книги из ГПНТБ / Белый, Ю. И. Электродинамика учеб. пособие

направлению тока

плоскости.

Чтобы

освободиться

от

этого

ограниче­

ния,

запишем закон (59) в дифференциальной

форме.

Очевидно,

что полный ток

j

,

охватываемый данным-контуром

ь ,

равен

J -

5

1 -чз

,

где

з

контур

ь

•

Теперь

формула

3 - поверхность, натянутая на

(59)

может быть записана в виде:

ф H 'df z

j

j

d l .

Стокса (п.8). В

итоге получим:

У (rö tH - J

)

dä : о

или

з

(60)

r o t Н -

j

в силу произвольности поверхности интегрирования

з

.Равенство

(60X

есть закон

Эрстеда в дифференциальной форме,

который справед­

лив

для произвольных трков, из этого

равенства следует, что. гоШ|<0

и магнитное поле

не является потенциальным( если

"У “

о,то магнит­

ное

поле было бы

потенциальным).

Величина заряда, заключенного

внутри

объема

7 , дается

интегра­

лом

согласно выражению (10 ) :

г

Если

величина заряда

ч

данного объема изменяется, то долж­

q внутри

но иметь место движение зарядов

через поверхность, ограничиваю-

іііую рассматриваемый объем. Количество зарядов, пересекающих эЦ

поверхность в течение

времени dt, можно определить, зная

силу тока

т.

dq -

I

dt .

Сила

тока определяется

с помощью выражения

(54):

У

J =

S

T*d3

,

значит

3

dq Z

dt ^ j

dS ,

dV

I

dq/dt

< 0

в том

случае,

когда ток

вытекает из рассматриваемого

объема

и

величина ' d tl >

о

• В случае

увеличения q dq/dt > О

и dtJ

< о

,

' т . е .

знаки

меняются на

обратные. Скорость изменения

заряда,

находящегося в некотором объеме, равна суммарному току,

протекающему

сквозь

поверхность, ограничивающую рассматриваемый

41

объем, по абсолютной

величине, но противоположна по

знаку:

( Т а.9

dir.

(6l)

■

3

V

t

Это равенство представляет собой интегральную форму уравнения

напоерывности.

Применяя

к левой

части

этого

равенства

теорему

\

его

в виде:

Остроградского-Гаусоа, можно переписать

j

+

divJ)dv

I 0

•

Так как равенство^справделиво для произвольного объема у

, то

подинтегральное выражение равно нулю:

I f

+

div 1 = 0 .

(б2)

Это есть уравнение непрерывности в дифференциальной

форме. В слу­

чае стационарных токов

величина

р

в каждой точке

постоянна и

. & = ° *

Поэтому для

постоянных

токов уравнение

непрерывности

имеет вид:

divj

= о „

(63)

Оно указывает,

что линии

постоянного

тока не имеют

ни

начала, ни

конца, т .е .

являются либо

замкнутыми,

либо'линиями,

уходящими в

бесконечность.

Плотность тока

"J

связана -с движением зарядов,

поэтому

ее называют

плотностью тока проводимости или тока переноса

(транспортный ток).

Токипроводимости

связаны с перемещением заря­

дов на макроскопические расстояния.

Используя уравнение непрерывности (61), можно получить

первый закон Кирхгофа. Для чего проинтегрируем (61) по объему,,

ограниченному

замкнутой

поверхностью

з

, внутри которого

нахо­

дится один узел линейных проводников.

С помощью теоремы Остроград-

нию по поверхности з

, которую представим состоящей из двух час-

тёй: SQ

- _

часть

поверхности

з

, которая не пересекает про­

водники;

-

часть

поверхности

з' ,

пересекающая к-ый линей-

иый проводник.

В результате

имеем:

/

,

г - * - - *

П

с

Ь ^ d3 + T Z j

3- d3 = о ,

где

n

-

So

k-1

Sk

выходящих из рассматриваемого

число линейных

проводников,

узла.

Первый интеграл

этого

равенства

равен нулю, т.к.

на

поверх­

ности

3Q

плотность

тока равна

нулю,

второй интеграл

-

полный тоі.,

проходящий через поперечное

сечение

п

проводников, т.к.

=

Ь

dS

—

величина

тока,

проходящего

Sk

поперечное сечение

к-го провод­

через

ника.

В итоге

имеем:

.

к=1 Jk =

0

(64)

Формула (64) выражает первый закон Кирхгофа, который гласит: ал­

гебраическая сумма

величин токов,

сходящихся в узле, равна нулю.

I I .

Закон

Ома.

Из

курса

общей физики

известно,

N

что для металлов

и электролитов

сила

тона

пропорциональна

приложенному

напряжению:

I

_ ±£.

(65)

г

где

я

-

сопротивление.

Эта

зависимость

носит название интеграль­

ного закона Ома для участка

цепи. 'Wymm

закон Ома в дифферен­

циальной форме, для чего применим уравнение (65)

к бесконечно ма­

лому

цилинду, мысленно выделенному

в

проводнике

(рис.6).

Вдоль оси

этого цилинда течет

токді z н дз , где

-

площадь

V

основания

цилиндра,а

- составляющая плотности

тока

вдоль оси

цилиндра.

Поэтому

-

AJ ай ~

^ д з дн.„

удельной

электропроводимостью и

обозначается через С.С

ее

помощью

сопротивление дй

цилиндра представил .

в виде

равенства ,

АВ =

* а

Af = Ët.A£.

Из последних двух

равенств

находим:

h =1rEt .

где в -

проекция вектора

электрической

напряженности

S на

ось

цилинда. Для произвольного

направления имеем:

"jf - ^

Е* ^

(бб)

пространотва. Т.к.

плотность тока обусловливается не только электро

статическим полем,

но и полем

сторонних сил

, ю

закон

Ома е учетом сторонних сил имеетвид:

3 =Ъ(В

+ в ст) .

(67)

Используя это уравнение,можно получить интегральный закон Ома

для всей цепи. Для

чего умножим обе части его на

элемент

длины

ф 3 d l

- TrJ B dl ~

J

gred ^ d l “ <p- ^

- О .

Ъ

Ъ

Ъ

Ъ

гдевведено

обозначение

І ;1

= j , r

rdi

но аналогии

с обозначением для

э .д .с . электрического поля

£.

- j> Б dl .

(68)

Закон Ома

(68.) показывает, что существование и величина

постоян­

ных

токов

действительно

обусловливаются ^наличием сторонних э .д .с .

С помощью Формулы (65) устанавливают, единицу сопротивления

проводника

и называют

омом. Проводник имеет сопротивление I ом,

если

при разности потенциалов Ів по нему течет ток I а.

Величину,

нием.

Удельное

сопротивление в единицах

СИ

равно

сопротивлению

.куба

вещества

с ребром I м.

-gjj =

сим.Іом=

9

10

СГСЭ

®ГСІ.

Исходя

из

закона Сма в

йіорые

(66),

можно получить граничные

.-условия;для

тангенциальной

составляющей

вектора

плотности

тока

вает разрыв лишь в том

случае, когда па граничной поверхности

имеется изменяющаяся плотность поверхностных зарядов.

12.

Закон Джо.ѵля-Ленца.

При прохождении тока через проводник

происходит

выделение тепла.

Посчитаем его количество. Предположим,

что

за промежуток

времиниКчереэ

сечение проводника проходит за-

- f

dq

=

I

d t .

При этом

силы поля совершают работу, равную

ряд

согласно

(

I

):

2

dA _

dq

S Bdl -

Jdt

[ Bdl _

J дД1 dt .

Это

1

1

~

количество работы

эквивалентно такому.же количеству энергии,

причем последняя

может

выделиться, например, в виде тепла. Вы­

деляемая током энергия равна:

dw _ Iд,^ д t ж. dA . ■

Мощность тока

можно

вычислить

с помощью формул (ІД-) и ( 65 )

Она равна количеству

теплоты

выделяющемуся за

единицу вре­

мени в проводнике с

сопротивлением

н при силе

тока і

Следовательно,

Q =

1 % .

,

( V I )

r o t r o t А - grad div

А- ДА.

Учтя (76), в итоге имеем:

Д І Г - у і Т ,

(??)

Пуассона для

скалярного потенциала в виде:

А Г ^

] І Ж

,

(78)

где ‘ г

-

расстояние

между

элементом

обвема

интегрирования,

плотность

тока

в котором

t и точкой tB которой вычисляется

потенциал 7 .

Выражение (77)

математически аналогично выражению

(16),

если

заменить

р /

^ ß

i .

Векторный потенциал в электродинамике является вспомога­

тельной величиной (можно обойтись без пего)

и физического смысла

не имеет (в квантовой теории Л

- реальное

поле и Является важ-

ним понятием).

Зная

А можно вычислитъ вектор магнитной индукцииВ,

ция А вдоль

замкнутого

контура

равна

потоку

вектора В сквозь

конт ур

ф

А- - dJ l В -d3 .

Для бесконечного

прямолинейного тока

<f)A-(U л А гОГг , а

{в-di

Г 'ГГ г 2В,

т. е.

о

а = В- г

Т.к. J W

г

I

, го

векторный потенциал

(78) преобразуется

к виду:

' 7 -

и-1

*

,

С79)

л — О“

4JT

получаем:

Из последних уравнений

н = - Л -

(80)

2]fr