книги из ГПНТБ / Воробьев, Е. М. Уравнения математической физики (некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона-Якоби и волновым уравнением) учеб. пособие

ционалом, действующим в W2

(ft

11) .

Теорема 9'. При п^.£

справедливо равенотво

гдв

S

единичная сфера в

fth

, <Ш - элемеит

поверхности

на

3" 1

, <jj t

S h

' - переменная интегрирования, И ы

плоская волна, ооответотвующаяобобщенной функции

{ V

(Ып[

V

1

» l J

(45)

R

R

Задача. Доказать, что обобщенная функция

принадлежит

цроотранотву

1

1

Wt~

( ft )

£=1

R e X « i d i l

(47)

Задача.

Доказать,

что

при нечетном h R e X t

с (R*j

а при четном

Re if

&

h " ' | RJ )

§ 10. Линейные неограниченные операторы.

Определение. Пусть

банахогч пространства.

Линейным оператором

А

, действующим из Hi

в Нг называется

отображение линейного подпространства 3)(А)

пространства Н(

в Hi

удовлетворяющее условию A ( J 3 " * " ^ ^ ) =

<J.Aj + JlA f

д л я

любых окаляров J}

ft

и векторов

^}~f

из Ъ{{\}

. Мно­

жество

называется областью определения опепатора А

Употребляется обозначение;

В дальнейшем мы всюду предполагаем, что множество Ъ(&)

плотно в

Н,

, т.е. Ъ0\Ы Н,

; черта означает замыкание.

Область значений оператора А

, т.е. множество

будем обозначать R ( ^ ) .

Определение. Оператор Д

называется непрерывным,

если

Определение. Оператоо А"

называется ограниченным,

если

, | А

| | =

^ р

ной овяэв между процессом пополнения банахова пространства,

оп

оанныы в § 2, и процессом замыкания оператора.

Теорема Н. Оператор А замкнут тогда и только тогда,

ко

да пространство Нд

, состоящее из элементов

,с нормой

И З Ч ^ ^ Л + ^ Й н ,

(56)

полно.

Доказательство. Пусть оператор А

аамкнут. Рассмотрим по­

следовательность

фундаментальную по норме Нд

:

Н Э ь - Ь Н < £

при h,mvH|E)

Из (56) оледует,

что при П,Ъл> Ы^}

'ИАд,-Аз«,||И в <£,

И З н - д М и ^

В силу полпоты пространств

И |

и Hii последоватепьносаги ^Зь?

имеют пределы

Ht

и ЬсН? соответственно. Тш как

оператор А

аамкнут,

Ь = Д^ , Следовательно

J j f € ' ;

кроме того,

Обратно, пусть пространство

полно. Пусть j/h-»^ вHi,

. A$h+in • Докажем, что

b=Ag.

.Ив (56) следует, что после-

довательнооть {|h : |

фундаментальна по норме Н д

.в силу

"цолнотн НдЗ^еМд

веко», ч»о | } ^ - J | h J l H A ^ 0

при h-*°o

Так как | f - | 4 f t ^

•

rfA

. «

g b - * f

по норме Н и

так что -flx^.

т £к> одадует, ч*о <|

А$||-* 0

при

|а"*

0 0 .

A f - А $ ,таои требовалооь докавать.

ГД9

4*\iiN*+-"+bJ„bO

M . - ^ j n r b S ,

^ j g C

( )

^

при любом целом p

допускает

замыкание

Пример иператора,

не имеющего эамыкания,

Пусть

И t= Иг=

J ) ( A )

-

C [ M j

«= Lz

J>,l] .

Положим

( A S ) ( * ) =

3 W

. Vgc - DM) ,

так что оператор А

каждой непрерывной на

функции ста­

вит

в соответствие

постоянную функцию. Рассмотрим последовате

ность

, где 3 *(*V=* h .

Инеем flQ» Ц,

i

> 9

при ^

0 0 .

Вместе отем, И A<Jh||i_ -» i

Условие теоремы

10 не выполнено.

§ I I . Сопряженные

операторы.

Пусть

В |

и Вггбанаховы

пространства, 0 |

и Вг,

-

сопряженные о ним пространства,

т.е. пространства линейных

ограниченных фунпционалов,

определенных на

В |

и 13а,

соот-

зешственно. Пусть Т; 8|-*Вг.линейный оператор и

J)tr}-Qi-

Обозначим через

L i

такое множество функционалов

^

из

а*

пространства

» Для

которых

U ( T x ) |

т.е. 3

f &

&'f

9 ( r * ) =

f

i

4

V'-xC- 3)(TJ

Функционал

"f

определяется

данной

формулой единственный

о б ­

разом,

так

как

3 ) ( т ]

плотно

в

В |

•

Определение.

Опоратор

Т * :

\Ъ*

В |

с

областью

определения

T>\TK}-L

,

заданной

соотношением

плотна в В I

. Тогда следующие два утверждения эквивалентны:

U ) f t T T ) = & * ; О ( T * g = 0 } - > (g = 0)

Доказательство. Пусть [Г|т] — В^и T * i j = 0 . Если

у 6 ^(т),

so существует такой х

, что у =Тх

, так что

Поокольку

плотно в Вг.

. отоюда следует,что § — 0

Обратно,

пусвь уравнение Т*^— С

имеет только нулевое

решение. Предположим, что R ( t )

не плотно в вй •

; пуоть

Oj3y,^<: Я"(т) Расомотрим подороотранотао Q С

, состоя­

щие из элементов U

, представимых в виде Ц = d% +^ , где

f 6- йТт)

. Определим на G

функционал <j*

о помощью

формулы

_

Щт) , что

=

и || ^ ч + ^ | | -с * для дюбого

натурального

. Следовательно,

что противоречит сашшутбет-л множества

значений оператора Т

По теореме Хамн-Узнала суцест?^- *£кой

йункционал