л. - едевГ'Д площади на втой сфере. |
||
Задача. Получить следующее выражение для реиения задачи |
||
(26) при h |
= 3: |
|
Задача. Пуоть /7 = 2 . Получить следующую формулу для реи ния задачи Нови ( I ) , (2) о нулевой правой частью:
2. X
где |
- круг радиуса |
с |
с центрои з ючке |
X = |
fXt/z) |
|
Указание: При выводе |
формул |
(35) чо'ано использовать формулы |
||||
( 3 3 ) , ( 3 4 ) . |
|
|
|
|
|
|
Пусгь, |
наконец, /? |
= |
I . |
П е т и т е вычзслигь, |
что |
|
- 11.9 -