книги из ГПНТБ / Воробьев, Е. М. Уравнения математической физики (некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона-Якоби и волновым уравнением) учеб. пособие

а это противоречит равенству 9 ( ^ ) = i .

Теорема доказа

Рассмотрим теперь случай, когда В| = &а

— И

, где Н

функционал f

на Н имеет вид -fЫ =

) , V j c g H

такчто

. Пусть Т : Н~* Н - линейный оператор о п

<5 8 )

Т * ^ - Ь

(59)

при п •* 0 0

.Покажем, что k = T * g .

. Для любого Уе "3)(Т

(

T ^ ^ J * ^ )

(60)

'

( Т » , 9 > = ( У . 1 . Г - - . . - ; • .

f

( Я )

По определнию оператораТ*( )

означает,

что h =

~^"*$«

Теорема доказана.

*

Для симметрических операторов из теоремы 13 вытекает с

ношение Т с Т ¥

Определение. Оператор Т

называется самосопряженным,

если Т - Т *

после замыкания.

Задача. Доказать, что для оператора ~Г

, допускающего

Пример.

Пусть U,^ U (R*) ,Т= LD^ D M ^ S .

Оператор Т"

- симметрический, так как

& З^-ОП/

Ясно, * ч

*

J

)

=м *

J

* ) 4 г d

=

d x

т

}

(б2 )

= ь

что Т

шире Т*

, так как оператор"!" незамкнут.

Действительно,

пусть

6

(R

1 ) С L a

и f

g £

(например, f U ) = J i 7 j

J

проверьте,

что f S W ^ f f t ' / j

Рассмотрим последовательность

функций иэ 3

,

схо­

дящуюся к -f

по норме

W|lR') . Тогда

-fh-»- -f

в L»a(R

4 j

T f „ ^ £ l > f

в L * ( R ' )

, однако - f e D ( T J ,

Задача. Показать, что оператор ~Т~ существенно самосопряже

Для дальнейшего нам понадобится еще следующее

Предложение. Бели А '- НгтМ

- самосопряженный оператор,

имеющий ограниченный"оо^атТшйТ

то 15

== Н , V h =

/, 2,...

Доказательство.ПВ теореме 12

ft(A)=

Ц

.Так как ||А~'||<оо

пусть B ^ ^ j ^ A -

' и &

_

то Д(А') = Н.

Действительно,

(/fjl

ограниченный оператор, определенный на Н

. Тогда уравнение

Ах-—у

для любого

у 6 Н

имеет решение Л = В^. .

В самом деле,

пусть

{у*)

последовательность элементов из

ft (А)

, сходящаяся к у

.Тогда

AB^;-AA-'jfi-i/i

Из ограниченности оператора В

следует,

что By t —»•

j

а из замкнутости оператора

А

следует,

что A By =• ^ •

Итак,

3)(А

•*•) = Н ,

откуда следует, что для любо

натурального h

оператор

A~h

определен на всей Н

и не

рывен. Из симметричности оператора А

легко следует

ричность оператора А " 1 1

, так что оператор А~ h

самооопр

Применяя теорему 12, получаем:

что и требовалось доказать. ,

§ 12.

Функции со значениями в W2 '< (Rh )

Пусть

В

- некоторое банахово пространство.

Определение. Функцией iP

со значениями в В ;

определе

Определение. Говорят,

что функция

У

со значениями

банаховом пространстве в

непрерывна в точке "t

,

еол

|1 У14:*-Л*)-У(*)|!-*0

при

A t - О

Пример. Пусть (x,t)-+ V

), *

€

R h )

-t 6

R

4

-

номплекснозначная функция такая,

что при каждом "t

функция

o e - ^ C v U

принадлежит

V/&(R*') .

Фун.тдип У

можно

рассматривать как функцию^оо значениями в

( R h

J J

определенную на R

1.

djp|t]

Определение. Производной д-tj

функции У

со

значениями в 8

.определенной в окрестности точки ~ t e R

называется (если он существует) такой элемент $ в* В

,

3

где

Wife*),

% J*

на

оператор умножения

независимую переменную в

(к")

у7 ft - Фурье-обравы функций

}Р

н у;

соответственно.

Если с/ft:) -~- решение задачи ( 3 ) , (*) , то

l/(t)*-F~.'tfft

решение задачи ( I ) , (2) о

^f&JsC

- Рассмотрим два оператора •

(tf ж АГ

(6) ,

зависящие

ох параметра

Р >0

и определенные формулами

»;

CH/p/tjMj

A

^

А, (*ШР) =

Аг

(*)J(P)

v

_

/Р/

/(/>);

U

S

Оператор А^ (£)

, очевидно, ограничен в Wa

(Р/Щ* любом i

Покажемf что оператор

А± (&) ограничен

как оператор,

дейотвую-

*

щий ив

*(&*)ъ Щ*(РЛ)>

Действительно,

пусть

Следовавельно, / / A i f f l / l t f t - t -

C^f ^

так функция

J

/Р/

ограничена при фиксированном zf

Поскольку ]Р €

rfi

¥€

'(&"),

следующая формула

определяет функцию

U

со значениями в пространстве

W[ (Р )

Щ = й & У / А г Р ) ? Ь

(5)

где операторы Atfe).

и А2 ft) определены формулами

Aid)

JO

= '//>/ 'i*r/p/t

• /(/>) j

(7)

Alft)J(p)

= C*/P/£'S(P)

j

y&s

(8)

Действительно,

пусть

"и(t'—

— — : — ^

у 1 =

<>2-

Иа неравенств

6*" //A:A (t)-A'£ft)//wt

~* Wt:1

°'

n —* о

•t™//AL«

ft)-^ft)/lwt<-

" °J

f ~ WftJV+AKt)

V -

= 0...

Покажем, ч*о

fl/ijft)

V

~

@

Пусяь £ - поло-

тигельное число. Выберем такой элемент %

пространства С?(

чтобы выполнялось неравенство