Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Белый, Ю. И. Электродинамика учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

3.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

где суммирование проводится по числу элементов			д 1 ,	содержащихся
в длине.	1 • С другой	стороны,эта работа равна	работе	но переме-
		/		площадку
щению элемента тока Д 1 вдоль контура, ограничивающего
Д S . Зиа чит, выражение		для энергии можно получить, рассмотрев
энергию	элементарного	тока. Энергию контура произвольной формы

тогда можно будет вычислить, представив его состоящим из контуров

элементарных токов.

Полная

энергия в пределе,

когда контуры стано

вятся

бесконечно

малыми, равна

w « V

,ів

д s

Гв as .

(99)

Д— :

Выбрав

единичную

нормаль

и используя

определение в-rotA ,

можно

записать;

ro w - as .

C.100J

Используя

теорему

Стокса

получим выражение

для энергии:

(п .8),

f l

- d

(101)

где

векторный

потенциал,

возникающий

на

:а

токов,

которые

создают

поле

В.

Любое

распределение

постоянных токов

можно считать

состоящим

из нитей, идущих вдоль тех линии, по которым течет ток. Для любой

пары	таких	контуров	энергия дается	выражением (107;,	г д е интеграл
взят	вокруг	одного	из контуров, а	»	-т*
				векторный потенциал А создан дру

гим контуром. йолная энергия получается сложением всех таких пар.

Если просуммировать по всем нитям,		то каждую энергию мы учтем
дважды,	и полную.-энергию можно представить в виде:
	w - \| j 2- j a v	,,	(юг)
Ті К.	J d l - dS d l - JS d l - "j ay .		(103)
Это еотв энергия взаимодействия произвольного			(■'нелинейного') тока
о магнитным полем.

■Используя формулу (102), можно получить выражение энергии поля

через векторы поли, походки из уравнения Максвелла (SO). Получим :

W - I j A rotH сІУ .

CI04)

Пользуясь известное из векторного анализа формулой (и .17) и теоре

мой Остроградского-Гаусса (п .7), получим:

W»! j HrotA	d V -\| j div[Â,S]dV - \|\|н го Ь А		d V - \| j [ a , h ]	dV .
V	У	У	S	точки рас
HTüpü,.	интеграл равен нулю	при s	,т .к . вое	точки рас

положены в	конечной области пространства, значит на большом рас
стоянии от	них:
	А ~ і	,	н 1	, АН~і '
	г ?	.	*	г э
а поверхность s ~ r .		используя		определение для векторного потенциа

ла, получим окончательное выражение дли энергии:

W- § \ HBdV

j H2dy

(ІОЬ)

УV

- /

б /

п е р е м е н н о й э л е к т р о м а г н и т н о е п о л а

Рассмотренные электростатическое и стационарное магнит

ное поля являются частными		случаями электрических и магнит-
ных полей.	В общем случае	векторы	•V	-»*»	-1*"	->
			Е,	D	, Н,	В являются
не только	функциями координат, но		и времени		и характеризуют

единое электромагнитное поле. Электромагнитным полем называет

ся область пространства, в которой проявляется действие элек трических и магнитных сил. В дальнейшем будем обозначатьЦах.

В зависимости от того, как векторы поля изменяются во времени, поля делятся на:

1. Статические (поле постоянных электрических зарядов и постоянных магнитов). Для них имеют место равенства:

вГ - О, В - О, j> - О, У « О, ? - О (Цагі, 2ІаГ и

(статические электрические и магнитные поля взаимно неза висимы) ;

2. Стационарное поле (поле постоянных токов). Для этогополя3

3 . Квазистационарное поле;

•4. Высокочастотные поля, которые рассматриваются ниже.

18.Закон электромагнитной индукции Фарадея.

Источником электрического поля является не только электрический заряд, но и изменяющееся во времени магнитное поле. Фарадей установил, что при всяком изменении магнитного потока, пронизывающего замкнутый контур проводника, в послед нем возникает э .д .с . и, следовательно, ток. Эта э .д .с . гем

'62

больше, чем больше скорость изменения	потока. Возникающую
э .д .с . назвали электродвижущей, силой	индукции, а само явле
ние законом электромагнитной индукции Фарадея, который'в ин
тегральной форме записывается следующим образом:
6й» - â J ? ,		(Юб)
а с
Знак"минус" выражает правило Ленца: индуцированный ток имеет
всегда такое направление, при котором он		своим магнитным полем
противодействует той причине, которая его вызывает.
Поток магнитной индукции в системе		единиц СИ измеряется
в веберах. Согласно формуле (І0б)5вебер		можно определить сле

дующим образом: поток магнитной индукции через площадь, огра ниченную замкнутым контуром, равен одному веберу, если при равномерном убывании его до нуля за I секунду в контуре воз

никает э .д .с . индукции в I вольиФі=в*сек=вб; івб=Ю8мко=^ 0 СГСЭф
Выясним причину возникновения	индукционного тока.
Т.к. проводник с находящимися в нем	электронами неподвижен, то

магнитное поле, пронизывающее контур, привести в движение эти электроны не может. Значит, электрический ток в проводнике появляется в результате возникновения электрического поляки это поле непосредственно порождается изменяющимся магнитным полем. Это фундаментальное свойство впервые обнаружил Макс велл". изменяющееся во времени магнитное поле способно по рождать электрическое без помощи зарядов. Возникающее элек трическое поле имеет совсем другую структуру, чем электроста

тическое. Оно не связано непосредственно с электрическими заря дами. Его силовые линии замкнутые, подобно линиям индукции

магнитного поля. Эго гак вазываемое вихревое элекгричеокое

поле.	В огличиѳ ог электростатического поля работа вихревого
поля	на замкнутом пути не равна	нулю.
	Э .д .с. в замкнутом контуре	ь численно равна работе сил

электрического поля при перемещении единичного положительного

заряда вдоль

этого контура,

т .ѳ .

6. "

“

•

Поток

магнитной индукции

по определению дается

формулой

(49).

Следовательно,

ф * а? - - f l j У as .

Применяя к левой

части этого равенства теорему Стокса (п .8),

полу чаем

I rotE-dS

||d S

■ -

^ B dS ,

г\

ввиду

следует

уравнение

Отсюда

произвольности

поверхности

rot!" -

в"

(Ю?)

которое является дифференциальной формой закона электромагнит

ной индукции Фарадея.

Э .д .с. индукции может возникнуть также в проводнике,

движущемся в постоянном во времени магнитном поле. Эта э .д .о .

индукции обусловлена не вихревым электрическим полем. На заряды проводника со стороны магнитного поля будет действовать сила

Лоренца, которая и вызывает перемещение зарядов внутри провод-

вика.

Рассмотрим замкнутый линейный проводник L , который произвольным образом движется во внешнем магнитном поле В,

при этом возможна также и деформация формы проводника. Если элемент проводника а1 движется со скоростью ѵ" в магнитном

поле	Bj го	на	каядии свободный			элементарный заряд			(электрон),
	I	в элементе		dl , действует сила.
находящийся
	В электрическом поле				на	заряд действует сила			(5 ):
					F -	ак	,
а в магнитном поле на Движущийся заряд действует								сила Лоренца
(9 Ч ) . І . е .		величину j		j	можно		отождествить с	некоторым
эффективным электрическим полем, которое создает								э .д .с .		индук
ции.	Величина		этой э .д .с .		будет равна
Рассмотрим два			положения	контура1			L через промежуток			времени

	За	эго	время	элемент	контура а і		сместится на		величину Дг
	Здесь	?	- радиус - вектор элемента					проводника	d l . т . к.
				▼	-	li m	,
то	равенство		(106)	можно представить			с учетом (п .з )		в виде
^	“ ь	І	I	di )		‘	j	C[<Ji,A?ji) .

Учгем, что			[а!,д?]		- - a s > ,
гдб	ds	—вектор		площадкц образованной			элементом ді*		при ого
смещении		на д г , и		направленный в сторону внешней нормали к
объему, ограниченному поверхностями s , s							и s;- на	рисунке.
Поток	вектора		В	через любую замкнутую поверхность равен
нулю.	Следовательно,
„	'	-	\ ва£	-	) (в \|аі,дг] )	- j	BdS + j BdS .
			s 5'		Si-	S4	St
В качестве положительной нормали к поверхности, натянутой на
рассматриваемый контур,					необходимо	выбрать нормаль		^	,т .к .

она с выбранным направлением обхода контура составляет право

винтовую систему. Поэтому
		Г	BdS -	ф(Ь),	J	B-dS		— фО+д О .
		S			s2
Знак минус во вторЪм равенстве					учитывает тот факт, что внешняя
нормаль п2 имеет направление,					противоположное принятому за
положительное. Т .о .,
		[dl,ür]) - -J$(t+üt)- ф(ь) I - -д ф ,
где д	ф -	изменение	потока	магнитной		индукции, обусловленное
движением		и деформацией контура, через					поверхность, натянутую
на рассматриваемый			контур	і	. В итоге имеем выражение (106):
Закон	индукции Фарадея показывает, что						силовой величиной наряду
с напряженностью электрического					поля		Е	является лагнлтнан ин-

■^

дукция . В; именно В , а не Н заслуживал бы названиие напря

женности магнитного поля.

Если по контуру, находящемуся в магнитном поле, пропустить переменный ток, то поток магнитной индукции, пронизывающий кон тур, будет меняться. Поэтому возникает э .д .с . индукции в самом контуре. Это явление называют самоиндукцией. Проводящий контур

играет при	этом	двойною роль: по	нему	протекает ток,	вызываю
щий индукцию, и		в нем же наводится э .д .с . индукции,			которая
называется	э .д .с . самоиндукции.		Если	считать, что форма кон

тура остается неизменной и поток меняется только за счет из менения тока, то.используя закон электромагнитной индукции

(106) и	соотношение		( 102) , получим выражение для э .д .с . само
индукции
		е.	-	" t	( 108)
из которого					физическая	ве
		следует,	что индуктивность - это
личина,численно равная				э .д .с . самоиндукции,, возникающей		в
контуре	при	изменении		силы тока на единицуѵ/за	одну секунду.

С помощью формулы (108) определяется единица индуктивности генри в системе единиц СМ. Индуктивность проводника равна од

ному	генри, если			в нем при изменении силы тока на I а за I					сек.
возникает		э .д .с . самоиндукциизів:
	ГтТ -	зб	„в-сек					- -аі 10 ІГСГСЭи
	ILJ ~	а	"	г	-гн;І гн = І09см			- -аі 10 ІГСГСЭи
	В заключение				отметим, что к рассмотренному выше'явлению
можно применять				закон Ома, если кроме сторонней э .д .с . учесть
э .д .с . индукции.				Тогда закон Ома (68) с учетом электромагнит
ной	индукции,		например, для к-того					проводника будет иметь	вид:
					т	т>	- г от _ ц	'
							dt	'
Для	сиотемы		к	проводников вместо одного такого уравнения
получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
		с	СИ				N
		с	СИ					.к
		Ь	к	=	JA	+	> -	.к
		Ь	к	=	JA	+	> -	t = , ‘
							І =1	t = , ‘

Аналогичную		систему	уравнений можно получить и для системы N
замкнутых контуров,			обладающих сопротивлением		, индуктив
ностью	L(t:1	и емкостью		:
Ь "	і а	*		•	(I0 S )

Каждое из этих уравнений выражает второй закон Ки'ижхЬа. ко торый гласит: в любом замкнутом контуре сумма э .д .е . источ ников контура равна алгебраической сумме падений напряжения

на всех участках замкнутого контура.

)

1 9 .-Йодная система .уравнений Максвелла. Для описания этого

поля служит система уравнений, которая была написана Максвел лом в результате анализа и обобщения фундаментальных законов учения об электрических и магнитных явлениях и носит его имя.

При исследовании свойств		постоянного	поля мы лил,, чили следую
щие уравнения (4),	(12),	(50),(60):
гоЬЕвО, divD“ jD ,	ro t Н	- 3 , divB	» 0 .

Обобщим, теперь эти уравнения на случай полей, зависящих от

времени.
Первые два			уравнения определяют	электрическое поле. В
первом из	них	не	отражено явление электромагнитной индукции,
т .е . тот	факт	,	что электрическое поле	может порождаться не

только зарядами, но и переменным магнитным полем. Это утверж дение является фундаментальным свойством переменного магнит ного поля, к которому впервые пришел Максвелл. Из этого сле

дует, что r o t f не	равен	нулю, а	равен	согласно	закону	элек
тромагнитной индукции величине -в			.	В связи с	этим	первые
два уравнения для переменного поля имеют вид:
rotE	■ -В	,
divD	г ■ •
	г ■ •
		68

Вторые два уравнения определяют магнитное поле, но переменное

поле не могут описывать, поскольку первое из них противоречит

уравнению непрерывности				и тем самым закону сохранения электри
ческого		заряда. Действительно, применяя операцию дивергенции
к нему,		получим	divj=o	.т .к .ц іѵ	r o t н	* о	, согласно	( п .І 2\|
но.согласно уравнению				непрерывности	(62)	для	переменного	поля,
divj 7*0. Для согласования с уравнением непрерывности введем
дополнительный			член, который определим следующим»образом.
Продифференцируем по времени обе части уравнения Максвелла
(12).	В результате получаем:
				о = dlvD .
Здесь	изменен порядок дифференцирования,					т .к .	координаты

и время являются независишмипеременными. Подставляя выраже

ние	ja	этого	уравнения в уравнение					непрерывности, находим:
					d lv (lf + J)		•>	о ,
т . е .	введение		добавки		Ъ'	позволяет		любой	электрический ток
рассматривать			как	замкнутый.. Отсюда				видно, что линии вектора
					'4	- в + т	■
всегда		замкнуты.		Вектор	і	- плотность			тока проводимости.

Величина, пропорциональная скорости изменения электрического поля в данной точке, была названа Мансвеллом плотностью тока смещения:

		3 с и = D	(ПО)
Тогда	Jn	- плотность полного тока. Размерность	плотности
тока смещения совпадает с размерностью плотности			тока прово
димости,		но по своей физической природе он не имеет		ничего
общего	с	током проводимости. Однако эта величина	не	случайно

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ