книги из ГПНТБ / Белый, Ю. И. Электродинамика учеб. пособие

соответствующего

ему по равенству (ІЮ )

тока проводимости,

т .к . ток смещения

в магнитном отношении эквивалентен току

проводимости. Зго.

утверждение называется

гипотезой Максвелла

С учетом этого

уравнение

привет

вид:

rotH

= j + IT .

Оно показывает,

что переменное

магнитное поле порождается

*

ния лредотавляюг собой две стороны единого

электромагнитного

процесса. Окончательно приходам к следующей

системе

уравнений

Максвелла для переменного электромагнитного

поля в

дифферен­

циальной форме:

r ot

н

*

3 + D” ,

і

( І И )

r o t

Е

=—В*"

,

I I

d iv

В

=

О

,

I I I

d iv

D

«

ja

» I V

где

D =( Е

, в = j j ß t

d *4ä •

CU 2 )

Эти уравнения

справедливы

при следующих условиях:

личины t ,ju, T

не зависят

от

времени

и

от

величины векторов поля;

3) в поле отсутствуют постоянные магниты и ферромагнитные ве­

щества.

Уравнения П и

Шне

являются полностью независимыми. Шурав­

нение

можно получить из П, применив операцию дивергенции:

div ro t Е

= -divB .

.'чтя сиотноменин (п. 12), получаем

divB = g^divB = О .•

divB

не зависит

от времени, то при данном 1Г

величина divB

такова же, какой она является при других

значениях

~В, в част­

ности

при В=о,

но

при

É=o дивергенция равна нулю. Следователь-

но, она равна

и

при любом

В, т .е . всегда

divB - о .

Уравнения

ІУ и I

также не являются независимыми уравнениями.

Пикачом а то,

.иишьаи

операцию дивергенции к уравнению I:

div

r o t? =

d ivj

+

Sr d lv ? .

j чптывапсоотношение ( п .І 2)

ОС

непрерывности (62),

и уравнение

получаем уравнение

ІУ

:

divD « ^ .

Т.О., независимыми уравнениями

являются уравнения I и П.

С помощью соотношений

(II2)

можно исключить из этих уравнений

величины "5

,

?

и

J*

и получить

два векторных уравнения,

і

которые с соответствующими начальными и граничными условиями

полностью определяют два вектора:

Е

и

Н . Приведенные рас­

суждения указывают

на

то, что система уравнений Максвелла яв­

ляется полной системой

уравнений,

т .е . однозначно

определяет

71

Из уравнений.Максвелла

( I I I ) уравнения

для

электростати-.

ки (4), (12) и лагни тое тати;-:.!

(50), (60)

вытекают

как частный

случай.

В технике часто приходится иметь

дело

с электромагнитным

уравнения

Максвелла

приобретают ^вид:

rotfi

= -%

г о Ш

=

(И З )

1 ,

divB

=

о,

divD

?>

гдѳ

В» juH , D» £.Е

,

j" z (.Е +

в

■си ■

) .

Из

(И З )

видно, что

в

области

квазисгационарных полей электри­

ния,

является

менее

существенном и не учитывается.

С помощью-теоремы Гаусса и Остроградского-Гаусса уравне­

ния

Максвелла

( I I I )

можно записать в интегральной форме:

f E d l

= - § т ( BdS,

( Ш )

<pHdl

-J+5 t ]

^BdS

-о ,

сравнима

с тем значением, которое имеют в механике законы

Ньютона.

*

Уравнения (I 12)

называются материальными уравнениями

(уравнениями состояния

среды). Эти уравнения являются менее

общими,

чем уравнения

Максвелла,

т .к . не учитывают ряд свойств

сред.

В

зависимости от

характера

параметров Т , L и о среды

ч

делятся

н а :

1.

однородные,

в которыхТ=СОП3-> £=const, ju-conat .

2.

неоднородные,

для которых имеют место соотношения

T ü IT C x .y .z)

, ju= ji(x ,y ,z ) .

Если эти даранетрь/. не

зависят от

векторов поля, то такие среды

Среды, в которых

Е

зависит

от Е,

называются

сегкетоэлектри-

ками, а в которых ju

зависит

отн-

ферромагнетиками.

Такие

среды называются

нелинейными.

Среды,

в которых

¥ Ц Н,

цІІЕ,

нетоэлектрики, ферромагнетики). Среды,

в которых

или

В

Н, называются анизотропными (например,

плазма

или

феррхт

в постоянном магнитном поле).

Параметры

ц ^

в

этих

слу­

чаях

являются тензорами, т .к ,

свойства

векторов

о

и н

в

различных направлениях различны. Например,

вектор

~й

связан

о

К с помощью тензора

диэлектрической проницаемости:

DX

+

t-I2Ey

+ ^I3Ez ’

Dy

° ^ 2і Ех

+

t 22Ey

+ ^23Ez ’

Dz

" Ь А с

+

t3 2 Ey

+ &ЗэѴ

20.

Закон сохранения энергии для

электромагнитного

полп.

Первым важным следствием,

которое вытекает из системы урав­

нений Максвелла,

является

существование энергии электромаг-'

нитного поля.

Для

того

чтобы получить выражение

для энергии

электромагнитного поля^рассмотрим доказательство теоремы

УмоваПойнтинга. Эта теорема представляет собой

закон

сох­

ранения энергии для электромагнитного поля, с помощью кото­

рого устанавливается связь между энергией электромагнитного

поля, токами и выделяемой

джоулевой теплотой. Для этого рас­

смотрим замкнутую систему,

состоящую из поля и частиц, зани­

мающих объем

V

,

который

ограничен

поверхностью

s

.Обоз­

начим объемную плотность

распределения энергии-

w(r", t) .

Полная энергия поля в объеме получается интегрированием

плотности по

объему:

і

,

W =* j

w(r, t)dV .

V

Закон сохранения энергии для поля при отсутствии зарядов

формально может быть

выражен в форме

(61):

'

“

f t

i

wdV

“■j

? d^

( I I 5 )

(уменьшение энергии $оля в

объеме

ѵ

за единицу

времени

равно потоку электромагнитной энергии через поверхность s

,

ограничивающую объем

ѵ

), либо в дифференциальной

форме

*ийа

(62):

+

dlv?

- 0 .

на Е и

"н

.

В результате,умножения

I уравнения Максвелла

имеем:

ErotH « t Ejjf +

JE -

H tC t-E2)

+

JE

•

Из закона

Ома

(бб)

следует,

что

Е

= Т -

Е

СТ >

G учетом этого получим:

ErotH

=

(£_в2) + £

_

да- СТ

В результате

умножения Л.

уравнения

имеем:

ІТт'п f-t?

—

iiM

ät

—/з

dH

i

d f

. гт2ч

HrotE

—

2 ST “~2

âtC

) .

Разность их равна:

Hrotl-Er.otH=-|

з^С/зН2 + <r_E2) - Л -

+

JE c'r .

Используя формулу

векторного

анализа

( п .І 7 ), получим:

JE СТ= £

+ I 1^(15

+ НВ)

+

dіѵ [S,я] .

Умножив все члены последнего равенства на элемент

объема аѵ,

проинтегрируем по всему объему

ѵ

поля, применив к послед­

нему интегралу теорему Ортроградского-Гаусса,

получим:

ного поля, г .к . других

источников нет. ß этом можно убедиться,

найдя изменение работы в единицу времени, произведенное си­

лами поля над частицами.

В электромагнитном поле на' непод­

вижный

заряд действует

сила

F

■

Ч.(Е +

[ Y\ 3 j )

=

jj>(E7

+ [ѵ ,ь /

)dV ,

Совершенная при этом работа будет равна энергии, которая

превратилась в

теплоту.

Считая заряды непрерывно распреде­

ленными в пространстве, получим:

Ж

j p(E+[v,b] vdV= I jËdV' + I

BdV

= | jËdV .

а т

Работа силы магнитного поля равна нулю, поскольку эта сила

перпендикулярна к скорости частицы. Значит, для электромаг­

нитного

поля имеем:

U

- j JE dV

=

І і

dV

’

1

ГУ

что совпадает с законом Джоуля-Ленца.

При

отсутствии

зарядов уравнение

( I I 6 )

полностью совпа­

дает с уравнением(I15), если обозначить энергию электромаг­

нитного поля-.

W = |

\

(ËD+HB)dV=

| i

(t.E2

+ juH2)dV,

(II?)

а

плотность

потока

энергии

электромагнитного

поля-

^

'?

= \

[ І , н ]

da,

( I I 8)

к о т о р а я характеризуетs

движение

электромагнитной энергии

в пространстве.

С учетом

(I 17) и

(118)

равенство ( I I 6) можно

записать

в

следующем виде:

( Ш )

энергии в строго эквивалентных количествах, импульсом, момен­

том импульса

и др. (инерция, масса); все

это свидетельствует

о физической

реальности электромагнитного

поля как об особой

виде

материи, отличной от вещества. Другим видол материи явля­

ется

вещество,распределенное

в пространстве дискретным

образом

21.

Решение .уравнений Максвелла

для электромагнитного

поля.

.Уравнения Максвелла

( I I I )

можно записать в более ирос-+

той форме, воспользовавшись понятием векторного потенциала.

Поскольку напряженность электрического поля возникает не

только за счет зарядов,

но

и за

счетизменения магнитного

r o t (Е + А ) « О-

Из

этого

уравнения

видно, что вектор

.

S + А

является

потенциальным и, следовательно,

может, быть представлен

в

виде градиента от

скалярной функции ^

:

ность электрического

поля, а поэтому работа, совершаемая полем

при перемещении заряда между двумя точками, зависит от пути.

Формулы (74),

(76) и (I2I)

не дают возможности

однозначно

—Г

-*

ввести потенциалы, исходя из заданных векторов Е и В, т .к .

можно показать,

что потенциалы

А1

* А

+ grad

тс. ,

W'

(122)

описывают то же

самое

поле

Е

и

В. Для доказательства

найдем

электромагнитное

поле

Е«и

описываемое

потенциалами

а * и

^

"в* . гоыГ* и

r o t ( T

+ grad

Т е )

» rotA +

r o t grad

x. »rotA - -

I? .

Аналогично:

i

В» — g r a d y - Г ' — grad(<* -Т е )

-

|^(A+gradj)=-grad ' j - A

=• E