книги из ГПНТБ / Белый, Ю. И. Электродинамика учеб. пособие

При

a-*üc;;

однородное

уравнение

Даламбера

(волновое

уравнёние). Наконец, если функция

£

не

зависит

от

времени, то

получим уравнение Пуассона.

■В теории

дифференциальных уравнений

доказывается,

что

решение уравненйя Даламбера имеет вид;

гд е .dV=dx’dy’dz*

-

V

интегрирования,

г

элемент объема

расстояние

между

точкой

интегрирования ( х ' , у ’ ,г)и

точкой

( x , y , z )

в которой вычисляется значение функции

.у .

Функция

г

харак­

теризует источник, который порождает поле, описываемое функ­

цией

0

.Если временной

аргумент

функции

£

равен ь -

^

,то

формула

(127)

показывает,

что значение

функции

ф

в точке х,

y ,z

в момент

времени

t

зависит

от

значений

функции

£

. в

других

точках х ^ у 1^

1 не в

тот

же

момент

времени, а

в

более

ранние

моменты

времени

t-£

,

причем это

запаздывание

во

времени

равно г / т

. т .е .

равно времени

распространения

сигнала

ДВЙЖущеГОСЯ СО СКОРОСТЬЮ

Ѵ

ИЗ

ТОЧКИ X1, у 1, 2 ’

в

точку Х»У

Выражение

(127)

для

этого

случая

называется

решением с учетом

запаздывания. Оно описывает волну, распространяющуюся в поло­

жительном направлении

со

скоростью

ѵ

.

Если

взять

значение

временного

аргумента

у £

равным

t

+

г / т ,

го получим значе­

ние

функции

Ф

в последующие

моменты

времени.

Опережение

во

времени

равно

г/ѵ

,

Для этого

случая

выражение

(127)

называется

решение

с учетом

опережения.

Оно

описывает

сферическую волну,

распространяющіеся

в направлении

-г со

скоростью

V

По аналогии

с

решением

уравнения Дэлзмбераможно

написать

решения для уравнений (124)

и (125),

если положить

і

°

с

'

(128)

ѵ а Т Г П

гт_гр

где с=і/Ѵ)г^рй

~

скорость света в вакууме (электродинами­

ческая постоянная). Тогда решения могут быть записаны:

1) в виде запаздывающих потенциалов:

2) в виде

опережающих потенциалов:

u [d(x}y}e}^

„

1

Знаяі^ и А можно найти значения векторов В и

Е, описы­

вающих электромагнитную волну, с помощью соотношений

(74) и

( 121) .

Воспользовавшись формулой

(п .ІЗ) и учитывая,

что divs-o

окончательно получим уравнение:

д ё - ^ 0

= о

(133)

Аналогичным способом получается уравнение для

Н:

Л Н ' ^

о

(134)

чение

t р

=£'ju’A 2

“

і/ѵ 2 ,

т .к .

с

-

i/V £ jT 0 .

Отсюда

следует, что электромагнитное поле распространяется

со

скоростью, определяемой соотношением (128):

V = —2—

Для

вауума(£.,=р,= і)

Г р І Р

скорость электромагнитной волны стано­

вится

равной

электродинамической постоянной, которая таким

Из курса общей физики известно,

что скорость света

в прозрачных

средах равна:

V

= § ,

(135)

где

и - показатель

преломления. Сравнивая (128) и (135)

получим закон

Максвелла:

n

= V f ja '

Как было отмечено выше,

частным случаем уравнения Дв-

ламбера является волновое уравнение:

а2а . â2:; è2s

i ö2s

от

X и

t

,

то соответствующее

одномерное

волновое уравнение

должно

быть

записано

так:

â2s

i

d2s

'

Его

dx2 -v^ât2

выражение:

полным решением является

8 -

f i ( fc+7>

+ f 2( 4

P '

•где*!

и *2 “

произвольные

функции.

Данное

решение

представ­

ляет собою совокупность двухволн,

распространяющихся

со

скоростью

V

в противоположные

стороны

и описывает

плос­

кую волну.

Электромагнитная

волна

называется плоской,

еоли

векторы напряженности поля имеют одну и ту же величину во

всех

точках

плоскости,

перпендикулярной направлению

распространения волн. Геометрическое место точек равных

фаз

называй!

фронтом

волны. В случае плоской волны

роль

волнового фронта играет плоскость. Направление распростра­

нения волны будет характеризоваться направлением движения

ее фронта.

Для характеристики

этого

направления вводится вол-

новой

вектор

-1?*

, который

связан

с длиной волны

X

:

к

Путь

плоская

электромагнитная

волна

распространяется

вдоль

оси

X

,

/

вектор

направлен,

например,

а электрический

вдоль оси, У ,т .е .

Е =Е . Тогда из уравнения Максвелла

( ІЗЛ )

записанного

в

декартовых координатах:

ВИА:

Зе

зн

ЗЗс*

=

f w

5

С136)

Записав уравнение Максвелла ( і.Я;

в декартовых

координатах,

получаем:

ОЕ

ОН

33г

=

- t t f -

'

(І5?)

Итак,

если электрический

вектор колеблется пара, лельно

оси

у то

магнитный вектор

колеблется

параллельно

оси z

, т .е .

эллиптически

поляризованные.

Пример

неполпризованной волны

представляет собой естественный свет.

Решением уравнений (133) и (13^) в рассматриваемом

случае

может

быть любая функция аргумента

t-x /v

Е

в f ±( t-x/v) ,

н

f 2(t - x /v )

Из уравнений

(ІЗб) и

(137)

имеем:

„Зн

3

If

^из5 1г--3г3 ^ і ( ь- х/ т> ^ і Сь- х/ ѵ) ^ §f ”

Отсюда

vrM

или

Vü Н *

Vj~E

+ сопзі

vt-öt

положить равной нулю. Тогда

будем иметь;

Ѵ/д н = ѵг Е

.

(138)

Из этого

выражения

видно,

что

Е

'и

Н

в диэлектриках свя­

заны линейной зависимостью; они

колеблются в одинаковых фа­

зах, т . е . одновременно проходят

через максимум и минимум.

Используя равенство (138), можно записать выражение

для вектора Пойнтинга в случае

плоской волны,

который по аб­

солютной

величине равен:

| Р |

= | [ е ,НІІ = І Ё ] І Н ! = ^

I

( t E 2+ ;uH2 )

Принимая

во внимание, что

т

=

1/ V y S

-

фазовая

скорость

плоской

волны,

а

величина

|(h E 2+ juH2)

= -ЦГ '

-

плотность энергии

электромагнитного

поля,

можно записать

вектор

Пойнтинга в

следующем виде;

Р и (Ру .

T .O .,

скорость движения энергии,

переносимой

плоской волной

в однородном диэлектрике, равна фазовой скорости волны.

Весьма важным частным случаем

плоской волны является

частотой.

Пусть волна распространяется вдоль оси х

» то векторы

напряженности поля волны имеют вид:

Е(х, t) » Е(х) e lu)t , H (x,t) = ІГ( х) e ±Qb

(139)

Рассмотрим уравнение (133),

подставив выражение

(139) для

É

в уравнение

(133),

получим:

_

3-§w+ к2Е(х) -

о ,

Где

' к

-ui ѴПГ .

этого уравнения имеет вид:

Общее решение

\

■

-т

- ік х , -*■ „ ік х

.

Б ( х )

a ^ e

+

Подставив это

выражение в

(139)

находим:

B (x,t)..?1e1^ Ukx>H?2ei <u,‘* kx> .

(140)

Соотношение

(140)

является

решением

(133). Первый

член

в

правой части

(140)

представляет

волну,

распространяющуюся

в

положительном направлении

оси

х

, а

второй член

описывает

волну, распространяющуюся

в отрицательном направлении

х.

Решение уравнения (134)

находится аналогичным способом.

ном направлении описывается выражениями:

1

B C x . t W e 1^ * - ^ Д ( х ,Ь > Н

,

(I4I)

■-*

-У

- амплитуды напряженности поля.

где Ео

и Но

Формулы (I4I) показывают, что плоские волны в однородном

диэлектрике распространяются без затухания..

Из

(I4I)

следует, что уравнением фазовой

поверхности

i t =

Е *

ѵ

(І42)

Очевидно, что кх ° кѵ

и,

следовательно, вместо

(І4 І) можно

написать

E ( r , t ) = E oa i(<Bt-kr)

,

H (r,t> H 0ei(b>t-kr)

(143)

в идеальных диэлектриках

ток проводимости равен нулю, а

в

реальных

диэлектриках он

весьма мал по сравнению с током

смещения.

Напротив, в проводниках мал

ток смещения. Поэтому

уравнения

( I I I ) описывают

предельные

реальные случаи.

При

переходе к высоким частотам

разделение зарядов

на

этого следует, что

изменение полей

должно происходить

на

рас­

стояниях,

больших

по сравнению с молекулярными размерами

а

,

т . е . частота поля

должна быть гораздо меньше отношения

с/1

и

мала по

сравнению

с обратным характерным атомным временем і / т

(здесь

у

- скорость электронов в

атомах>При этом поляризация

или временной дисперсии.

При высоких

частотах

наступает

и

другое

явление, если

длина

волны J (~ i

(здесь

і - размер

молекулы

или пространст­

венной

неоднородности в веществе).

В этом случае поляризация